如何直观的感受葛立恒数？ - 胡宇 的回答

宇宙, 葛立恒数

葛立恒数以及更大的TREE(3)、SSCG(3)等大数都和一些数学问题有关，有的数学问题看起来很简单，但它的解却大得令人震惊，甚至大得惊天地泣鬼神。

要想感受这些大数的大小，必须找到一把合适的“尺子”来丈量，像“光年”、“宇宙”、“黑洞”什么的都不适合当尺子，因为量程实在太小了。

要描述葛立恒数，超运算是一种比较直观的方法，规则很简单，首先定义运算符[1]、[2]、[3]、[4]、[5]......

[1]就是加号+，a[1]b=a+b

[2]是乘号×，a×b=a+a+......+a，一共b个a相加。

[3]是乘方号^，a^b=a×a×......×a，一共b个a相乘。

[4]是第四级运算(迭代幂次)，a[4]b=a^a^......^a，一共b个a叠成的乘方塔。

[5]是第五级运算，a[5]b=a[4]a[4]......[4]a

要注意一点，除了加号和乘号，其他的运算符都没有交换律，都必须从右往左计算，例如(10^10)^10=10^100，而10^(10^10)=10^10000000000，显然从右往左计算结果要大得多。

可观测宇宙的量级只有1层指数，用宇宙的直径除以最小的普朗克长度，结果是10^62，把宇宙切成边长为普朗克长度的小块，总数约10^186个，其他像宇宙粒子总数、黑洞什么的都远小于这个数字。

如果用N代表全宇宙的原子数(10^80)，计算N^N^......^N，一共N个N叠成的乘方塔，结果可以写成N[4]N，大小在3[5]3和4[5]3之间，可以看出，高等级的运算符对低等级的运算符是降维式打击。

下面开始说葛立恒数，葛立恒数和一个函数G(x)有关，G(x)是用高德纳箭头定义的，和超运算的概念很相似。

G(1)等于两个3中间有4个箭头(3^^^^3)，也等于3[6]3，也就是两个3进行第六级运算。

G(2)等于两个3中间有G(1)个箭头，约等于3[3[6]3]3，中间嵌套了一层运算符。

G(3)等于两个3中间有G(2)个箭头，约等于3[3[3[6]3]3]3，中间嵌套了两层运算符。

依次类推，G(64)就是葛立恒数，约等于3[3[......3[6]3......]3]3，中间嵌套了63层运算符。

TREE(3)这样的大数无法用超运算表示，但我们可以通过TREE(x)函数的增长率来感受它的巨大。

增长率的概念和超运算中的运算等级有点相似，可以描述自变量趋于无穷大时函数的增长快慢，例如f(x)=x+10000和g(x)=x^2这两个函数，当x取大于100的整数时，g(x)大于f(x)，所以我们说g(x)的增长率大于f(x)

我们首先定义：函数f(x)=x+1的增长率是1，如果一个函数的增长率是n，那么它自身迭代x次后的增长率就是n+1

很容易得出，所有的加法函数的增长率都近似为1，乘法函数的增长率都近似为2，指数函数（例如f(x)=2^x）的增长率近似为3

更高等级运算可以使用超运算或高德纳箭头的概念，双箭头函数（例如f(x)=2^^x或f(x)=2[4]x）的增长率近似为4，三箭头函数的增长率近似为5，四箭头函数的增长率近似为6......

下面来看这样一个函数：f(x)=2[x]x，当自变量x趋于无穷大时，函数的运算等级和增长率也趋于无穷大，我们把它的增长率定义为ω，而ω可以代表一个序列{1、2、3、4、5......}，当自变量取值为n时，函数的增长率相当于序列中的第n项。

程序员经常用到的阿克曼函数，可以近似的写成A(x)=2[x+1]x，它的增长率也近似于ω，代表序列{2、3、4、5、6......}，高德纳箭头的增长率极限也近似于ω

接下来，阿克曼函数自身迭代x次后的增长率是ω+1，葛立恒数中的函数G(x)的增长率也是ω+1

这里说一下另一个大数n(4)，它的值大约是阿克曼函数A(x)迭代A(187196)次后自变量为1的值，用G(x)表示大约在G(G(1))和G(G(2))之间，国内有不少人把n(4)和TREE(3)混淆了，其实这两个大数完全不是一个量级的。

接下来，函数G(x)迭代x次后的增长率是ω+2，新函数继续迭代下去还可以得到ω+3、ω+4的增长率，我们还可以用增长率ω+ω代表这样一个序列{ω+1、ω+2、ω+3、ω+4......}，并且ω+ω可以写成ω×2，同样的方式还可以得到ω×ω、ω^ω的增长率。

为了更方便的理解TREE(3)的大小，我们引入多重增长率的概念，如果把增长率中的ω当作自变量，再计算一次增长率的结果就叫二重增长率。

比如说，函数G(x)的增长率是ω+1，二重增长率是1，康威链的增长率极限是ω×ω，二重增长率近似于2

函数tree(x)的增长率是φ(1@ω)，TREE(x)的增长率是φ(ω@ω)，这里使用了概念比较复杂的φ函数，我们可以算出，tree(x)和TREE(x)的二重增长率都是ω^ω，三重增长率是3

因为G(x)具有二重增长率，TREE(x)具有三重增长率，所以还可以进一步定义：G(x)函数是二阶增长函数，TREE(x)是三阶增长函数。

函数SCG(x)和SSCG(x)的增长率都是ψ(Ω_ω)，这里使用了概念更复杂的ψ函数，可以算出，SCG(x)和SSCG(x)都是ω阶增长函数。

要描述SCG(3)和SSCG(3)，至少需要五阶增长函数，要描述SCG(4)和SSCG(4)，则需要六阶增长函数，要描述SCG(5)和SSCG(5)，需要七阶增长函数......

还有很多增长率更高的函数，比如Ralph Loader创造的D(x)函数，增长率远远超过了ψ函数能表达的范围，但仍然属于可定义且可计算的函数。

再往上就是可定义、但不可计算的函数，例如关于图灵机停机问题的忙海狸函数（busy beaver），再往上还有不可定义的函数，比如Agustin Rayo创造的Rayo函数。

截至目前增长率最强的函数是“巨大数庭园”，是一个日本人在2019年底创造的，增长率超过了Rayo函数。

前面说过，这些大数都和一些数学问题有关，例如葛立恒数就和拉姆塞理论的一个问题有关：

“连接n维超正方体的任意两个顶点，得到一个具有2^n个顶点的完全图，把图的每条边染成红色或蓝色。求n的最小值，使得无论用什么方法染色，都可以找到一个具有单一颜色的共面四阶完全图。”

数学家葛立恒证明了n的上限值是G(64)，所以后人就把G(64)称为葛立恒数，1980年吉尼斯世界纪录把葛立恒数认定为“出现在严格数学论文中的最大的数字”，尽管这个纪录几年后就被打破了。

TREE(3)则和图论的一个问题有关：

为什么很多人会把TREE(3)和n(4)这两个大数混淆呢？这主要是维基百科的锅。

维基百科上的描述：“与TREE(3)相比n(4)显得极其的小(extremely small)，所以n(4)是TREE(3)的一个极弱的下界(an extremely weak lower bound)”，这其实是一句毫无意义的废话，因为即使是数字0也可以是TREE(3)的一个超级超级弱的下界。

TREE(3)和n(4)都是数学家Harvey Friedman研究出的大数，Friedman曾经用一个比喻描述：“n(4)在TREE(3)面前显得微不足道（completely unnoticeable）”

现实世界中有意义的最大数字是什么呢？可观测宇宙的量级只有1层指数，宇宙量级受到很多因素限制，比如宇宙年龄（约138亿年）、光速（30万公里/秒）、普朗克长度和时间等等。

要想得到更大量级的数字，可以使用排列组合的方式获得指数级的增长，最简单的例子，十进制数字就是一种排列，全宇宙的粒子总数只需要不到100个数字符号就能写下来，而只要n大于1，任何n进制的增长都是指数级的。

现实中只要少量事物的排列就能得到巨大的数字，比如一个60人的班级排座位的排法就超过了全宇宙的原子总数，其他像围棋、魔方什么的排法都是这个原理，如果把全宇宙的粒子在宇宙空间进行排列，其状态数大约是10^10^120个，达到2层指数的量级。

粒子除了在空间上排列外，还可以在时间轴上进行一重排列，庞加莱重现时间的计算需要在空间和时间轴上进行二重排列，全宇宙的庞加莱重现时间大约是10^10^10^120，达到3层指数的量级，这应该是自然科学中有意义的最大数字。

如果把一个很大的数字存储在大脑里，大脑可能会由于信息密度过大而坍缩成一个黑洞，那么这个数字应该至少有多大呢？

首先，大脑储存数字的方式是二进制，前面说过，只要n大于1，任何n进制的增长都是指数级的。

其次，黑洞自身的量级只有1层指数，所以综合来看，这个数字也就2层指数的量级。

粗略计算，要让大脑坍缩成黑洞，这个数字至少要达到10^10^67，如果要让整个宇宙都坍缩成黑洞，这个数字至少要达到10^10^107

任晓玲: 请问一个偏哲学的问题[捂脸]物理世界和数学世界都是人可以思考的世界，为什么增长在现实世界寸步难行，在数学世界用简单的规则极小的数学就能迭代出巨大的量，诸如3→3→3→3，是因为人思考的数学世界没有物理世界复杂的条件还是因为符合大数增长的物理世界太巨大所以人类永远无法观测到？ (7 赞)

胡宇 -> 任晓玲: 确实因为现实世界太复杂，所以人类能理解的世界不会太大。 (9 赞)

任晓玲 -> 胡宇: 我觉得奇怪的是这么巨大的量为什么构造起来这么简单，数学世界里我们发现了上帝也要仰视的东西，现实里我们却是个地球都出不去的可怜虫 (1 赞)

利多卡因万岁 -> 任晓玲: 因为我们发现的还不够多 (2 赞)

薄言 -> 任晓玲: 斯，你给了我一个新的观点

薄言 -> 薄言: 或许可观察宇宙和真实宇宙相比小到可以忽略不计 (2 赞)

taku -> 任晓玲: 套娃是第一生产力 (2 赞)

小火人 -> 任晓玲: 因为人类所谓的理解只是投影的符号而已而为什么符号能超脱于物理形式而产生语义背后就很哲学了，我目前倾向于是人的心理借助符号语义而与某种数学柏拉图实体产生了通过与纠缠 (2 赞)

像江阳一样活着:

宇宙只用一层就可以表达应该是建立在宇宙现在的观测维度只有三维的基础上的吧。
如果宇宙真有10维11维甚至更高的维度，这些数就可以派上用处了 (4 赞)

9527就是你的终身 -> 像江阳一样活着: 不管你几维，只要不是无穷，都没法比 (2 赞)

zzc -> 9527就是你的终身: 宇宙是无限大的

9527就是你的终身 -> zzc: 这可不是你说无限大就无限大的

zzc -> 9527就是你的终身: 那你知道是多大吗？

pan: 这个数可以理解为类似克莱茵瓶一样在数学中存在但在现实三维空间中不存在的数字吗？或者直接不是我们这个维度或者宇宙中用的到的数字？ (3 赞)

moonhaze -> pan: 这个类比不是很对，数字就是数字而已，只是大得难以表述，和维度无关 (21 赞)

怎么肥事 -> pan: …… (1 赞)

怎么肥事 -> pan: 拉姆齐理论n维超立方体问题的上限值如一个问题的答案的上限值这个问题可以是任何不切实际的……但n维超立方体问题有意义所以是以前“最大有意义的自然数”关键在有意义上最大的自然数是无穷大或没有最大的自然数 (1 赞)

幻月矩阵 -> pan: 如果现实三维空间是“无限大”的，那葛立恒数确实可以装的下的。但无限大的三维空间也装不了克莱因瓶。 (2 赞)

zzc -> 幻月矩阵: 谁告诉你的，你不会没理解无限大是什么意思吧

颠沛流离夜归人: 作为一个文盲，弱弱的问一句这些大数有什么意义吗？[种草] (1 赞)

胡宇 -> 颠沛流离夜归人: 这些大数大多是一些数学问题的解，比如葛立恒数来源于组合数学中拉姆齐理论的一个问题，TREE(3)和SSCG(3)则来源于图论中的相关问题。 (15 赞)

Coversine -> 颠沛流离夜归人:

比如说虽然我不知道100年内一个家庭能繁衍几代
但是根据十月怀胎，代数不会超过120代。也许其实只能繁衍5代，这个120绝对是个大数了，但是我证明出了它繁衍不会超过120代，也是一种有进步的的证明，那么这个120就有意义，虽然他太大了。[doge] (16 赞)

怎么肥事 -> Coversine: 这样解释n维超立方体问题……通俗易懂哈哈

zzc -> 颠沛流离夜归人: 其实就是无限往上乘

张浩 -> 颠沛流离夜归人: 比如那个tree(3)的意义，按照那个树列的要求，你不知道这个树列能不能无限地排下去。但是现在告诉你，tree(3)是有限的

何须问: 卧槽，没想到葛立恒这么大，比我吹的牛皮还大 (4 赞)

瀚海孤舟: 终于看到一个答案把TREE(3)说清楚了，感谢感谢。我翻了一下wiki，说葛立恒数是一个草稿没发表，发表的结果是7层数塔最底下是12个箭头 (2 赞)

Chow TimApple: 看到(ω@ω)以为你在发表情包[惊喜] (1 赞)

MADAO: 讲述的简单易懂，赞👍

丁旦勿: 雀实很 直观[doge]

王凯: 讲的最清楚的一篇

from: https://api.zhihu.com/appview/api/v4/answers/2092400855