如何通俗地理解概率论中的「极大似然估计法」? - 马同学的回答

让我们先来比较下概率和似然。

为了避免和我们想讨论的概率混淆，我们把硬币的“花”出现的概率称为硬币的参数。

1.1 概率

已知硬币的参数，就可以去推测抛硬币的各种情况的可能性，这称为 概率 。

比如已知硬币是公平的，也就是硬币的参数为0.5。那么我们就可以推测，扔10次硬币，出现5次“花”朝上的 概率 为（抛硬币遵循二项分布，这个就不多解释了）：

1.2 似然

正如开头所说，我们对硬币的参数并不清楚，要通过抛硬币的情况去推测硬币的参数，这称为 似然 。

可以再举不那么恰当（主要模型不好建立）的例子，蹭下热点。比如我们发现，鹿晗和关晓彤戴同款手链，穿同款卫衣：

我们应该可以推测这两人关系的“参数”是“亲密”。

进一步发现，两人在同一个地方跨年：

似乎，关系的“参数”是“不简单”。

最后，关晓彤号称要把初吻留给男友，但是最近在荧幕中献出初吻，对象就是鹿晗：

我觉得最大的可能性，关系的“参数”是“在一起”。

通过证据，对两人的关系的“参数”进行推断，叫做 似然，得到最可能的参数，叫做最大似然估计 。

来看看怎么进行最大似然估计。

2.1 具体的例子

我们实验的结果是，10次抛硬币，有6次是“花”。

所谓最大似然估计，就是假设硬币的参数，然后计算实验结果的概率是多少，概率越大的，那么这个假设的参数就越可能是真的。

我们先看看硬币是否是公平的，就用0.5作为硬币的参数，实验结果的概率为：

单独的一次计算没有什么意义，让我们继续往后面看。

再试试用0.6作为硬币的参数，实验结果的概率为：

之前说了，单次计算没有什么意义，但是两次计算进行比较就有意义了。

可以看到：

我们可以认为，0.6作为参数的可能性是0.5作为参数的可能性的1.2倍。

2.2 作图

我们设硬币的参数为 可以得到似然函数为：

这样我们就可以作图了：

我们可以从图中看出两点：

• 参数为0.6时，概率最大
• 参数为0.5、0.7也是有可能的，虽然可能性小一点

所以更准确的说，似然（现在可以说似然函数了）是推测参数的分布。

而求最大似然估计的问题，就变成了求似然函数的极值。在这里，极值出现在0.6。

2.3 更多的实验结果

如果实验结果是，投掷100次，出现了60次“花”呢？似然函数为：

用0.5作为硬币的参数，实验结果的概率为：

再试试用0.6作为硬币的参数，实验结果的概率为：

此时：

此时，0.6作为参数的可能性是0.5作为参数的可能性的8倍，新的实验结果更加支持0.6这个参数。

图像为：

很明显图像缩窄了，可以这么解读，可选的参数的分布更集中了。越多的实验结果，让参数越来越明确。

2.4 更复杂一些的最大似然估计

2.4.1 数学名词

下面提升一点难度，开始采用更多的数学名词了。先说一下数学名词：

• 一次实验：抛硬币10次，出现6次“花”，就是一次实验。
• 二项分布：抛硬币10次，出现6次“花”的概率为0.25，出现5次“花”的概率为0.21，所有的可能的结果（比如抛硬币10次，出现11次“花”，这就是不可能）的概率，放在一起就是二项分布

2.4.2 多次实验

之前的例子只做了一次实验。只做一次实验，没有必要算这么复杂，比如投掷100次，出现了60次“花”，我直接：

不就好了？

最大似然估计真正的用途是针对多次实验。

2.4.3 上帝视角

为了说清楚这个问题，我引入一个上帝视角。

比如，我有如下的二项分布 为出现“花”的概率（硬币最多抛10次）：

在实际生活中 往往是不知道的，这里你可以看得到，就好像你是上帝一样。

要提醒大家注意的一点，上面的图像只有上帝才能看到的，包括：

• 二次分布的柱状图
• 二次分布的曲线图
• 值为多少

我把只有上帝能看到的用虚线表示 用淡一点的颜色表示：

2.4.4 通过多次实验进行最大似然估计

上面的二项分布用通俗点的话来说，就是描述了抛10次硬币的结果的概率，其中，“花”出现的概率为 。

针对上面的二项分布，我进行6次实验（也就是总共6次，每次抛10次硬币），把实验结果用点的形式标记在图像上（从技术上讲，这6个点是根据二项分布随机得到的）：

这个实验结果，也就是图上的点，是我们“愚蠢的人类”可以看见的了。

可以看到，虽然进行了6次实验，但是却没有6个点，这是因为有的实验结果是一样的，就重合了。

为了方便观察，我把6个点的值用文字表示出来：

上图中的 就是6次实验的结果，分别表示：

• 第一次实验，4次出现“花”
• 第二次实验，5次出现“花”
• 第三次实验，5次出现“花”
• 以此类推

我们用 表示每次实验结果，因为每次实验都是独立的，所以似然函数可以写作（得到这个似然函数很简单，独立事件的联合概率，直接相乘就可以得到）：

表示在同一个参数下的实验结果，也可以认为是条件概率。

下面这幅图，分为两部分，上面除了实验结果外，都是上帝看到的，而下面是通过实验结果，利用似然函数对 值的推断：

可以看出，推断出来的 值和上帝看到的差不多。之所以有差别是因为实验本身具有二项随机性，相信试验次数越多，推测会越准确。

自己动手试试当上帝的感觉吧，下面的 滑动条可以拖动哦：

此处有互动内容，点击此处前往操作。

最大似然估计也是机器学习的一个重要算法，大家是否通过上面的操作，是否感受到了机器是如何学习的？

3.1 相同之处

扔了100次硬币，100次出现的都是“花”，不论是最大似然估计，或者是贝叶斯定理，都认为有必要对之前假设的硬币的参数进行调整。我在 怎样用非数学语言讲解贝叶斯定理（Bayes' theorem）？ 的最后也提出了这个问题。

3.2 不同之处

贝叶斯定理还要考虑，两面都是“花”的硬币本身存在的概率有多高。如果我的硬币不是精心准备的，而是随机挑选的，那么一枚硬币两面都是“花”可能性微乎其微，几乎就是一个传说。那么贝叶斯会认为哪怕扔了100次硬币，100次出现的都是“花”，但是因为两面都是“花”的硬币实在太少，那么实际这枚硬币是两面“花”的可能性仍然不高。