“To study a group, it is important to study its subgroups!”

第一步：导出正规子群与商群的概念

【子群】什么是一个群G的 子群（Subgroup） ？G中的子集H如果还是一个群（即在原来群的运算下封闭），那么我们称H为G的子群，记作H≤G。

【陪集】给定一个群G，我们先看看它的阶数（元素的个数）与它子群阶数的关系，这就引申出了子群H的 陪集（Coset） 的概念：对于H≤G，H的陪集可以看做群G关于H的一个划分，并且划分下每个等价类称为子群H在G中的陪集。类似于陪跑的概念，把鲍勃·迪伦及他的粉丝看成文学者构成集合的“子群”，那么陪跑的村上春树及他的粉丝就是鲍勃的一个“陪集”。并且所有等价类中的元素的势（Cardinality）相等（即可以建立一一对应关系），于是进一步有了 拉格朗日定理 ：说明了 有限群 的子群的阶数（所有元素的个数）一定整除G的阶数。这个性质可以大大提高我们对G的子群的了解，例如素数阶群一定是循环群等等。

【正规子群与商群】但是光利用陪集将G进行划分还不够，我们想找个性质更好一点的子群N，使N的所有陪集构成一个群（每个陪集即等价类看成一个元素），即 商群（Quotient Group） ，记为G/N。通过运算我们知道必须让N是G的 正规子群（Normal Subgroup） ，即在G的共轭作用下不动，记为N⊴G（即每个元素去干扰这个集合，但这个集合依然不变，有点出淤泥而不染的感觉）。更进一步地，我们又可以得到关于商群的群同态三个基本定理等等。（注：同态是两个群之间的一个映射，这个映射保证了两个群关于运算的相似性，而若这个映射是双射，那么称这两个群同构，即两个群“一模一样”） -- 同构基本定理 - Wikiwand

第二步：深入研究正规子群和商群

【单群】既然有了正规子群的概念，研究到这里就足够了吗？显然还不够，因为只用定义去找正规子群是很！困！难！的！我们首先想知道G有没有非平凡的正规子群？如果有那么有多少个？一个性质是如果G没有非平凡的正规子群，即G只有{e}和G本身是G的正规子群，则称G是一个 单群（Simple Group） 。

【正规子群序列】那么如果G不是单群，即至少有一个非平凡的正规子群，可不可以考虑G的正规子群、G的正规子群的正规子群、G的......？这样就形成了一个 正规子群序列（Normal Subgroup Sequence） ，也就是{e}=Gn⊴...⊴G2⊴G1⊴G0=G，Gi+1是Gi的正规子群。（注意，Gi+2不一定是Gi的正规子群！）

【合成序列】如果G有这个正规子群序列，那么我们可不可以再进行分解，即每两个中间再插一些，分成原来基础上更细的序列，直到不能更细（也就是Gi/Gi+1为单群，且Gi≠Gi+1）？合成序列的定理告诉我们，对于 有限群 G来说答案是肯定的，也就是G的任意一个正规子群序列可以加细成为 合成序列（Composition Sequence） ，不能再加细，类比于24的因子的一个序列（1，4，24）可以加细成（1，2，4，8，24）。（任意相邻两数的商是素数）

【Jordan-Holder定理】那么问题又来了，24可以有（1，2，4，8，24）这个因子序列，也可以有（1，2，4，12，24）这个因子序列，（1，4，24）分到最后的两个因子序列的长度是不是一样，相邻两个元素的商可不可以有个一一对应？也就是G的两个合成序列{e}=Gn⊴...⊴G2⊴G1⊴G0=G与{e}=Hm⊴...⊴H2⊴H1⊴H0=G中的m是否等于n？以及{Gi/Gi+1}与{Hi/Hi+1}见是否有个一一对应？ Jordan-Holder定理 告诉我们答案是肯定的。

【有限单群分类定理】至于合成序列与单群为什么这么重要，是因为在深入研究一个 有限群 G时，经常会发现 一个命题对有限群G成立当且仅当对它合成序列中的有限单群Gi/Gi+1也成立 ！进而会很多数学家对有限单群进行深入研究。而有限单群分类定理是对单群进行分类研究这项巨大工程的重要产物，但由于单群分类定理的证明非常不漂亮，用了长达五千多页的文字，并且证明存在漏洞还没有完全修补完！所以暂时还不为大多数数学家所接受，因此目前也有很多人试图用更简洁的证明来将有限单群进行分类。在此我们就不深入讨论下去了。

【可解群】好了，我们再回到正规子群序列，另一个角度看它的性质（注意：不一定是合成序列）。存不存在某一个正规子群序列使得Gi/Gi+1是一个Abel群（即运算可以交换的群，又称交换群）？如果存在，我们称G为一个 可解群（Sovable Group） 。一个显然的命题是一个单群如果不是Abel群，那么它不可解，所以由一些定理可以知道，n≥5时，由于An是单群但非Abel群所以导致An是不可解的，所以Sn是不可解的。

【换位子群】但是找一个性质这么好的序列来判定G为可解群太过麻烦，我们换一种思路：反推一下，如果N是G的正规子群，那么 G/N是Abel群有没有什么等价定义 ？通过反演推算我们可以得到G的子群 换位子群G'（Commutator Subgroup） 这么一个概念，（G'还是G的正规子群）并且可以知道G/N为Abel群等价于N是G'的子群，即G'是N的一个支撑，这样可以得到 有限群 G为可解群的另一种等价定义：G可解等价于G的换位子群序列Gn⊴...⊴G2⊴G1⊴G0=G（即Gi+1是Gi的换位子群）能下降到{e}，即存在n使得Gn={e}。这样大大方便了我们研究G是否可解的充要条件。

到此，《抽象代数》中研究群的子群这个主干线就告一段落。

注：

1. 以下， ， ，由于有限群的不可约 表示都是有限维，因此 ，即表示皆“有限”；
2. 本文中同一个表示皆指等价的表示组成的等价类，不同的表示皆指不等价的表示。

• 什么是表示？什么是群的表示？

表示理论（Representation Theory）是代数学的一个重要的方向，现代的表示论除了研究有限群的表示，还研究结合代数的表示、李代数的表示，甚至抽象到模表示等等。

群的表示也就是研究给定的群 到另一个群 的保持运算的映射（即同态），通过同态映射，我们通过了解我们熟悉的 的性质来认识原来的群 的结构，即把未知的事物与一个熟悉的事物联系起来，通过这种联系来认识原来未知的事物，这种研究方法也是现代数学一个鲜明的特色。而本文只研究第一部分——有限群的表示。

• 表示与作用的等价

用数学的语言来说，即先考虑群 在集合 上的 作用（Action） :

满足：1. ， ；2. ： , 。

如果把 简记为 ，则有更简洁的定义：1. ；2. 。其中这个定义诱导了一个同态映射 ，其中 是 的全变换群（ 到 的所有双射构成的群），而这个同态又称为群 的一个 表示（Representation） 。

反过来，一个表示（即同态映射 ）也可以诱导一个群作用。

所以， 表示和作用是等价的 。当然，若 和 还有其它结构，我们还需对表示的定义加强。

• 为什么研究群的表示？

再看，由于同态，所以 中的每个元素可以看成从 到 的一个变换。我们要研究的终极目标是，对于给定的 ，通过研究 与全变换群 的 各种同态 以及 各种集合 来研究群 的结构。这有点类似于照相，必须从各个角度照相才能获取被照者的全部样貌。（因此只有45度的自拍会显得如此之假...Σ( ° △ °|||)︴）

这种研究思路比第一种方法拓宽了许多，而且很多方法一解决得了或解决不了的问题都可以用这种方法解决，Sylow定理就是一个很好的例子。

• 什么样的群表示最值得研究？

在本文中，我们主要想研究： 有限群 在域 （ ，一般考虑 ）上的线性空间 （ ）上的所有（不等价的）有限次 表示： ，又称为 线性表示 （以下简称为“表示”）。

然而，由Maschke定理可以知道， 的任何上述表示都是完全可约的，而由 可知：完全可约的表示可以分解成有限个不可约表示的直和。因此，我们只需研究 有限群 的所有不可约 表示：

它们的个数和次数满足什么样的条件，即不可约表示“长”什么样 ？

下面我们具体对群表示论的学习思路进行整理：

首先，正如所有1维线性空间是不可分解的一样，所有1次群表示都是不可约的。我们想采取构造方法，先来看看一个群 的所有1次（不可约） 表示长什么样。

【分析思路】

一个命题是， ：{ 的1次 表示} { 的1次 表示}， ，是一个双射。（ 表示 的换位子群，提升： ）

而 恰为Abel群，因此，求出商群 的所有1次 复 表示，即可求出群 的所有1次 复 表示。

【总的结论】

群 的所有1次 复 表示与它的交换化 的所有1次 复 表示一一自然对应。

利用特殊的商群——换位子群只能研究一个群的所有1次（不可约）表示，想研究更一般的一个群的所有不可约表示，我们换一种思路，即利用一个群诱导的它的群代数的所有不可约表示（即不可约子模）来探讨群的所有不可约表示“长什么样”。

【分析思路】

对上述主要分析思路图中的 进行展开研究：

（1）群 的任一不可约表示 “藏”在哪？

先给个粗糙一点的答案：群 的所有不可约表示“藏”在它的 左正则 群表示中（“ 不可约藏在完全可约的 左正则 分解中”）；这是由于 模中的所有不可约左模全部“藏”在 自己的 左正则 模的分解中，以及上图的等价关系可知。

究竟怎么个“藏法”，更一般地，我们还需要研究半单代数的 左正则 模，于是有了下一张进一步的研究思路图：

（核心：环的 左正则 模中， 子模 左理想 ）

由半单代数 的合成序列以及Jordan-Holder定理可以保证， 左正则 模 （ ）的不可约子模分解唯一，再把 看成环，则由于环的 左正则 模中，子模 左理想，因此把不可约子模看成极小左理想，则左正则 模 的极小左理想分解也唯一。

结论1：半单代数 上的任一不可约左模 与它的 左正则 模中某个不可约子模（即某个极小左理想） 同构；

因此，群代数 任一不可约左模与它的 左正则 模的直和分解中的某个不可约子模同构；

因此，群 的任一不可约 表示 与它的 左正则 群表示分解 中的某个不可约子表示 同构。

（2）群 的任一不可约表示次数（维数） 满足什么条件？

对上图直和分解中的①两边取维数得到： ，其中 为 的重数（分解中与它同构的极小左理想的个数）， 为 在域 中的维数 。为了看清 与 的关系，考察单代数 与它的极小左理想 的关系，由Wedderburm定理可以知道， 。特别地，当 时，有环同构 ，因此 。

（注：事实上，Wedderburm定理首先是解决了更一般的有限维半单代数的表示的结构，即它的所有不可约表示（左模）“藏”在它的左正则模中）

结论2： 当 时 ，群 的任一不可约复表示 的次数 （ ），等于它的 左正则 群表示分解中的某个不可约子表示 的重数 ，即 。

（3）群 的所有不可约表示个数 满足什么条件？

对上图直和分解中的②，令 ，则 是环 中心 中两两正交的本原中心幂等元，还可以验证当 作为线性空间时， 为 中两两无关的组合，因此 。并且，通过计算还可以得出结论： ， 为群 的共轭类的个数。特别地，当 时， 。

结论3： 当 时 ，群 的所有不可约 复 表示个数等于 的所有共轭类个数。

【总的结论】

群 的所有不可约表示都在它的 左正则 群表示的分解中，即：

设群 所有不可约表示为 ，对应群代数 的所有不可约表示 （或者说所有不可约左 模 ）；

再设 的 左正则 群表示不可约直和分解为 ，对应群代数 的 左正则 模的不可约子模直和分解为 。

则有群表示的同构 ，以及左 模同构（代数表示同构） 。

当 时： ，并且 等于 的共轭类个数，于是有方程：

所以 左正则 表示包含了所有不可约表示的信息！

到现在，我们得到了关于一个群 的不可约 复 表示的方程： ，以及 所有的1次不可约表示。不过关于这些不可约表示的次数（维数），我们所获取的信息还不够，因此，接下来的几种研究方法主要关注于：

• 群 所有不可约 复 表示的次数还满足什么条件？

我们引入表示的 特征标 概念：群 的任何一个 表示 ，诱导了 上的一个 值函数 ，定义为 ，称 为群表示 提供的特征标，其有以下几个比较重要的性质（以下将 简记为 ）：

（1）
（2）（类函数） 在 的同一个共轭类中的所有元素上取同一个值

（3）（线性性）
（4）（张量积）
（5）（外张量积）
（6） 时，
（7） 时，设 的指数为 ，则 为 次单位根的和（ ）

（8） 时， （等号成立当且仅当 ， 为 次单位根）

（9） 时， 当且仅当
有了这些准备后，我们开始对最初问题进行展开分析，即用特征标的概念来刻画一个群的表示。

【分析思路】

（1）（第一正交关系）群的两个 复 表示等价的充要条件

考虑群 上的复值 类 函数酉空间 （其元素为 上所有满足“同一个共轭类中元素取值相同”的复值函数），定义内积为 。则群 所有不可约 复 表示提供的特征标 恰为酉空间 的一组 标准正交基 ！

于是便有了第一正交关系： 。

由第一正交关系，我们还可推得：群 的两个 复 表示等价 它们提供的特征标相等。因此可以建立群 的所有 复 表示（等价复表示算同一个）与 的子集（ 复 特征标集）之间的一一映射：

，（ ）

（2）（第一正交关系）群的 复 表示为不可约的充要条件

由上述的一一映射以及第一正交关系我们还可以推得： 的 复 表示 是不可约的 。这里关键用到了 的条件。

（3）（第一正交关系）群的不可约 复 表示次数所满足的另一个条件

回到最初问题：通过大量例子，我们发现，群 的所有不可约 复 表示 的次数都整除 ，为了证实这一结论，我们考虑 是否为整数？利用改写的第一正交关系：

（ 为 的共轭类），得到：

利用模论相关知识，由于 所有代数整数构成的集合是 的子环 ，且 与 是代数整数，所以右式为代数整数，同时右式还是有理数，因此右式是有理整数（即整数），故原结论得到证实：群 的所有不可约 复 表示的次数 都整除 。

【总的结论】

群 的所有 复 表示和复特征标集（ ）有一一对应的关系，不可约复表示 对应了不可约特征标 。并且， 复 表示 不可约 。

进一步，回答最初问题：群 的所有不可约 复 表示的次数还满足什么条件？我们得到：

。

继续探讨：

• 群 所有不可约 复 表示的次数还满足什么条件？

在范畴论中我们知道，在线性空间范畴（或更一般的模范畴）中，除了直积、直和，还有一种构造更大对象的方法——张量积。

张量积的特例是线性变换的张量积——Kronecher积的概念，其含义是两个线性空间 和 上的两个线性变换（对应矩阵 、 ）的张量积，（也可以理解为线性变换全体构成的线性空间之间的张量积）具体形式是： 。其最主要的两条性质是：

（1）
（2）
有了这些准备，我们开始研究表示的张量积。由于表示的直和过于平凡，其不能得到不可约表示，因此我们希望通过表示的张量积来 构造 群 新的不可约表示，以及探究其不可约 复 表示的次数还满足什么条件：

【分析思路】

（1）（张量积）从 外部 构造 的不可约 表示

给出群 的两个表示：

得到 的新的张量积表示：

并且，若 为 的1次表示（非平凡的表示）， 为 的 次不可约表示，则 为新的 的 次不可约表示。

（2）（外张量积）从 内部 构造 的 所有 不可约 复 表示

给出群 的直积分解： ，以及 和 的表示：

得到 的 外 张量积表示：

并且，当 时，所有 的不可约 复 表示 与所有 的不可约 复 表示 的外张量积 ，（其中两两不等）恰好构成了 的所有不可约 复 表示，即 ，同时这也蕴含了 、 、 的共轭类个数的关系： 。

（3）（外张量积）群的不可约 复 表示次数所满足的另一个条件
回到最初问题：通过大量例子，我们还发现：设 为 的中心，则群 的所有不可约 复 表示 的次数都整除 。为证实这一结论，Schur给出了外张量积的证明，其思路是，由原来的不可约表示构造出另一个更大的群的更大次数的不可约表示，通过讨论更大的不可约表示的次数来研究原来的不可约表示的次数。具体做法：

通过不可约 复 表示：

构造出 重外张量积：

，其也为不可约 复 表示

再构造某个 的正规子群 ，利用表示的提升： 得到 不可约，于是由上一章“总的结论”知 ，最后由 与 的关系证明出结论：群 的所有不可约 复 表示 的次数都整除 。

【总的结论】

通过张量积，我们可以得到新的 的不可约 表示；通过外张量积，我们知道：如果有直积分解 ，则 的所有不可约 复 表示可以由 、 的所有不可约 复 表示的外张量积生成，即 ，且 两两不等。

进一步，回答最初问题：群 的所有不可约 复 表示的次数还满足什么条件？我们得到： 。

继续探讨：

• 群 所有不可约 复 表示的次数还满足什么条件？

在上一章中我们通过张量积和外张量积来构造群 的不可约表示，不过对于外张量积来说， 的分解成两个子群的直积往往是困难的，于是我们弱化一些，看看能不能仅从 的一个子群 的一个表示来 构造 一个 的表示，以及再次探究不可约 复 表示的次数还满足什么条件：

【分析思路】

（1）（诱导表示）从 内部 构造群 的 表示

设群 有子群 ，以及 的表示： 构造出 的诱导表示： ，且 提供的特征标 ： ，其中 时 ，否则
（2）（Frobenius互反律）群的不可约 复 表示次数所满足的另一个条件

Frobenius互反律刻画的是群 和子群 的任意 复 特征标 和 在各自酉空间之间的内积关系： 。

再利用这种关系可以证明出群 的所有不可约 复 表示中最大次数 满足：

（注：若 为Abel群，则 ）

【总的结论】

通过诱导表示，我们可以从 的子群 的表示 构造出 的表示 ，并且 时，有Frobenius互反律： 。

进一步，回答最初问题：群 的所有不可约 复 表示的次数还满足什么条件？我们得到：

1. 特殊：循环群的不可约复表示

我们先来看看特殊的Abel群——循环群的所有不可约 复 表示长什么样。

设 ，且 ，则 的所有不可约 复 表示就是 的所有1次 复 表示：

其中， ， 。（ ）

2. 一般：Abel群的不可约复表示

再看看一般的Abel群的所有不可约 复 表示长什么样。

设 ，且 （ 为素数），则 的所有不可约 复 表示还是 的所有1次 复 表示：

其中， ， 。（ ）