贝尔不等式究竟是在阐述什么问题？ - One Two 的回答

在很多关于量子力学的书籍中，都不可避免的讲到" 贝尔不等式 "，但坦白说，就我看到的书籍中，包括网上的资料，对此都"语焉不详"或者"语焉太详"，所谓"语焉太详"是说基本都如出一辙的上来就甩出一大堆公式，同时却又对于这个不等式背后的逻辑究竟是什么，包括其究竟是在说什么，最后的结论是什么这些最基本的东西"语焉不详"，基本都是说，随后阿斯派克特的实验结果"突破了贝尔不等式所规定的限制"，从而证明了什么什么，但是对于"贝尔不等式的限制"究竟是不允许什么，却又常常只字不提，直接就Jump到说是否定了爱因斯坦的理论，但究竟否定的是什么呢？有的书里说是否定了爱因斯坦的定域隐变量理论（但据说，爱因斯坦本人根本就不同意什么隐变量理论），有的书里干脆就还说是否定了物质的客观存在性，总之也可能是我读书读的太少吧，相关资料看了一大摞，也没看到有一个真正很有条理的把整件事情给讲清楚来龙去脉与其背后逻辑的，对此我也是醉了.....

好吧，抛却这些吐槽不论，很想搞清楚以下几个问题：

1）贝尔不等式究竟是在阐述一个什么问题？其论证的逻辑是怎样的？最终的结论又是什么？

2）根据贝尔不等式，什么事情是"理应受其限制"而不可能发生的呢？

3）阿斯派克特的实验究竟在逻辑上是怎么证明贝尔不等式是不成立的？

4）阿斯派克特的实验究竟是说明了什么又否定了什么？

希望就以上问题能够获得比较有条理的解答，谢谢！

量子物理, 不确定性原理, 量子纠缠, 贝尔不等式, 量子纠缠态

逐条回答吧：

1）贝尔不等式究竟是在阐述一个什么问题？其论证的逻辑是怎样的？最终的结论又是什么？

贝尔不等式 |Pxz-Pzy|≤1+Pxy 阐述了以下一个问题：

EPR佯谬：对于一个粒子衰变产生的两个单态自旋反向运动的粒子，他们在理论上应该具有相反的自旋方向，这点经典物理（这里指的经典物理是指爱因斯坦认为量子力学应该也是"定域"和"实在"的，即不存在超距关系，和存在着独立于我们观测的外部世界）和量子力学（这里是指非定域和非实在）观点都是一致的，但所不同的是，根据量子力学的观点，在观测之前，两者自旋是处于不确定的叠加态之中（纠缠态），两者不可分离（无论相隔多远），只有测定了其中一个粒子的自旋方向，另一个粒子的自旋方向才能确定；而经典物理认为，从衰变分离的那刻开始，两者的自旋都是确定的。而两者的区别可以由贝尔不等式区分。定域实在的经典物理必须满足贝尔不等式因为他们认为两个粒子无法交换信息，这个式子是他们相关性的极限，而量子力学则不需要满足，因为两者从产生后就不可分离，相关性很强，只有在测量后，波函数塌缩，我们才能确定两者自旋方向，而不同方向的测量跟测量方式相关，因此相关性和概率不是线性的（经典情况）而是连续的。

其中不等式的含义：Pxz代表观测A粒子在x方向和y方向自旋同向的相关性（在大数统计时亦或认为是其概率），式子其余同。其推导逻辑有点复杂，我引用下曹天元《上帝掷骰子吗-量子力学史话》里对贝尔不等式的推导过程（我个人认为他的解释是最简洁的），并做了些排版，供参考：

我们用一个矢量来表示自旋方向，现在甲乙两人站在遥远的天际两端等候着A和B的分别到来（比方说，甲在人马座的方向，乙在双子座的方向）。在某个按照宇宙标准时间所约好了的关键时刻（比方说，宇宙历767年8月12日9点整，听起来怎么像银英传，呵呵），两人同时对A和B的自旋在同一个方向上作出测量。那么，正如我们已经讨论过的，因为要保持总体上的守恒，这两个自旋必定相反，不论在哪个方向上都是如此。假如甲在某方向上测量到A的自旋为正（＋），那么同时乙在这个方向上得到的B自旋的测量结果必定为负（－）！

换句话说，A和B——不论它们相隔多么遥远——看起来似乎总是如同约好了那样，当A是＋的时候B必定是－，它们的合作率是100％！在统计学上，拿稍微正式一点的术语来说，（A＋，B－）的相关性（correlation）是100％，也就是1。我们需要熟悉一下相关性这个概念，它是表示合作程度的一个变量，假如A和B每次都合作，比如A是＋时B总是－，那么相关性就达到最大值1，反过来，假如B每次都不和A合作，每当A是＋是B偏偏也非要是＋，那么（A＋，B－）的相关率就达到最小值－1。当然这时候从另一个角度看，（A＋，B＋）的相关就是1了。要是B不和A合作也不有意对抗，它的取值和A毫无关系，显得完全随机，那么B就和A并不相关，相关性是0。

在EPR里，不管两个粒子的状态在观测前究竟确不确定，最后的结果是肯定的：在同一个方向上要么是（A＋，B－），要么是（A－，B＋），相关性是1。但是，这是在同一方向上，假设在不同方向上呢？假设甲沿着x轴方向测量A的自旋，乙沿着y轴方向测量B，其结果的相关率会是如何呢？冥冥中一丝第六感告诉我们，决定命运的时刻就要到来了。

实际上我们生活在一个3维空间，可以在3个方向上进行观测，我们把这3个方向假设为x，y，z。它们并不一定需要互相垂直，任意地取便是。每个粒子的自旋在一个特定的方向无非是正负两种可能，那么在3个方向上无非总共是8种可能（把每个方向想像成一根爻，那么组合结果无非是8个卦）。

x y z：+ + +，+ + -，+ - +，+ - -，- + +，- + -，- - +，- - -

对于A来说有8种可能，那么对于A和B总体来说呢？显然也是8种可能，因为我们一旦观测了A，B也就确定了。如果A是（＋，＋，－），那么因为要守恒，B一定是（－，－，＋）。现在让我们假设量子论是错误的，A和B的观测结果在分离时便一早注定，我们无法预测，只不过是不清楚其中的隐变量究竟是多少的缘故。不过没关系，我们假设这个隐变量是H，它可以取值1－8，分别对应于一种观测的可能性。再让我们假设，对应于每一种可能性，其出现的概率分别是N1，N2……一直到N8。现在我们就有了一个可能的观测结果的总表：

Ax Ay Az Bx By Bz 出现概率：

\+ + + - - - N1
\+ + - - - + N2
\+ - + - + - N3
\+ - - - + + N4
\- + + + - - N5
\- + - + - + N6
\- - + + + - N7
\- - - + + + N8
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上面的每一行都表示一种可能出现的结果，比如第一行就表示甲观察到A在x，y，z三个方向上的自旋都为＋，而乙观察到B在3个方向上的自旋相应地均为－，这种结果出现的可能性是N1。因为观测结果8者必居其一，所以N1＋N2＋…＋N8＝1，这个各位都可以理解吧？

现在让我们运用一点小学数学的水平，来做一做相关性的练习。我们暂时只察看x方向，在这个方向上，（Ax＋，Bx－）的相关性是多少呢？我们需要这样做：当一个记录符合两种情况之一：当在x方向上A为＋而B同时为－，或者A不为＋而B也同时不为－，如果这样，它便符合我们的要求，标志着对（Ax＋，Bx－）的合作态度，于是我们就加上相应的概率。相反，如果在x上A为＋而B也同时为＋，或者A为－而B也为－，这是对（Ax＋，Bx－）组合的一种破坏和抵触，我们必须减去相应的概率。

从上表可以看出，前4种可能都是Ax为＋而Bx同时为－，后4种可能都是Ax不为＋而Bx也不为－，所以8行都符合我们的条件，全是正号。我们的结果是N1＋N2＋…＋N8＝1！所以（Ax＋，Bx－）的相关是1，这毫不奇怪，我们的表本来就是以此为前提编出来的。如果我们要计算（Ax＋，Bx＋）的相关，那么8行就全不符合条件，全是负号，我们的结果是－N1－N2－…－N8＝－1。

接下来我们要走得远一点，A在x方向上为＋，而B在y方向上为＋，这两个观测结果的相关性是多少呢？现在是两个不同的方向，不过计算原则是一样的：要是一个记录符合Ax为＋以及By为＋，或者Ax不为＋以及By也不为＋时，我们就加上相应的概率，反之就减去。让我们仔细地考察上表，最后得到的结果应该是这样的，用Pxy来表示：
Pxy＝－N1－N2＋N3＋N4＋N5＋N6－N7－N8

嗯，蛮容易的嘛，我们再来算算Pxz，也就是Ax为＋同时Bz为＋的相关：
Pxz＝－N1＋N2－N3＋N4＋N5－N6＋N7－N8

再来，这次是Pzy，也就是Az为＋且By为＋：
Pzy＝－N1＋N2＋N3－N4－N5＋N6＋N7－N8

好了，差不多了，现在我们把玩一下我们的计算结果，把Pxz减去Pzy再取绝对值：
|Pxz－Pzy|＝|－2N3＋2N4＋2N5－2N6|＝2 |N3＋N4－N5－N6|

这里需要各位努力一下，超越小学数学的水平，回忆一下初中的知识。关于绝对值，我们有关系式|x－y|≤|x|＋|y|，所以套用到上面的式子里，我们有：
|Pxz－Pzy|＝2 |N3＋N4－N5－N6|≤2（|N3＋N4|＋|N5＋N6|）

因为所有的概率都不为负数，所以2（|N3＋N4|＋|N5＋N6|）＝2（N3＋N4＋N5＋N6）。最后，我们还记得N1＋N2＋...+N8＝1，所以我们可以从上式中凑一个1出来：
2（N3＋N4＋N5＋N6）＝1＋（－N1－N2＋N3＋N4＋N5＋N6－N7－N8）

看看我们前面的计算，后面括号里的一大串不正是Pxy吗？所以我们得到最终的结果：
|Pxz－Pzy|≤1＋Pxy

这个不等式有深刻的含义。在经典解释下，观测不影响一开始分离出来粒子自旋的相关性，无论方向怎么取，量子力学隐含什么隐变量，只要它是局域的，内在的相关性必然限定在贝尔不等式范围内，而且相关性是分立线性的，只有那么些可能。但是在量子力学体系下，因为A和B是一体的，在某种特定的观测条件下（比如x和y方向的夹角θ很小，换句话说cosθ很大），两者会体现很强的相关性，会突破贝尔不等式的限制，而且相关性是连续的（与观测角θ相关）。

最终的实验结果（80年代之后有很多实验，而非仅仅只有一个），基本上支持了量子力学的观点，即量子力学是非定域和非实在的。但目前也有部分科学家也认为现有的实验存在"侦测漏洞"、"通讯漏洞"等实验漏洞，对贝尔不等式提出了质疑。但量子通信等实验对贝尔不等式有侧面的支持。

2）根据贝尔不等式，什么事情是"理应受其限制"而不可能发生的呢？

贝尔不等式是针对经典物理中对量子力学必须具备的"定域性"和"实在性"两个观点进行了证伪。如果两者是成立的，在其限制之下，A和B的波函数是独立的（听起来这似乎是更加直观和正确），并无存在弥漫全空间的"纠缠态"波函数，也无超距相互作用和观测引起的"实体变化"。

"纠缠态"被证明是存在的，但它与所谓"超距相互作用"是有本质区别的。量子力学的非定域性并不支持信息的超距传播。"纠缠态"本身是一个整体，无论A、B相距多远。在测量时两者的塌缩虽然是"瞬时"的，但两者并未交换任何信息，从信息论角度，两者"共担"了整个量子态的信息，或是严格意义上说A、B是不可分离的（虽然从距离上是分离的，我指的是量子态上）。在量子通信中，处于纠缠状态的两个粒子虽然表面上会对对方的测量作出"瞬间"反应，但是要把另一个粒子信息传播回来还需要经典信道，因此也不存在超距的量子通信。

3）阿斯派克特的实验究竟在逻辑上是怎么证明贝尔不等式是不成立的？

阿斯派克特的实验由钙原子单次跃迁中同时发射的反向运动的光子对进行偏振测量以检验贝尔不等式。因为光子是无质量粒子，其自旋为1，只有两个自由度，对应光子的两个偏振方向。A、B两个光子反向远离后，对A粒子的自旋进行x、y两个方向的测量（x、y非正交，而且为了统计效果经常在变化），测量的方法是不停改变光子偏振方向。对B粒子也进行相同的测量。这样得到了四个偏振方向的测量结果Ax、Ay、Bx、By。根据贝尔不等式，如果现实是定域性的，则关联函数（关于两边四个检测器分别对应四个偏振角度上同时检测结果的函数Ax，Ay，Bx，By）的值必须介于一定范围之间而不能突破。但是，所有的实验结果均表明：贝尔不等式不成立，在一定统计下，关联函数会超越局域隐变量所预计的最大区间，而且，关联函数的值分布总是符合量子理论（采用纠缠态波函数描述光子）的预测，测量结果跟观测角度方向相关，是连续而非线性的。因此，现实是非定域性的，而且可以被量子理论描述。

4）阿斯派克特的实验究竟是说明了什么又否定了什么？

Marxdamon:

呵呵，您的这个是摘自曹天元的《上帝掷骰子吗》一书吧？（BTW，这本书写的确实很不错，风格和绝大多数国内教材的枯燥死板大相径庭）

如果我理解的没错，量子纠缠的理论认为两个粒子在被观测之前都属于"叠加态"，因此无论离得多远，实质上都是一个整体，一个发生概率坍缩，也就是另一个发生了坍缩。

其实如果不是因为目前的量子力学认为一切"事物在观测之前不存在一个客观确实的状态"（换句话说，也就是"是观测的行为才导致了客观存在"）这样一个与一切固有观念"反其道而行之"，相对"惊世骇俗"的立论基础，也就不会有诸如"叠加态""观测引起概率函数坍缩"这些看起来很复杂的概念，更不会还由对立面想出什么"隐函数"来试图予以反驳。

如果一对自旋互为相反的粒子，其自旋方向从一开始就是确定的，那么问题立刻就从很玄妙的"量子纠缠"变成了一个连卖茶蛋的老太都能明白的"左右手套"的问题。一切都变得特别特别的"常识化"。（我之前在回复Ivony时有阐述）

但如果是这样，一切后来让人们抓狂的问题（诸如薛定谔之猫等）固然都不复存在了，但立马就必须面对一个用费曼的话来说"包含了量子力学几乎所有秘密"的实验：带观测的单电子双缝实验。

所以换句话说，这时候的情形就是：一边不纠结了，立马另一边就会变得无比纠结，这个纠结与抓狂就像一个手机膜里的气泡一样，被挤来挤去，但就是从未消失。

问题就又回到了当初，我们该怎么理解这一类诡异的实验，比如：带观测的单电子双缝实验？当初为了解释这样一个实验，有人发明了"鬼域"的概念，而量子力学的鼻祖波尔甚至讲出了"讨论电子/光子在被观测到之前处于什么状态是没有意义的，不允许问"这样特别"宗教风格"的话来。

所以如果量子在被观测之前的状态是"客观确实"的，那么就绕不过去如何"重新解释带观测的单电子双缝实验"这样一个当初逼疯了无数人，好不容易想出一个"叠加态"之类的概念，说了很多"宗教语言"才勉强过关的实验现象。 (4 赞)

One Two -> Marxdamon: 我前面说了，部分摘自他的书，有很多是我自己写的。现代研究的一个原则是别想太多做多点。您的一些讨论实际上已经涉及哲学范畴了。物理学讨论为什么，下去都是哲学，我个人觉得没有意义，很多时候只要知道是什么就行。其实贝尔不等式就是一句话的事情：量子力学是非定域的。至于怎么理解，实际上我个人认为与物理学无关，哥本哈根诠释也只是一种解释，信不信由你。。。这里面跟物理学相关的是怎么扩展或应用这个认知和理论，比如量子通信、量子门什么的。 (3 赞)

One Two -> Marxdamon: 另说下你的这句话"事物在观测之前不存在一个客观确实的状态"，并非是量子力学的基本理论，而是哥本哈根诠释的一部分而已。这部分其实与量子力学理论和扩展完全没有关系，而且原话也不是如此。哥本哈根诠释只是认为在量子力学中，因为测量尺度跟理论尺度接近，测量已不可避免会影响原有系统。

Marxdamon -> One Two:

我理解量子力学也好，或者任何其他理论，特别是物理理论，其实是两个层面的东西：1）知其然，就是比如我们知道几个变量之间是怎样的一个关系，这一块可以通过实验来验证，最终能够做出很好的一个预测，通常这个时候，理论会产生实际的运用而成为"技术"
2）知其所以然
也就是我们如何来解释我们所观察到的现象，这是另外一码事儿。目前量子力学可以在"知其然"方面做的很好，但正如奥地利著名量子理论科学家Zeilinger所说的：对于这方面，我们至今仍然知之甚少，并不真正明白量子物理为什么是这样的。

Marxdamon -> One Two:

我记得"事物在观测之前不存在一个客观确实的状态"，这好像差不多就是波尔的原话了。当然量子力学如今的范畴也早已外延到更广阔的领域，但是根据我的理解，其核心还是波函数，概率叠加态，不确定性原理这些。那么讲到"叠加态"，那其实基本上和波尔讲的那句话就是一个意思而已，在我看来，这已经相当"基础"了，包括肯定绕不去的"带观测的单电子双缝实验"。

至于现代研究原则是"别想太多"，或者不应该进入哲学层面，我对此并不同意。尽管哲学范畴的讨论并不是我发这个讨论的初衷，但是波尔与爱因斯坦的分歧恰恰是在哲学层面的，只不过这里按下不表而已啦。但一定要说的话，量子力学的哲学基础几乎可以肯定是错的，但Again,
这并不影响它在"知其然"层面的精准，但在"知其所以然"层面的结果就是"越走越远"，甚至出现了一大堆像"鬼域"或者"平行世界"这样完全不知道该怎么形容的理论。但是量子力学后来的态度也被磨炼的相当牛逼：面对薛定谔之猫的悖论，也仍然理直气壮的说"对！就是又生又死的叠加态，一定是这样啊！"，慢慢的，量子理论的气氛变得越来越"以违背常识为荣"：匪夷所思？匪夷所思就对啦！不匪夷所思怎么能是量子力学呢？呵呵，对此当然每个人各自保留看法吧。

科学在我看来，就是"无止境的不断发问与探索"，这也是为什么我认为波尔说"不允许讨论电子在通过双缝而被观测到之前的状态"是一件相当相当"宗教风格"的话的原因。

至于"因为测量尺度跟理论尺度接近，测量已不可避免会影响原有系统。"，这个应该是最早的海森堡测不住原理的观点，我对此没有异议或疑问。 (2 赞)

shou qiu -> Marxdamon: one two的做法更谨慎，会出现这种违背常理的命名，因为它就是有点不对劲，在得到定论以前就急着转变为常理有点急功近利了。

Fcmorrowind -> Marxdamon:

你并没有理解。。。如果真的是左右手套的情况，那么就会满足贝尓不等式，但是实验检测并不这样。忘了白手套吧，经典的逻辑不适用于量子世界。

贝尓不等式物理含义说白了也很简单，那就是有些系统的状态不能拆成乘积态。

以最简单的电子自旋为例，一个粒子的状态由两个复数表示，考虑归一化和相位，是两个自由度，两个电子合起来就是四个。而两个电子的系统由四个复数给出，考虑相位和归一化，一共六个自由度。

六个自由度怎么可能被四个自由度表示？这根本就是显然的嘛。

更具体的例子就是u表示上，d表示下的话，ud-du的状态，就无法拆成单独的u和d之积，不信你试试。

当然了，这个所谓显然的前提是量子力学的数学模型正确。至少目前是符合实验结果的，以后可能会被推翻或者修正。

另一方面，白手套的经典模型不可能正确，因为现在就已经被证伪了。 (3 赞)

高高老师 -> Fcmorrowind: 感觉这个回复回答到点子上了，看完这个我貌似懂了一点

One Two: 1、务必夯实自己的基础知识，搞清楚量子力学基本假设和诠释的区别。2、爱因斯坦跟玻尔的争论早就是陈芝麻烂谷子的事情了，而且实验早给出定论。3、不要按"常识"或"直观"去理解近代物理，也不要把物理研究搞成哲学，否则你会在民科路上越走越远。4、平行世界等诠释并非如你说的是走远，相反目前在主流物理学家眼里已经跟哥本哈根诠释有平起平坐的趋势。没事多看书再思考，别空想。 (2 赞)

Marxdamon -> One Two: 平行世界理论那才明显叫空想 好伐？有实验吗？目前基本还属于not even wrong的范畴吧？ (3 赞)

Ivony -> Marxdamon: 我同意你说的，平行宇宙这种假设是最没有建设性意义的一个假设，除了给科幻小说提供素材，事实上什么问题都没有解决。而且这种思路很危险，这种解释本质上和这是上帝安排的一样毫无意义。 (3 赞)

知乎用户: 贝尔不等式不成立是不是说明实际上N1加到N8不等于1。 (1 赞)

Boltzlinn -> 知乎用户: 你的想法就是在守恒律上做文章啊，可以参考ivony的答案，一般做物理的是不会这么搞的 (1 赞)

土豆: 有一个小问题，为什么隐变量被证伪，就可以认为叠加态被证实呢[好奇]没有别的可能吗[好奇] (1 赞)

蕉上客:

"|－2N3＋2N4＋2N5－2N6|＝2 |N3＋N4－N5－N6|"
这是怎么得出来的？ (1 赞)

千年王八: 2022 10 5 打卡，诺贝尔物理学奖见证 [爱] (1 赞)

univeagle: A和B都是微观粒子，自旋可以测三次吗？测一次以后不就坍缩了吗？测第二次的时候仍是相互纠缠的吗？ (1 赞)

Ivony: 的确是有机构调查了各个物理学家支持哪种诠释，但是这个里面一个很明显的问题在于物理学家的选取标准和这些物理学家所研究的领域。如果是研究深空宇宙引力相关的，事实上量子物理和他的方向都没啥关系，平行宇宙这种假说当然是再好不过，所有问题都解决了然后就可以研究自己的引力场去了。 (1 赞)

Fcmorrowind: 如果你没有相应的数学基础，可能不太看得明白。量子物理史话是我能想到最简单的科普语言了，但是既然你有疑问，那只能学一下狄拉克括号，看数学语言的贝尔不等式推导了。

Marxdamon -> Fcmorrowind: 多谢~

One Two: 另，海森堡的"不确定性原理"，即动量位移算符的非对易，时间能量的非对易，实际上是量子力学的基本理论，但我提到关于测量的那句话是哥本哈根诠释一部分，实际上现在的表述已经不叫"测不准原理"了，就是为了区分两者。而不确定性是否来自测量，目前也没有定论。多世界诠释中，不确定性是自然的而与测量无关。我回答中对贝尔不等式的解释虽然是用哥本哈根测量的诠释语言描述的，但并不影响非定域和纠缠态的结论。至于非实在，这个看各家诠释的理解了，也许在多世界解释里客观实在仍旧是存在的。

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