典型李群共同的特点是它们都与某个特定的双线性或半双线性形式的等距同构群密切联系。这四类用邓肯图标记（ ），可以描述为：

• ，特殊么正群，行列式为 的 么正矩阵。
• ，特殊正交群， 行列式为 的实正交矩阵。
• ，辛群，保持 Hn 上的通常内积的 四元数矩阵。
• ，特殊正交群， 行列式为 的实正交矩阵。

为了某些特定的目的，去掉行列式为 的条件考虑酉群和（不连通）正交群也是自然的。表中所列即为所谓连通紧实形式群；在复数域中有相应的类比，以及多种非紧形式，例如，和紧正交群一起可考虑不定正交群。这些群相应的李代数称为「典型李代数」。

在代数中，通常會考虑任意環 上的典型群，给出特别值得关注的矩阵群。当矩阵群的系数环是实数或复数域时，这些群就是上述的典型李群。

当系数环是有限域时，典型群是李型群。这些群在有限单群的分类中扮演着重要的角色。在群論中，许多线性群有一个「特殊的」子群，常常由行列式为 的元素组成，大部分有一个伴随的「投影」群，它们是除掉該群中心的商群。

“一般”一词在群的名称前面通常表示这个群可以用常数乘以某个形式，而不是保持不变。下标 经常表示群作用的模之维数。特别注意：这种记法和 Dynkin 图中的 （为秩）可能冲突。

• 记号习惯：李型群#符号问题

1. [1]
   3
   就歷史來說，在克萊因時代，最明顯的例子是覆射影線性群，因為它是當時居統治地位的幾何觀念的複射影空間的對稱群。向量空間後來才出現（事實上作為抽象的代數概念由外爾引入），引起對它們的對稱群一般線性群的關注。在朗蘭茲綱領的發展中，一般線性群成為最簡單和普遍的主要情形。

主条目：典型群

粗略地说，典型群就是特殊线性群、正交群、辛群和酉群。更细致地说，其实还包括它们的换位子群和中心商群（即一个群对其中心的商群）。其中后者即为所谓的射影线性群，而这种群可以在有限域（或者任何其他域）上构造，方法与在实数域上构造的方式大致相同。这样构造出来的群对应谢瓦莱群和斯坦伯格群中的 An , Bn , Cn , Dn , 2An 和 2Dn。

主条目：3D4（英语：3D4）和2E6（英语：2E6 (mathematics)）

酉群的构造方式如下：复数域上的一般线性群具有通过反转An的登金图（英语：Dynkin diagram）（相当于对元素取其转置的逆）得到的图自同构，以及通过取复共轭得到的域自同构，而这两者是可交换的。这两个自同构的乘积的的不动点构成的群即为酉群。

同样的，许多的谢瓦莱群有着由登金图的自同构（英语：Dynkin diagram#Automorphisms）给出的图自同构，以及由有限域的自同构给出的域自同构。用与酉群类似的方法，斯坦伯格通过取域自同构和图自同构之积的不动点构造出了几族群。 分别是：

• 酉群 2An , 来源于An的2阶自同构；
• 正交群 2Dn , 来源于Dn的2阶自同构；
• 新的系列 2E6（英语：2E6 (mathematics)） , 来源于E6的2阶自同构；
• 新的系列 3D4（英语：3D4） , 来源于D4的3阶自同构。

3D4 型的群在实数域上没有相似物，这是由于复数不存在3阶自同构。[[需要解释]] D4 的对称性中同样出现了三重性（英语：triality）。

主条目：铃木群（英语：Suzuki groups）和李群(一种李型单群)（英语：Ree group）

• 2B2(22n+1) = Suz(22n+1).

（群 Suz(2) 不是单群，因而严格地说不算是铃木群。它是阶为20的弗罗贝尼乌斯群（英语：Frobenius group））

李林学进而构造出了两个新的单群族:

• 2F4(22n+1) 和 2G2(32n+1)。

铃木群是仅有的阶不能被3整除非对称有限单群，其阶为 22(2n+1)(22(2n+1) + 1)(2(2n+1) − 1)。

这个信念如今化为了一个定理——有限单群分类定理。通过观察有限单群的列表，我们可以发现，李型单群是除循环群，交错群，蒂茨群（英语：Tits group）和散在单群外仅有的单群。

一般而言，与单连通的单代数群的自同态相关的的有限群都是单群的泛中心扩张（universal central extension），所以其既是完满群，也有平凡的舒尔乘子（英语：Schur multiplier）。然而这些群列中最小的几个群可能并不是完满的，或者有大于"预期"的舒尔乘子。

不完满的情况包括：

• A1(2) = SL(2, 2) 可解，阶为6 (实为3次对称群)
• A1(3) = PSL(2, 3) 可解， 阶为12 （实为4次交错群）
• 2A2(4) 可解
• B2(2) 不完满 ，但是其与6次对称群同构，所以其有指数为2，阶为360，且单的换位子群。
• 2B2(2) = Suz(2) 可解，阶为20（实为一个弗罗贝尼乌斯群）
• 2F4(2) 不完满，但其换位子群指数为2且为单群(蒂茨群（英语：Tits group）)。
• G2(2) 不完满, 但其指数为2，阶为6048的换位子群为单群。
• 2G2(3) 不完满, 但其指数为3，阶为504的换位子群为单群。

完满但是舒尔乘子大于预期的情况包括：

• A1(4) 的舒尔乘子有额外的Z/2Z, 所以其舒尔乘子阶为2而不是1。
• A1(9) 的舒尔乘子有额外的Z/3Z, 所以其舒尔乘子阶为6而不是2。
• A2(2) 的舒尔乘子有额外的Z/2Z, 所以其舒尔乘子阶为2而不是1。
• A2(4) 的舒尔乘子有额外的Z/4Z × Z/4Z, 所以其舒尔乘子阶为48而不是3。
• A3(2) 的舒尔乘子有额外的Z/2Z, 所以其舒尔乘子阶为2为而不是1。
• B3(2) = C3(2) 的舒尔乘子有额外的Z/2Z, 所以其舒尔乘子阶为2 而不是1。
• B3(3) 的舒尔乘子有额外的Z/3Z, 所以其舒尔乘子阶为6而不是2。
• D4(2) 的舒尔乘子有额外的Z/2Z × Z/2Z, 所以其舒尔乘子阶为4而不是1。
• F4(2) 的舒尔乘子有额外的Z/2Z, 所以其舒尔乘子阶为2而不是1。
• G2(3) 的舒尔乘子有额外的Z/3Z, 所以其舒尔乘子阶为3而不是1。
• G2(4) 的舒尔乘子有额外的Z/2Z, 所以其舒尔乘子阶为2而不是1。
• 2A3(4) 的舒尔乘子有额外的Z/2Z, 所以其舒尔乘子阶为2而不是1。
• 2A3(9) 的舒尔乘子有额外的Z/3Z × Z/3Z, 所以其舒尔乘子阶为36而不是4。
• 2A5(4) 的舒尔乘子有额外的Z/2Z × Z/2Z, 所以其舒尔乘子阶为12而不是3。
• 2E6(4) 的舒尔乘子有额外的Z/2Z × Z/2Z, 所以其舒尔乘子阶为12而不是3。
• 2B2(8) 的舒尔乘子有额外的Z/2Z × Z/2Z, 所以其舒尔乘子阶为4而不是1。

在较小的李型群（和交错群）中存在着不少令人困惑的“偶然”同构。例如 SL(2, 4), PSL(2, 5) 和5次交错群都是同构的。

交错群有时表现得像是在一元域（英语：field with one element）上的李型群。一些较小的交错群也有着额外的性质：一般情况下交错群的外自同构群的阶为2，然而六次交错群有着4阶的自同构群（英语：Automorphisms of the symmetric and alternating groups）（交错群#自同构群）。交错群的舒尔乘子的阶通常为2，但6次和7次交错群则有6阶的舒尔乘子。

有限李型群没有一套标准的符号，并且现在的文献中已经有了一箩筐的符号系统，它们互不相容且容易混淆。

• 单群 PSL(n, q) ，与群 PSL(n, Fq) —— 即代数群 PSL(n) 在 Fq 中取值得到的群，通常是不一样的。问题在于，对于两个代数群之间的满射（例如 SL(n) → PSL(n) ），其诱导出的，两个代数群在（非代数闭）域上取值对应得到的群之间的映射，不一定是满的。这样的问题也存在于其他在有限域中取值的代数群中。
• An−1 型群有时表示为 PSL(n, q)（射影特殊线性群）或 L(n, q)。
• Cn 型群有时表示为 Sp(2n, q)（辛群），或（极易混淆地）表示为 Sp(n, q)。
• Dn 型群(“正交群”)的符号格外容易混淆。其使用的符号包括 O(n, q) , O−(n, q) , PSO(n, q) 和 Ωn(q)，然而有关的约定实在太多，导致如果没有明确的说明，就很难准确地指出这些符号到底对应哪个群。而这一切的根源就在于，这种单群即不是正交群 O ，也不是射影特殊正交群（英语：projective special orthogonal group） PSO（射影特殊正交群），而是 PSO 的子群[原文注 2]
  3
  ，因此其没有经典的符号。一个极其讨人厌的陷阱就是，一部分作者，比如ATLAS（英语：ATLAS of Finite Groups）， 不是用O(n, q) 表示正交群，而是用来表示对应的单群。让·迪厄多内引入了 Ω , PΩ ，然而当 n ≤ 4 时他所定义的群并不是单的，所以这些符号也被用于指代另一些稍有不同的群，在 n ≥ 5 时这两种指代方式是一致的，但在低维时则不然。[原文注 2]
  3
• 对于斯坦伯格群，一部分作者使用符号 2An(q_2)（以此类推），而另一部分使用 2A_n(q)。其背后的问题在于，构造这个群的过程用到了两个域：一个阶为 q_2 的域，和其阶为 _q 的稳定子域。关于到底哪一个域应该出现在符号中，不同的人有不同的看法。 “2An(q_2)”的逻辑性和一致性更强，而“2A_n(q)”则更常见，也更符合代数群的惯例。
• 还有一点，不同的作者常常有分歧，那就是：诸如 An(q) 这样的符号是简单地指向代数群，还是指与其相关的单群。举个例子，An(q) 既可以指特殊线性群 SL(n+1, q) ，也可以指射影特殊线性群 PSL(n+1, q) ，因此 2A2(4) 可以指代四个不同的群，这取决于作者。

• 李群
• 李代數
• 典型群
• 有限單群分類

• 原文注
  1. [[原 1]] mathoverflow - Definition of “finite group of Lie type”?
     3
  2. [[原 2]] ATLAS（英语：ATLAS of Finite Groups）, p. xi
     3
• 译者注
  1. [[译 1]] 原文为“a sort of integral form but over finite fields”，然而谢瓦莱基与有限域并无直接关联（其本身就是复单李代数的嘉当-外尔基的特例），疑为笔误，故修改。
  2. [[译 2]] 此处的“李群”不是指“Lie group”，而是指以加拿大籍韩裔数学家Rimhak Ree（李林學）的名字命名的“Ree group”。

因为酉矩阵的行列式是模长1复数，行列式给出了一个群同态

这个同态的核是行列式为单位的酉矩阵集合，这个子群称为特殊酉群，记作 。我们有李群的短正合列：

• 。

这个短正合列分裂，故 可以写成 与 的半直积。这里 是 中由 形式的矩阵组成的子群。

酉群 对 是非交换的。 的中心是数量矩阵 ，这里 。这由舒尔引理得来。这样中心同构于 。因为 的中心是一个1维阿贝尔正规子群，酉群不是半单的。

酉群 作为 的子集赋予相对拓扑， 是所有 复矩阵集合，本身同构于 维欧几里得空间。

作为一个拓扑空间， 是紧连通空间。因为 是 的一个有界闭子集，然后海涅-博雷尔定理可知紧性。欲证 是连通的，回忆到任何酉矩阵 能被另一个酉矩阵 对角化。任何对角酉矩阵的对角线上都是绝对值为1的复数。从而我们可以写成

• 。

中从单位到 的一条道路由

给出。

酉群不是单连通的；对所有 ， 的基本群是无限循环群

• 。

第一个酉群U(1)是一个拓扑圆周，熟知其有同构于 的基本群，包含映射 在 上是同构（其商是斯蒂弗尔流形）。

行列式映射 诱导了基本群的同构，分裂映射 诱导其逆。

用[G-结构]的语言来说，一个具有 -结构的流形是一个殆埃米尔特流形。

从李群的观点来看，典型酉群是斯坦伯格群 的实形式，后者是由一般线性群的“图表自同构”（翻转丹金图形（英语：Dynkin diagram） ，对应于转置逆）与扩张 的域同构（即复共轭）的复合得到的代数群。两个自同构都是代数群的自同构，阶数为2，可交换，酉群作为代数群是乘积自同构的不动点。典型酉群是这个群的实形式，对应于标准埃尔米特形式 ，它是正定的。

这可从几个方面推广：

• 推广到其它埃尔米特形式得到了不定酉群 ；
• 域扩张可用任何2阶可分代数取代，最特别地是一个2阶有限域扩张；
• 推广到其它图表得出李型群，即其它斯坦伯格群 （以及 ）Suzuki-Ree群 ；
• 考虑一个推广的酉群作为代数群，可取它的点在不同的代数上。

关于U(n)的分类空间在条目U(n)的分类空间中描述。

1. [[1]] 弗拉基米尔·阿诺尔德《经典力学中的数学方法（Mathematical Methods of Classical Mechanics）》讨论了这个问题。

2. [[2]] symplectic. [2008-11-24]. （原始内容存档于2011-11-08）.

3. [[3]] Milne, Algebraic Groups and Arithmetic Groups （页面存档备份，存于互联网档案馆）, p. 103

• Grove, Larry C., Classical groups and geometric algebra, Graduate Studies in Mathematics 39, Providence, R.I.: 美国数学学会, 2002, [ISBN 978-0-8218-2019-3], MR1859189