现代数学和理论物理的发展水平 - 介绍各历史时期
title: 现代数学和理论物理已经发展到怎样一个令人震惊的水平了？ - Max Snow 的回答
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author: Max Snow (15f123d16718d6f61ea33c0aa4f5b414)
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created: 2018-12-17 06:40:00
updated: 2019-02-13 03:33:20
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tags: [数学, 物理学, 理论物理, 现代物理学, 现代数学]
数学, 物理学, 理论物理, 现代物理学, 现代数学
数学学得不太专业，我只说物理。
丛观整个物理学史，我认为真正令人震惊的不是公式变得有多复杂（地心说搞得也挺复杂的。。。），而是 物理学已经越来越脱离直观了 。
老祖宗牛顿真是开了个好头啊，为了建立物理理论自己先搞出来了微积分，算是数学和物理结合的最初典范，简简单单的三个公式上能预测天体运动下能解释斜坡上的小滑块，真是让人不服不行。
牛顿力学的基本物理量是空间坐标x，时间t，质量m，还有能量，这几个量正常人都能很直观地理解是什么意思，在自然语言中也经常使用。
而且微积分这个东西直观性也非常好，想想我们解高数题的时候用到了很多形象思维，比如说我们可以把微分理解为小量，把积分理解为求和，仔细想想和初等数学差别不大。
牛顿之后就是统计力学，麦克斯韦电磁学，分析力学这些了。虽然这些理论一定程度上独立于牛顿力学，但是和牛顿力学没有根本世界观上的矛盾。而且这些理论需要的数学也不过就是初等数学+微积分。
其中电磁学的基本物理量是电场和磁场，统计力学引入了熵，热这些量，总的来说直观性还是杠杠的。而分析力学比较微妙，虽然理论体系和牛顿力学完全等价，但是却以拉格朗日量和哈密顿量为基本物理量，之所以定义这两个量完全出于数学上的考量，没有直观性。后来证明这兄弟俩在现代物理中发挥了极其重要的作用。
自从爱因斯坦降临于世，物理学就开始向变态的方向发展了。。。
在牛顿时期，是先有物理学的直观，然后才发展出了所需要的数学。而爱因斯坦时期恰恰相反，有一些之前数学家随便瞎玩的东西，本来没觉得和现实世界有任何关系，在这一时期却被引入了物理学，具体来说指的是微分流形，群论等。
狭义相对论告诉我们，时间空间地位相当，都是四维时空矢量的分量，切换惯性系实际上是在对四维时空进行旋转，我们可以类比三维旋转来理解。而动量，波矢，电磁场这些物理量都可以找到相应的四维协变形式。
广义相对论告诉我们，时空不是平坦的而是拧在一起的，我们之所以感觉是平坦的完全是因为我们周围没有密度特别大的东西所以时空弯曲效应不明显（当然这是在把地球造成的时空弯曲解释为引力的前提下说的），时间和空间第一次在物理学里发生了如此深刻的关联！真正描述时空的不是欧式几何而是黎曼几何（怒打康德脸）。总的来说，爱因斯坦用微分流形的语言取代了正常人对时空naive的理解，我们发现直观上想当然是对的东西不一定真是对的（如几何学里的平行线公理在现实世界就不对）。不过我们还是可以用可直观的二维三维空间弯曲来理解四维时空的弯曲。除了强调时空几何以外，相对论并没有比牛顿力学多引入任何基本物理量，只是把物理量整理成Lorentz协变的形式。
然后再说量子力学，尽管这家伙用到的数学没有广义相对论复杂，但真是太反直观了。
1. 它沿袭了分析力学里面哈密顿量，广义坐标的概念。
2. 牛顿力学里面用坐标和速度来描述一个粒子的状态，而量子力学不认为一个粒子有确定的坐标和速度，因此用波函数来表征粒子的状态，波函数的模方正是粒子的概率密度分布。除了坐标和动量以外，其他物理量也是概率性的。
3. 量子力学不认为物理量是个数，而是算符，或者说是线性代数里面的线性变换（Hermite的），（所以公式里两个物理量的位置就不能像以前那样按照乘法交换律随意交换），代数第一次在物理学里面被提到这么高的地位！
4. 它用的线性代数还不是大多数本科生学的实数域上的线代，而是复数域上的。没错，量子力学基本方程薛定鄂方程里面含有虚数！和电动力学里那种为了计算方便而引入的虚数不同，量子力学理论本身就需要复数结构！看上去不可能有物理意义的虚数居然出现在基本方程里面，这是何等的疯狂！
场论是现代物理的基本语言。其中基本物理量叫做场算符，包括标量场，矢量场和旋量场。Free theory的标量场定义为这样：
学狭义相对论的时候我们一般把Lorentz变换理解为一些固定的四维矩阵，但是场论里自旋（spin）的概念让我们认识到，真正最重要的不是那个Lorentz矩阵，而是矩阵背后的Lie代数，或者说是Lorentz群。那个矩阵只不过是Lorentz群的一个四维表示（representation）而已，而像旋量这种二维的东西是按照二维的表示进行变换的。试问在相对论性量子力学建立之前，无论是数学家还是普通人，谁能想到群论这种高度抽象的东西能和自然界有这么深刻的联系？
场论对何谓粒子的理解也是高度抽象的，不是我们平常脑子里想的一个个小球，我引用Schwartz教材里的话: Particles transform under irreducible unitary representations of the Poincare group. This statement can even be interpreted as the definition of what a particle is. 很多人总是好奇反粒子到底是啥东西，其实在场论里，对反粒子的定义也是纯粹抽象的，没人能直观地告诉你为啥存在反粒子。
另外，场论把对称性的重要性提到了前所未有的高度，一个拉格朗日量之所以是其所是的样子，通常就是出于对对称性（包括Lorentz不变性）的考虑。很显然这是一个数学的理由而不是一个直观的理由。
再之后就是弦论，我暂时还不懂就不说了。
可以说整个物理学史是有从直观向抽象发展的趋势的。数学和物理如此深度的统一，在物理学之外的任何自然科学，社会科学，工科，商科都不曾出现过，这就是理论物理对我来说最令人震惊的地方。基于这个原因，数学和物理的统一体在我心中是人类文明最闪耀的两颗巨星中的一颗。
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我昨天发现了一篇讲数学物理关系的一篇文章： 数学与物理桥梁下的鸟瞰 ，一开篇就讲共形场论和弦论。。反正我是看不懂orz。。如果看我写的这篇答案不过瘾可以继续看他这篇文章。 -- 见下
morty: 两颗巨星中的另一颗是啥？ (48 赞)
Max Snow -> morty: 哲学 (260 赞)
闫小草 -> Max Snow: 私以为数学就是哲学。哲学是具体的哲学，数学是抽象的哲学。 (137 赞)
人不寐 -> 闫小草: 不用私以为，数学就是哲学，中国学数学授予理学学位，外国很国家是授予哲学学位 (56 赞)
不语与不眠之前 -> Max Snow: 科学以前就叫做自然哲学 (48 赞)
醉步男 -> 闫小草: 有本书叫《自然哲学的数学原理》，讲的是物理，牛顿大佬成名作。 (45 赞)
知乎用户mtn1Qs -> 伊利流来: 是要笑死人吗[飙泪笑] (35 赞)
龙小李 -> 伊利流来: (⊙o⊙)哇大佬啊！哲学到头了，厉害厉害 (38 赞)
龙小李 -> 伊利流来:
大哥，2000年以前的中国连认识论这个哲学基础问题都还没有提出，只有儒家朴素的伦理学（伦理学算不算哲学还另算），道家朴素的辨证法和五行家这种完全非理性的本体论，何谈哲学的终结？
何谓哲学？思想就是对思想的思想，当你在检讨和反省你自己思考的过程时，哲学便产生了。只要人类存在一天，还有思维这个过程，哲学就永远不会终结。
诚然，哲学虽然自夸是所有学科之王，这过于狂妄。哲学受自然科学技术进步的影响和社会发展进步的影响而不断演进和变化，但也恰恰证明哲学是不会终结的，正如当代西方哲学的百花齐放正好反映出当代社会的多元性一般。 (52 赞)
hijack: 我觉得数学物理之所以发展成“巨星”，并不是因为数学家和物理学家牛逼，而是因为数学和物理的研究对象太简单了。想想生物学的研究对象，社会学的研究对象，如果以他们的研究程度来衡量，现在的数学物理实在就是玩具。 (16 赞)
万千 -> hijack: 你好无知啊 (93 赞)
木瓜 -> hijack: 无知者无畏 (65 赞)
一针一个小朋友 -> hijack: 数学和物理为所有学科的基础 (15 赞)
雷电法王麦克斯韦 -> hijack: 这话其实没错，数学物理一直是人类主攻的学科，现在生物还在细胞上纠结不清，可是细胞只是生物的基本组成啊，就好像生物还在牛顿力学阶段，你敢想象把现代数学直接应用在生物计算上？其实就是人的能力限制只能把数学物理研究到顶点，生物什么的还在小学阶段 (38 赞)
秋水浮萍 -> hijack: 不不不，数学家和物理学家是真的牛逼，大学时我一直以为我脑子装的是水，怎么都搞不懂怎么会那么难一点学不懂，看到这篇文章我觉得当初我高估自己了我脑子里那时装的是shi不是水 (14 赞)
刀客塔恰恰峰 -> hijack: 生物学社会学确实还有发展空间，甚至社会科学的发展空间更大，但是数学研究的上界可没那么低，数学物理是研究本质的东西，会经久不衰的 (16 赞)
Johnson -> hijack: 可以用物理研究生物，但是会很复杂，也许未来会有一天随着这俩学科的发展而相通，就像化学本质也是物理一样。你的逻辑本身就有错 (13 赞)
龙盘七 -> hijack:
你不应该说简单, 而是说纯粹. 虽然纯粹经常关联简单. 还有一个例子是化学方面很多人嘲笑现在的化学研究都在穷举, 其实就是人们还是没有能力看透化学的本质直接去批量发现新物质. 不负责任的说, 人类对世界的认知还太过粗浅, 于是数学物理这类最为纯粹直观的事物就被人们着重关注了. (18 赞)
北冰洋酋长: 现代数学比理论物理更让人触目惊心啊……后者也只是用了一部分抽象的工具。以前的大数学家基本都是对数学的每个分支了如指掌，到希尔伯特和庞加莱之后，就再也没有这样的人了，普通数学家通常也只是在研究分支的分支……换个方向可能连前沿的论文都看不懂……什么时候大脑可以进化啊😂😂😂😂 (106 赞)
知乎用户mtn1Qs -> 北冰洋酋长: 只能期待下一个希尔伯特了，普通人是不大可能办到的。 (4 赞)
天泣 -> 北冰洋酋长: 这就像家谱，记住祖先容易，记住前三代祖先也不难，但谁能把百代之后，第一代祖先开枝散叶出的所有后代背下来？能从中间某个祖先开始背出所有已经很不容易了。 (13 赞)
圈儿 -> 北冰洋酋长:
我觉得人类大脑还没阻碍认知，只要是教育和科普的方式和力度。比如50年后中学生都在学交换代数泛函分析，我觉得不是不可能 [思考] 现代数学我感觉确实比理论物理分得更细一些 也可能更难学 最主要的是更不容易科普教育 (29 赞)
不告诉你呦 -> 北冰洋酋长: 感觉到最后，只有寿命会制约人类发展。。 (46 赞)
星空的记忆 -> 知乎用户mtn1Qs: 明明是黎曼
晶星 -> 不告诉你呦: 还有记忆力理解力
szy -> 圈儿: 教育的改善治标不治本
peace -> 圈儿: 初中不可能学泛函，目前这个进度安排已经是极限了，初中学的都是300年前的东西。 (1 赞)
企鹅保护协会会长: 现在的物理学用到了两百年前的数学，不敢想象用到现在的数学的物理是什么样子，像怪兽群这种如果出现在物理那就太恐怖了 (71 赞)
徐致国 -> 企鹅保护协会会长: 现在在work on大统一理论的基本都用到了现代数学。 (42 赞)
圈儿 -> 企鹅保护协会会长: 理论物理用到的数学早就不止两百年前了，连代数拓扑代数几何都会出现 (29 赞)
企鹅保护协会会长 -> 圈儿: 更高等级的，高维的微分几何 (3 赞)
阿当 -> 企鹅保护协会会长: 学高中物理的时，老师说高中数学不够高中物理用。不知道现代数学够不够现代物理用。[捂嘴] (3 赞)
花鳥風月 -> 阿当: 反了吧，高中物理最多用到的还是四则运算、平面几何、三角函数这些东西，最多用到点基础微积分知识。 (8 赞)
shiang -> 阿当: 高中物理都几乎学到相对论了 数学连牛顿的微积分都是浅尝辄止 实际上学的是古典数学 肯定不够用啊 (8 赞)
观星 -> 花鳥風月: 高中物理的极限，场就是大学数学雏形 (2 赞)
输入用户名 -> 阿当: 不够，弦论的许多要处理的对象原来都没有，只能现搞。还有一些数学理论比如镜面对称，VOA也是弦论引导出来的 (2 赞)
Ifan: 难以置信，这么复杂的方程居然有人看得懂，更恐怖的是居然也是人类提出来的。大家真的是同一个物种吗😂 (61 赞)
知乎用户ZmUXm7 -> Ifan: [捂脸][捂脸][捂脸]6了老哥 (6 赞)
飞天 -> Ifan: 你不会真觉得自己和他们是一个物种吧[飙泪笑][飙泪笑] (52 赞)
物理小白 -> Ifan: 人和人在智慧方面的差距有时候是跨物种的 (5 赞)
Atemschaukel -> Ifan: 量子力学、微分几何与广义相对论我看得懂推导，有些公式想表达的物理现实我不太明白，尤其是知道贝尔不等式以后，我所坚信的世界崩塌了，可能感受到了爱因斯坦当年被冲击的感觉[doge] (10 赞)
赵健儒 -> Atemschaukel: 确实 人生都崩塌了
登徒子 -> Ifan: 人和人之间的差别有时候比人和狗之间大多了[捂脸]
知乎用户E384Ss: 看完觉得人类仿佛寻到了造物主之息。。 (43 赞)
妖夜慌踪 -> 知乎用户E384Ss: 人类科学越往前，越觉得存在着创世神 [思考] (47 赞)
苏珀海 -> 妖夜慌踪: ？前是什么意思？ (2 赞)
苏珀海 -> 妖夜慌踪: 那你的话就有很大问题了……越往前越没有创世神才对 (7 赞)
知乎用户E384Ss -> 苏珀海:
这你就片面了，你怎么能确定知道没有创世神呢？
当然，创世神也可能是宇宙规则本身，也可能是所谓的盒外存在。 (12 赞)
Simon -> 知乎用户E384Ss: 反正人一觉得自己解释不来了，就觉得有神了。其实这是一种相对于其他人的自大造成的。“我都不明白的东西，那肯定是神迹”，这种想法。 (9 赞)
天比法大 -> Simon: 你这也是一种方法论，也是一种信仰，靠的是对所相信事物的信心，和有神论本质上还是一样的存在。 (6 赞)
追风水手 -> 知乎用户E384Ss: 脑子一不够用了，神棍就出现了 (75 赞)
阎乐 -> Simon: 你可能没有理解有人发出这种感慨不只是因为“不明白”，而是看到一些基于不同背景产生的理论在更加深入研究的过程中突然鬼使神差般地联系在了一起，而且联系得非常巧妙和意外，于是开始惊叹：这到底是大自然的巧合还是背后有一个神秘存在刻意地安排？！ (8 赞)
虎鲸2020: 我感觉很多人都能在量子力学相关的考试中取得高分，因为他们数学好，但是他们未必真的理解量子力学，量子力学的概念太过于抽象和深奥，非常人和普通思维所能企及。 (47 赞)
迷雾 -> 虎鲸2020: 恐怖的是, 以后生物学也要这样了, 讲什么都先要来一大堆数学公式和测序分析. (22 赞)
虎鲸2020 -> 迷雾: 😂😂😂我数学不好难受的一批，复变函数至今没搞明白 (14 赞)
李鑫: 真心羡慕你们这些走在探索世界本质最前面的人，虽然我是学文的，但如果有一天有人能告诉我这世界的本质，基本上什么代价我都愿意付出！ (36 赞)
老哥哥喜欢你 -> 李鑫: 真心羡慕你们这些走在探索世界本质最前面的人，虽然我是学文的，但如果有一天有人能告诉我这世界的本质，基本上什么代价我都愿意付出！ (1 赞)
哈哈哈 -> 李鑫: 朝闻道 (5 赞)
暗黑send -> 李鑫: 世界本质，一开始很多哲学家希望化繁为简，用最简洁的话来说明，但是现代科学越研究到后面，越觉得深奥。可能就算有人告诉你世界的本质，你也看不懂。 (18 赞)
锦衣夜行 -> 李鑫: 主要是真理一般都是数学语言写成的。[捂脸] 就像答主说的，越先进的物理学理论，需要的数学知识越艰深，乍一下子告诉你你也不会立即看懂。。。 (2 赞)
闻一 -> 李鑫: 学文的也能够研究世界本质前沿啊 [思考]
云川:
当教授说量子力学啊，想学好要靠天分!
我就知道了这玩意靠正常操作是会稳挂的…… (27 赞)
司马里奥: 以前人类试图理解宇宙，发现实在无能为力，于是现在人类只能努力去解释宇宙 (25 赞)
止戈 -> 司马里奥: 以前试图解释宇宙，现在努力理解宇宙 (31 赞)
白墨辞 -> 止戈: 未来努力发现宇宙 (1 赞)