理论物理死掉了吗？ - 知乎

请教物理专业大神，从牛顿到爱因斯坦，再过了100多年，请问理论物理是不是已经寿终正寝?能否不加私人感情的评论一下。如果真的已死，那不取消这个研究方向

物理学, 理论物理, 大学物理, 除夕夜的落雨猫

国内top4物理专业毕业，在读理论物理硕士

先说结论，理论物理近期死不了

（至少）有两大原因：

第一，你觉得为什么需要量子力学和狭义相对论？原因是牛顿力学不能预测某些实验现象，比如著名的两朵乌云。并不是因为人们想搞新模型（纯数学喜欢搞新模型，物理却不是），物理一般想在原来的模型上加小修小补，只有当小修小补实在搞不定，才会考虑新模型，然后要求新模型在“经典极限”下回到原来的模型。相当于不是修补原模型，而是推广之。量子力学和狭义相对论各自搞定一朵乌云，照常理来说，“物理的大厦再次即将建成”，“理论物理寿终正寝了”；但是问题是，量子力学（将牛顿力学延拓到微观）和狭义相对论（将牛顿力学延拓到高速）两个模型的框架互相不兼容：狭义相对论要求时间和空间同权，组成“闵氏时空”；但量子力学仍旧采取牛顿力学“空间加时间”的构架，具体来说，就是粒子由波函数表征，波函数弥散在全空间，并随时间演化，这天然的把“空间”和“时间”变成了不同的东西，薛定谔方程里波函数对时间是一阶导，对空间是二阶。于是有了爱因斯坦和量子力学的论战，爱因斯坦所说的“上帝不掷骰子”也是这时候的产物——虽然两边都可以更好的fit各自领域的疑难实验，但两者哲学构架上的不同注定了两者最多只有一个对。

值得注意的是，到这个时候（1930s），日常生活中，包括实验室里，能遇到的情况基本上都可以被解释了，接下去的进展，在物理学史上第一次，不是（完全）靠实验驱动的了，这可能也是题主疑惑的地方，如果狭义相对论和量子力学兼容，理论物理确实可以说基本结束了，我们也发现了世界的真相。可惜，他们不兼容。

除了这个问题之外，还有另一个问题，我们有了狭义相对论这个新模型之后，需要把牛顿力学里的各个东西都延拓进新模型下，其他的东西（电磁学，力学等）都没有问题，但是牛顿引力无法找到一个合适的延拓（这个对实际影响不大因为引力太小了，在日常尺度没有意义，在宏观尺度上说，引力相对于尺度也不太大，观测的误差就很大，牛顿引力做的不错，但理论上，如果狭义相对论容不下引力，那狭义相对论必定有问题）。

因此有一波物理学家致力于把量子力学和狭义相对论结合起来成为一个新理论，后来就是量子场论，温伯格说量子场论就是“量子力学加狭义相对论”；爱因斯坦则根据等效原理对狭义相对论进行了一个（逻辑上）很自然，也（操作上）很困难的延拓，即要求我们处在的背景时空从闵氏时空拓展到一个可以弯曲的流形上，这样可以很顺利的把引力解释为时空的弯曲，这个就是广义相对论。

注意到这个时候（两者的完善大概是1960-2000左右，1980之后基本都是小修小补了），量子场论和广义相对论基本都不是因为“实验现象和理论不符”产生的，而是为了解决理论内在的不兼容性（这种不兼容会在一些极端情况下造成实验和理论不符，但不是日常生活/日常实验室），当然在提出之后，物理学家们也找到了一些办法，设计了一些实验来验证这两者。

量子场论（后来发现）是人类历史上最精确的理论，没有之一，牛顿力学和实验符合到前两位的话（著名的反常磁矩）精确到两位有效数字的话，量子场论至少精确到12位有效数字，之前看到日本有个实验室继续计算下去，算到20位都是一致的（这个我不确定，忘了哪里看到的了）；

广义相对论当时的可供印证的效应很少（因为天文观测的误差太大），但依旧给出了不少预言，如星光偏折，引力波，黑洞等，这些在近二十年都得到了验证，但广义相对论不是因为这些“牛顿引力难以解释的现象”才提出的。

好了，也许你会说，OK，两边都是MVP，都牛，理论物理被他们搞定了吧！可惜......

还记得之前说狭义相对论容不下引力吗？量子场论由狭义相对论和量子力学结合而成，同样容不下引力。用行话来说，在量子场论中，引力“不可重整化”，因此只能构建出有效（近似）理论。更恶劣的是，狭义相对论往广义相对论拓展的这一步，会完全击毁量子场论的基石，量子场论和广义相对论不兼容。接下去一段我简单介绍其中一个不兼容的点（其实到处都有问题，量子场论本身就有不太自洽的地方），看不懂跳过就好。

量子场论上来是说，粒子以场的形式存在，而不是“一个粒子一个粒子”地存在，在某些情况下可以近似看成“一个粒子一个粒子”的样子（回到量子力学），有些情况下不能。那我们要首先确定啥可以作为“粒子场”。量子场论认为，粒子场是庞加莱群的表示，庞加莱群是闵氏时空的对称群，对应了十个Killing矢量场，十个时空对称性，也对应了十个时空守恒量（比如能量动量角动量等等）；但是广义相对论的背景时空不是闵氏时空了，也不一定要有这十个对称性，那么整个“粒子场”的概念都要重设，那就是把量子场论的老家掀了。

回到主题，如果量子场论和广义相对论兼容，那我们也可以宣告理论物理完结，毕竟（几乎）没有任何实验室里出现的现象我们不能解释，至少对于我们现在的技术而言，甚至根本涉及不到广义相对论和量子场论的核心，可能有一些边边角角的修正，但是我们的技术和产品主要就是用到牛顿力学（绝大多数产品）和量子力学（量子计算，光刻机等）和狭义相对论（GPS，航天）；量子场论尚可以边边角角的用来搞材料，广义相对论的应用基本就只能在科幻小说里找了（虫洞，曲率引擎，行星发动机）。

可惜量子场论和广义相对论不兼容，所以现阶段理论物理的核心目标之一就是寻找可能的量子引力理论，比如说弦论，比如说圈量子，等等等等。这个时候，之前“现实生活和实验室里做出来的现象都被很好的解释”反而成了坏处------我们没有办法做实验去验证弦论，因为装置搭不出来：欧洲的CERN粒子对撞机管长都是27km了，开机就要开一年；观测黑洞就需要人们在世界各地设置“望远镜”的部分，搞出一个相当于地球直径一样大的望远镜，花一两年时间才洗出一张黑洞照片（然后发现结果是符合广义相对论的预测的）；这些只是用来搞量子场论和广相的预言的，而量子引力的预言都在更极端的场合，现有技术根本做不到，无法验证。

弦论确实很可能是终极理论，但是他也有他的一些问题尚未解决，但如果你定义“物理”的时候要求严格的实验论证，那就是直到量子场论和广义相对论算是well established的，那么理论物理还没到寿终正寝的时候。至少得等到技术能做弦论预测情况的实验的时候才能这么说，这还得要求做出来的结果符合弦论预测。实际上，有不少证据说明可能弦论不一定对。

另一个补充的小问题是，宇宙学上还存有不少疑难问题（微波背景辐射，暗物质等），尚不确定是不是能用广相/场论的框架解决，因为观测的数据不多而且误差比较大。

第二，即使终极理论出来了，理论物理还有很多扫尾的工作要做，比如说广义相对论吧，爱因斯坦场方程，明明白白给你了，但是我解不出来，这事情就很麻烦，一个解不出来的方程对理解和应用都没啥用。所以一大工作也是去近似求解，去发现新的解，去计算这些解是否稳定，有什么意义等等。从量子力学到宏观物理也不容易，毕竟解薛定谔方程一个原子可能还好，组成宏观物体不知道有多少亿亿亿亿亿个原子，不可能用量子力学怼。还是需要寻找有效理论，找到宏观量去描述宏观物体，这个过程也不容易，也很难说“做完了”，那么理论物理这个学科，也会被保留，虽然可能重心和现在不太一样。

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回答一下评论区里的一些困惑：

零、关于top4

翻了翻评论区，好多人在纠结top4是哪个，有点无语哈哈哈。之所以提学校，是因为题主说了是问“科班出身”的人，我说top4，以及我在读理论物理硕士，是说给题主听的（如果题主看到了的话），提具体学校也没啥意义，对于一个外行人，充其量也就是查一下这个学校物理系整体是不是好，不见得知道理论怎样，我还不如直接给他结论，top4。要是不信我，那就像不说原因，直接说我回答内容误导人一样，我也没办法。但我回答里所有内容，我基本都能精确到页地找到参考文献（正经教科书里）。甭管对不对，“科班”我觉得至少没啥大问题。

再然后，如果你真想知道我具体啥学校毕业的，我也没遮遮掩掩，你点开我头像看一眼我之前的回答不就知道了吗？

一、关于狭相和量力兼容性的问题，

大学里或许会有课程名字叫“高等量子力学”或者“相对论性量子力学”，这个课教的东西就是量子力学进行一些小修小补使得狭义相对论可以搭配进去（至少一部分），量子力学和狭义相对论的根本矛盾在于狭义相对论要求时空平权，而量子力学（薛定谔方程）里时空不平权。

KG方程和Dirac方程都是这个语境下出现的：寻找使得时空平权的“量子力学”方程。很多量子力学教材会包括这俩方程以及“小修小补”的过程，如果算上这些修补，量力和狭相看似也没什么不兼容的，但需要注意的是这些修补本身就是因为薛定谔方程代表的量力和狭相不兼容的后果。而且，这些修补之后，依旧会有不能解决的理论内在问题，比如Dirac方程带来的负能量态，且只适用于自旋1/2粒子等等。

在实际应用中，这些修补比直接用量子场论的方法来计算有时简单很多，所以相对论性量子力学在实操中是有意义的。但相对论性量子力学终归有很多不能解决的问题（实际上这个修补有很多很多种，不止教科书上的那些，但总之都没成功），所以才需要量子场论作为一个推广的模型（而不仅仅是小修小补）。

兼听则明，若是信不过我，这个历史（量力狭相不兼容，怎么修补都有问题）在绝大部分量子场论的教科书的Introduction里都会有（比如Peskin第二章一开头，或者Srednicki第一章整章），感兴趣的可以看一看，Srednicki讲的更完整一些。

二、关于初始/边界条件和预测（即决定论思想）

我的理解是，经典物理，量子力学，狭义相对论，量子场论是“决定论”的，而广义相对论只有在讨论的时空可以3+1分解的时候才可能有决定论（参考梁灿彬《微分几何入门与广义相对论》的第14章第5节）

量子力学的演化方程没有玄学在里面，给定初始的粒子状态（态空间中的态），用薛定谔方程算他的态演化，得到末态，不存在几率问题。就像牛顿力学，给定初始的粒子状态（相空间中的态，相空间的参数是粒子的位置和动量），用牛顿三定律算他的态演化，得到末态，不存在几率问题。

通常所说概率幅等“玄学问题”，是因为我们想用牛顿力学模型中的参数“位置，动量”，去描述量子力学模型中的粒子状态 ，就会出现“不知道怎么描述”的情况，加上“观测”作为外界微扰导致的系统坍缩，就出现了玄学概率，但在量子力学模型中，是不存在概率的，粒子的演化是决定论的。

打个比方的话（别杠，这是个不严谨的比方，不是用来说服别人的，而是用来让别人理解我啥意思的），请你告诉我你手机屏幕现在显示的颜色是什么？请你用你的水杯接一杯水并告诉我杯子里水的具体位置（精确到一个点）？

“颜色”对于手机屏幕不是一个良定义的量，因为手机屏幕上可以同时有好几种颜色；水的具体位置也不是良定义的量，因为“杯中的水”这个对象覆盖了不止一个点。在量子力学的模型下，粒子是波，可以不严谨地暂时认为是像一层水膜一样覆盖在全空间的东西，体积固定。这个时候，“粒子的位置”就是不良定义的。如果强行去观测粒子位置，就会有概率问题出现。

具体、严谨的讲要花很大篇幅，我就不写了，抛砖引玉，感兴趣的可以先看完例如格里菲斯这样好入门的书，然后看GTM系列里的《quantum theory for mathematicians》（需要一丢丢数学基础） -- #check 格里菲斯入门书, GTM系列

三、理论物理终结于广相和量子场论的话，是否人类就终结于太阳系了？

我觉得不一定。参见我说的第二条，广相虽然基本框架搭的比较完善，但是爱因斯坦方程高度非线性且自由度耦合，基本不可解，所以广相是否允许时空穿梭等物理学家其实并不清楚。我现在身边也有做虫洞的理论组，他们用的大多都是经典广相，也没有涉及什么量子引力，之所以能做就是因为这实在是太难解，没人知道什么可能存在。即使广相和量子场论兼容，人类的科技也还远远没到“收个尾下班”的程度。

四、关于“现在对粒子（世界基本构成单位）的看法”

评论区有人提到“三维空间切片堆叠”，这是量子力学的模型，也正是量子力学不与狭相兼容的原因，在量子场论框架下（理论的formal见Weinberg），粒子是庞加莱群的不可约表示，是不随参考系变化而变化的（也就是时空同权的）。“三维空间切片堆叠”需要先对狭相的四维闵氏时空进行一个3+1分解（对于狭相是很容易做的），这个3+1分解对应于一个观者，也即并没有哪个“三维空间”是特殊的，并非先有“三维空间上的波函数”，再堆叠起时间轴（这个是量子力学，与狭相不兼容的提法）；而是先有“四维时空上的波函数”，然后再找3+1分解切片。

评论区同时提到的“量子存在在空间中，没有时间上的外延性”，都是量子力学模型里的重要元素------用书本上的话来说，就是空间坐标是参数，时间坐标是标记（label）。

当然需要纠正的一点是，这并不是“现在的观点”，而是一百年前的（差不多正好，量子力学的提出基本是1920-1930），量子场论（粒子场是在时空中的元素而不是三维切片上的，“粒子”的概念不再适用，因为在量子场论模型下粒子数可变了）的建立和接受基本在1930-1960，然后1980左右弦论（弦论和量子力学量子场论完全是不同的模型了，把弦作为基本内容物（底空间），然后时空坐标作为场）得到了比较好的发展和结论。

如果考虑“现在的观点”，一般不是指量子场论就是弦论；量子场论好在他和实验符合的很好，坏在他和广相不兼容，搞不了引力；弦论好在他可以解释引力，数学结构上也比较漂亮，但是暂时没有能做的实验，所以很多人也对弦论存疑。但一般没有前沿工作者会把量子力学作为“现在对物质认识的观点”，除非是做普通物理工作的（用不到，也不关心量子场论那个尺度的精确度）。

知乎用户: 评论区真的无聊，一堆人不关注内容正确与否，纠结什么top4。 (54 赞)

baymax -> 知乎用户: 那群庸才激动的点进作者的文章却发现看下来一堆看不懂的专有名词，觉得作者在装逼打自己的脸，瞬间觉得自己好没面子。好在通篇读下来看到一个top4，这可是经常在各种营销号上看到并积极讨论的话题，遂拿出来和作者比划比划，企图给自己长点面子🐕。配图汤师爷[就一句话！恶心！恶心！！恶心呐！！！摔门而走]

LEO:

这是个好消息。如果理论物理现在就终结了的话，人类文明基本上就被锁死在太阳系了。

有问题，有的时候就等于有希望。 (45 赞)

study -> LEO: ？？ (7 赞)

Mo非花下雪 -> LEO: 蚌埠住了😳 (18 赞)

知乎用户7DImVW -> LEO: qq看点看多了吧😱 (3 赞)

算盘 -> 知乎用户7DImVW: 😱那个，有点像如果π能被算尽的话，数学体系得崩塌的理论。

leeal -> 算盘: 这个比喻不太恰当啊 (1 赞)

守心的剑心 -> 算盘: π是超越数，怎么可能会算尽 (15 赞)

ZCristiano -> 算盘: π的每一位是根据之前的结果递推出来的🤔 (1 赞)

铸星师 -> 算盘: 已经被证明就是无理数、超越数，从底层上就不可能算尽。现在只所以在算只是为了测试计算机的算力以及新算法的收敛速度 (1 赞)

知乎用户: 狭相和量子不是不兼容，广相才是，不要误导人 (30 赞)

徐慎行 -> 庄子黄: 他没说错，确实不兼容，原因回答里也写了，就是狭义相对论要求时空平权，而量子力学里只有位置是可观测量而时间不是 (32 赞)

黑祭司 -> 徐慎行:

为什么要观测量子的时间？量子有周期、寿命，都可以观测啊，虽然没写成方程和算符，但是你也不能说观测不了啊？!

时间没有写成算符是因为能量是观测量，作用量是拉式量对时间的一次积分，能量与时间只有一个可以当做算符（因为普朗克常数量纲是作用量）。🐕

黑祭司 -> 徐慎行: 而你不针对时间坐标，只说寿命和周期，就没有这个限制了，虽然不写进波动方程，但是寿命与能量宽度也是一个对偶关系啊，可以当算符处理。

除夕夜的落雨猫 -> 黑祭司:

不是说要“要”观测量子的时间，在量子力学里，确实“不要”观测量子的时间，而更像寿命这种，当然空间也有和时间的寿命上对应的（波包宽度嘛），但是时间是没有和“空间位置”对应的可观测量。这就是时空不同权的表现。
当然我个人对于“可观测量”的定义始终持保留态度，所以我文章中并没有用这个角度来说明量子力学的时空不同权，我直接用的是薛定谔方程的对时间偏导和对空间偏导不同阶，因此很容易计算知道不满足洛伦兹协变。
如果看Weinberg就能知道，希尔伯特空间加洛伦兹协变，唯一选择就是量子场 (3 赞)

黑祭司 -> 除夕夜的落雨猫: 质量宽度指质量分布的不确定度，哪来的无穷大?

除夕夜的落雨猫 -> 黑祭司:

不好意思理解错了
我以为你说的是可以用寿命算符替代时间算符
如果是不确定度的话，那就是另一码事了，位置也有。

黑祭司 -> 除夕夜的落雨猫:

至于粒子的寿命，很显然应该看作粒子占据的时间长度，而不应看粒子空间部分作划过的时间轨迹。

因为寿命是一个内禀属性，不是一个外部的时间坐标差。

所以关于物质本体的观念肯定是要进行变革的。 (3 赞)

黑祭司 -> 除夕夜的落雨猫:

看了。量子场也没解决原来的问题啊，规范自由度本身并不与时空自由度直接联结，在时空上没有对应，粒子的内禀属性被抽象到另一个空间了。

粒子在时空上的分布，并不能导出其量子参数，与其说将粒子看作场，不如说将场看作粒子的分布。粒子完全被抽象为内部空间在时空一点上的投射，时空外延性为0，只保留了经典的时空对称性。 (1 赞)

知乎用户:

top4的意思是top3只有唯2两所，其他一概不认。
top4的物理系真的牛逼，开了一些牛逼的课教出来了牛逼的学生比如答主 (26 赞)

起啥名字好: 解锁新称谓：top4 (22 赞)

卯兔未羊: 作者，top4是上海交大吗 (6 赞)

乔泽 -> 卯兔未羊: 交大不该争top3吗 (1 赞)

star -> 乔泽: 不该，有清北科在前面 (6 赞)

永恒东风 -> star: 物理top4不应该是科北复清吗？ (1 赞)

永恒东风 -> 卯兔未羊: 或者科北复南 (1 赞)

永恒东风 -> star: 清华我印象中量子发展不错，物理学整体上感觉还是不如科大北大，而且清华的整体基础学科建设有差距。话说前年吧薛其坤院士来蜗壳交流的时候，我影响最深的是有个同学问了一个问题＂科大在哪些方面比清华强＂😱，然后薛在一片笑声中回答说，清华在基础科学上与科大有一定差距。 (10 赞)

地平线的太阳 -> 不挑食: 只有中科大才能简称科大[调皮] (4 赞)

地平线的太阳 -> 永恒东风: 物理前四北大科大南大复旦，南大稳居第三 (1 赞)

永恒东风 -> 地平线的太阳: 这几年复旦有点掉队，科北复南这个讲法好像是很多年前的😱 (2 赞)

毛绒球: 这个top4就很骚🤔 (16 赞)

La Modernite: 有时候看科学史，会觉得我们这个时代太幸运了，数学和物理上太多的成果是在过去几百年间做出来的——难以想象，测度论在19世纪末才提出来；而分析力学、麦克斯韦方程组也是19世纪的人讨论的话题——这些在我们今天看来相当基础的工作在300年前人们闻所未闻。要知道，自人类文明伊始已有数千年历史，而丰硕的科学成果在短短的数百年里集中爆发，乃至人文学科也是如此。有人会不安于目前的理论互不相容，但我觉得这正好说明我们的科学已经脱离了漫长的懵懂无知的孩童时代，正跌跌撞撞地朝成熟性跃进。 (15 赞)

喵杰拉杏仁: 清晰流畅，祝愿答主能一直做下去，期待未来看到大作（虽然不知姓甚名谁，但是看到优秀的paper可能就会是答主了哈哈） (13 赞)

abada张宏兵:

可惜，从科学哲学到量子力学，我都不能同意你。

科学的目的是预言(预言事实或概率，哪怕是定性的)，解释只是预言的尝试。

科学的目的不是解释。弗洛伊德《梦的解析》把梦解释的头头是道，但是没有预言能力，就没有科学(实用)价值。

科学的目的最终是预言事实或事实的概率，这有达尔文演化论机制上的原因，在成本合算的前提下，提高预言力可以提高生存繁衍概率。能在黑夜中预言前方有悬崖的概率大，可以避免摔死的概率。能预言弹道就能更好地打击或防御敌人。能更准确地预言股市波动就能更赚钱。等等。

“基础物理学”的发展会减缓可以是因为它已经深入到离人类太远或太小的领域，与人类的电磁为主的世界的作用不大，包括对仪器的作用不大，也就是对机器生产力的作用力不大，对提高人的生存繁衍优势已经得不偿失。

如果只是满足好奇心，那只是一部分的好奇心。打游戏、玩音乐也可以满足很多人的好奇心，而且成本不大。

另外，常见的所谓基础物理学一直在处理简单系统，包括自然简单系统、人造简单系统。【物理学无法准确预言大风中的羽毛一小时后具体会刮到哪里】。简单系统的特征就是有各种对称性。【去年诺奖才发给处理复杂系统的物理学家】。

复杂系统往往更适合演化论思维方式。你不能说达尔文或孟德尔的进化论或遗传学说数学用得少，于是不是伟大的科学。阿尔法狗能围棋上战胜人类也是用的类似试错学习-进化算法，而不是解析算法。 市场经济比计划经济成功之处也在于前者是演化(博弈)算法得到不同的优解：自由企业制度允许变异多样性，而能满足消费者需求的被选择生存下去。

《现代进化论中的ESS：演化稳定策略论简介》： 现代进化论中的ESS：演化稳定策略论简介

【科学的目的是预言事实或事实发生的概率，哪怕是定性的预言。 米塞斯老老实实承认，经济学只能做定性的预言，而不能做定量的预言。 就像地震学家老老实实承认无法精确预言哪里何时地震一样，就像量子力学承认通常只能预言概率一样，反而是科学的态度。】

量子力学的基本特征是量子力学中间过程中，概率成为复数，传统概率的加法和乘法原则变为复数概率(概率幅)的加法和乘法。一个物理量的复数概率分布往往可以推出另一个物理量的复数概率分布，因为后一个物理量可以是前一个物理量的复数概率分布函数的相位，两者有傅立叶变换关系。 有幺正变换关系的函数都可以抽象为一个矢量。态矢量就是复数概率分布的抽象表示。

《路径积分的概率论直观》： https://zhuanlan.zhihu.com/p/372079693

波函数就是概率幅(复数概率)的分布函数。

【量子态就是物理量的复数概率分布状态】

之所以有抽象与表象具象之分，是因为物理量的复数概率分布函数不都是独立的，有的可以互相推出，类似函数与反函数的关系，所以可以抽象为一个态矢量，有时会简写方便，需要的时候再具体化。

【态矢量就是复数概率分布的抽象表示】

因为位置与动量都取实数，而位置的复数概率分布函数与动量的复数概率分布函数不是独立的，可以互相推出，是幺正变换(傅立叶变换)关系，所以可以把它们抽象为一个矢量，简写。 这只是一个平凡的数学技巧，很多解偏微分方程的方法里都可以应用，并不是量子力学的特征。

普通坐标系比如笛卡尔坐标系，怎么旋转，得到的坐标系都是平权的。 但是，量子力学的任意表象并没有那么平权，因为有的表象的本征值不是实数，其基矢难以去对应一个实数物理量的测量值。

所以，【与其说“波函数是态矢量在某个表象上的投影”，不如说“态矢量是一些有幺正变换关系的复数概率分布函数的代数抽象”。】

(幺正变换包括傅立叶变换、球谐变换、四元数变换等)。

就像一个平面曲线，我们把它作为矢量，建立坐标系后它可表示为函数，坐标系旋转后它的函数表示互相是幺正变换关系，函数与反函数(曲线不动而交换两个数轴)，也是幺正变换关系。 那么我们把这条尚无建立坐标系时的曲线抽象为一个矢量即可。 (10 赞)

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