翻译 线性代数群……是什么?

域F上的线性代数群是F上有群结构的光滑仿射簇. 就像拓扑群是有群结构的拓扑空间, 李群是有群结构的光滑流形. (对非专家: 把仿射簇看作一个自然的映射，即函子，是很有用的, 它把F的扩域K映射到F系数多项式在K中的解集.)

正式的说, 对于上一段提到的三种群, 群运算应当为相应范畴中的态射. 所以, 例如对拓扑群G, 乘法映射G×G→G和逆映射G→G应该是连续的. 用更范畴化的语言, F上的线性代数群、李群或拓扑群分别是F上的仿射代数簇范畴、光滑流形范畴或拓扑空间范畴中的“群对象”. 对于代数群, 这意味着对F的每个扩域K, 集合G(K)是具体群.

基本的例子是一般线性群GLn, 其中GLn(K)为K上可逆n阶矩阵的具体群. 它是多项式方程t⋅detX=1在每个K上的解(t,X)的集合, 其中t∈K, X为K上的n阶矩阵. 类似的理由可知，熟悉的矩阵群例如SLn, 正交群以及辛群也可以看作线性代数群. 主要的区别在于，这里把他们看作F的每个扩域K上的矩阵的集合，而不仅仅是F上的矩阵的集合.

粗略地说, 线性代数群把实数域或复数域上的线性李群的理论推广至任意域上. R上的线性代数群范畴包含一个等价于紧李群的全子范畴; 见[3, §5]. 复约化李群的不可约有限维表示可以用优权(dominant weight)参数化, 在一般域上这对所谓的“分裂约化”群也成立.

无论是数论中的有理数域、有限群论中的有限域还是几何中的实数或复数域, 代数群都允许我们系统处理熟悉的矩阵群及其推广. 这不仅仅是语言上的. 有足够可用的理论能使我们避免计算实际的矩阵, 或至少阶数大于2的矩阵!

整体域(注: 整体域是指Q或k(t)的有限扩张, 其中k是有限域)F上的二次型以及可除代数由它们在F的完备化Fν上的性质决定; 这基本上就是Hasse-Minkowski定理以及Albert-Brauer-Hasse-Noether定理的内容. 这些定理实际上是在说Galois上同调的自然映射

是单射, 其中G是正交群或PGLn. 用代数群重新表述这个问题由两个优点. 第一, 我们可以看到这两个定理是同一个现象的两个特殊情况; 第二, 我们自然地可以提出一般的问题: 对于什么线性代数群G, (⋆)对任何整体域都是单射? Hasse原理(由Kneser, Harder, 和Chernousov证明)表明如果G是连通且绝对单的, 则(⋆)是单射. (一个线性代数群是绝对单的，如果看作F的代数闭包上的代数群, 它非交换且不包含除了单位子群的任何连通正规的真子群.) 这大大推广了本段开头的两个结果.

如果减弱(⋆)为单射的要求, 我们得到归于Borel和Serre (1960年代初)的重要结果：在F为数域的情形, 对任何线性代数群(⋆)的核都是有限的. 这个结果最近由Brian Conrad扩展到素数特征的整体域上. 由于这些域不是完全的, 这个扩展依赖于对“伪约化”线性代数群的分类, 这个分类最近由Conrad, Ofer Gabber, 和Gopal Prasad完成.

另一个推广局部-整体问题的方向是减弱F的假设, 例如, 假设F的上同调维数至多为2, 例如全虚域以及C(x,y)满足这个条件. 对这样的域以及单连通的G, Serre的“猜想II”(1962)断言H1(F,G)为零. 已知这对于F为复曲面的函数域(de Jong, He, Starr, 2008)或G为典型群(Bayer和Parimala, 1995)成立. 对于这个猜想以及Hasse主猜想II的推广等还有许多其他结果. 详情可以用Google搜索.

在有限单(具体)群的列表中, 大多数是李类型. 即, 取一个定义在不太小的有限域F上的绝对单的、单连通的线性代数群G, 则具体群G(F)模它的中心是有限单群. 这很有用, 因为可以用代数群的一般框架来证明这些有限群的定理. 一个例子是Deligne-Lusztig理论, 它是处理有限李型群复表示的最有效手段.

上一段中具体单群的构造对许多代数群G以及许多域F都适用, 不仅仅是有限域. 但准确地说对哪些G适用? Kneser-Tits问题提出: 设G为单连通绝对单的包含GL1的线性代数群, G(F)模它的中心是不是单群? 正如上面讨论的Hasse原理, Kneser-Tits问题是对于更经典代数结构的早期问题在代数群方面的推广, 比如Tannaka-Artin问题.

Kneser-Tits问题的回答看起来依赖于域F的算术复杂性. 对于维数至少为4的域答案是否定的(Platonov, 1975).

相比之下, 对于整体域, 其维数为2, 回答是肯定的. 这曾是个公开问题直到Philippe Gille在2007年处理了最后一个情形. 他发现下面这个对任何域F都适用的有趣的准则: 对于Kneser-Tits问题中群G, 具体群G(F)模它的中心是单群(单纯的代数条件)当且仅当G作为代数簇, 粗略地说, 是“道路连通的”(纯粹的几何条件). 详细见[1].

我们仍然不知道Kneser-Tits问题对其它2维的域是否成立, 甚至都没有强烈的迹象对于3维是否成立.

即将结束时, 我希望你: 请不要被这篇文章所提到的少数几个主题所误导, 代数群在许多其它数学分支起着本质作用, 例如Langlands纲领、几何不变理论(GIT)、代数几何中的Schubert簇、Tits的building理论……代数群应得到更多关注.

[1] P. Gille, Le problème de Kneser-Tits, Astérisque 326 (2009), 39–82.
[2] V. P. Platonov and A. Rapinchuk, Algebraic Groups and Number Theory, Academic Press, Boston, 1994.
[3] J.-P. Serre, Gèbres, L’Enseignement Math. 39 (1993), 33–85. (Reprinted in Oeuvres, vol. IV, pp. 272–324.)