noting - 群论一讲义 李新征

物理上教《群论》的老师分两拨。一拨是做得比较理论的老师。相应教材的特点是严格、抽象、深入。另一拨是做物质科学相关研究的，相应教材比较直观、便于理解，但内容不包括《群论二》的部分。笔者的背景是后者， 此讲义只希望将《群论一》讲清楚

第三个基础是代数方程理论。应该说是它直接导致了群论作为一门学科的诞生。更准确地说就是人们在求解一元高次方程根式解的时候，引入了置换群的概念，进而建立起了群论这个理论体系

《群论》作为一门学科出现的时候了。这个前后发展的时间有一百多年，从 1770 年代开始，到 19 世纪末结束。其中的代表人物包括 Joseph-Louis Lagrange（拉格朗日，1736-1813，意大利人，绝大部分时间工作在德国与法国）、Paolo Ruffini（鲁菲尼，1765-1822，意大利人）、Évariste Galois（迦罗瓦，1811-1832，法国人）、Niels Henrik Abel（阿贝尔，1802-1829，挪威人）、Arthur Cayley（凯莱，1821-1895，英国人）、Ferdinand Georg Fröbenius（费罗贝尼乌斯，1849-1917，德国人）、William Burnside（勃恩赛德，1852-1927，英国人）、Friedrich Heinrich Schur（舒尔，1856-1932，德国人）、 Marius Sophus Lie（李，1842-1899，挪威人）这些数学家。

诺特定理的基本内容是 “ any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law”，也可以说是任何一个保持拉格朗日量不变的微分算符，都对应一个守恒的物理量。

Gauge Theory（规范场论），应该说是沿着这条路继续的、更加深入的发展。它的基本思想是系统的 Lagrangian （拉格朗日量）在一个连续的局域变换（规范变换）下保持不变。规范这个词本意是 scale（伸缩因子），但后来人们发现它的真实物理对应其实是相位。现代物理研究中，它通指拉格朗日量多余的自由度。不同规范间的变换（也就是我们常说的规范变换），形成了一个可以解析表达的、具有微分流形性质的连续群，就是李群。在《群论二》，我们会学到每个李群都有自己的群生成元。而每个群生成元，会产生一个矢量场。这个矢量场，就是规范场。

在量子理论中，这个规范场的量子被称为规范玻色子。以我们最熟悉的电磁场为例，量子电动力学理论就是个阿贝尔的规范理论，它的阿贝尔的对称群是 U(1)群，它的规范场就是由电势𝜙与磁势𝐴⃗ 形成的四分量矢量场(𝜙， 𝐴⃗ )，它的规范玻色子就是光子。

鲍林（Linus Pauling）。这个人非常了不起，如果说他是最具影响力的几个化学家之一与最具影响力的理论化学家（没有之一）， 应该不为过。他是第一个将量子力学基本原理、分子轨道、分子设计这些概念引入到化学研究中的人。也是我们现在公认的量子化学、分子生物学的开创人

如何用数学的语言去描述群。这个对应的理论叫群表示论，要用到的知识是线性代数

线性空间：线性空间又叫向量空间，它是定义在数域 K（可以是实数域 R，也可以是复数域 C）上的向量集合 V={𝐱⃗⃗ ，𝐲⃗，𝐳⃗， ⋯ ⋯ }，在 V 中可以定义加法和数乘两种运算