群 - 维基百科

上面关于单位元和逆元素的部分也可以改为： 右单位元与右逆元素 存在 ，对所有 有 且存在 使得

因为不管塬来的淡紫色定义，还是淡黄色的替代性定义，配上结合律都会等价于以下的定义：

单位元与逆元素 存在 ，对所有 有 且存在 使得

以下是证明：

若二元运算 满足结合律，且 对任意 有

「 」(left-1)

「存在某 使 」(left-2)

因为 是二元运算， 。所以根据(left-2)，存在 满足

这样根据结合律和(left-1)与(left-2)有

所以左逆元必为右逆元，这样根据结合律有

所以左单位元必为右单位元。

类似地，若二元运算 满足结合律，且 对所有 有

「 」(right-1)

「存在某 ，使 」(right-2)

因为 ，所以根据(right-2)存在 满足

所以根据结合律、(right-1)和(right-2)有

所以右逆元也为左逆元。这样根据结合律有

所以右单位元必为左单位元。

再考虑到淡蓝色是要求 同时为左右单位元且存在左右逆元，这样就证明以上叁种定义在有结合律的前提下等价。

整数系 是由所有整数所组成：

• ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...[20]
  2

可以看出，整数系和整数的加法是可以构成群的：

1. 对于任何两个整数 a 和 b ，它们的和 a + b 也是整数，所以整数加法的确是个二元运算。
2. 对于任何整数a, b和c，(a + b) + c = a +（b + c）。也就是说，先把a加到b，然后把它们的和加到c，所得到的结果与把a加到b与c的和是相等的。
3. 如果a是任何整数，那幺0 + a = a + 0 = a。所以 0 是整数加法的单位元，而且对所有a都存在另一个整数-a，使的a + (-a) = -a + a = 0。

实数集去除 0 即 R# 是在乘法 '*' 下的群。

• A1: 任何两个 R# 的元素相乘产生 R# 的另一个元素。
• A2: (a*b)*c = a*(b*c)。
• A3: a*1 = a。因此 1 指示单位元。
• A4: a -1*a = 1。因此 a -1 指示逆元。

主条目：二面体群

以下是正方形的8个旋转和翻转：

如果 和 是上述8个「操作」的其中一个，「操作的复合」 定义为先对正方形操作 之后再操作 。比如说，右旋270° ( ) 然后水平翻转（ ），等同于沿对角缐的反射（ ），这样就可以表示为 。

下面的群表列出了这种「操作的复合」的所有可能结果。

更多信息 ...

如果取

那么根据以上的群表， 的确是个二元运算，而且 为群（其中 符合单位元的要求），它被称为二面体群。注意到上表淡紫色的部分破坏了交换律，所以二面体群不是交换群。

若群 同时有两个单位元 和 ，那根据定义里对单位元的定义，对于任意 有：

这样的话，把 分别代换为 和 就有

所以

所以群的单位元是唯一的，这样根据函数符号与唯一性间的关係，可以添加新的叁元函数符号 与以下的新公理（以下的合式公式 是 「 是 上的一个二元运算，且存在 的单位元」的正式逻辑表述）

这条公理直观上表示，只要「 是 上的一个二元运算，且存在 的单位元」，就可以用 这个符号简记 「 上的那个唯一单位元」，否则取 为空集。

为了简便起见， 通常记为 甚至是 。

在增添以上的新函数符号 和新公理的情况下，就可以证明逆元素的唯一性。

若群 的某元素 有两个逆元 和 ，那根据定义和 的新公理有

那这样的话，依据定义里的结合律和 的新公理有

所以任意 只有一个逆元。这样根据函数符号与唯一性间的关係，可以添加一个叁元函数符号 与以下的新公理（以下的合式公式 是 「 为一群，且 」的正式逻辑表述）

这条公理直观上表示，只要「 为一群，且 」，就可以用 简记 「 在 上对应的那个唯一逆元素」，否则取 为空集。

简便起见， 通常记为 。

若 为一群，可以仿造整数指数，对任意 作如下关于符号简写的递归定义

• （单位元视为 次方）
• 对所有的整数 ，
• 对所有的整数 ，

如果群的运算可以跟直观上的加法联想在一起而改记为「 」或「 」，这时也会把 改记为 或 ，这时会暱称 为减法。更有甚者， 会被记为 。

类似的，如果群的运算可以跟直观上的乘法联想在一起而改记为「 」或「 」，这时会把 改记为 或 ，并暱称为除法；更有甚者， 会被记为 。

注意以上都是为了直观理解方便所规定的简写，并不是断定群的运算必然跟一般实数的加减乘除一模一样。

很多数系统，比如整数和有理数享有自然给予的群结构。在某些情况下比如对于有理数，加法和乘法运算二者都引发群结构。这种系统是叫做环和域的更一般的代数结构的前身。

主条目：循环群和阿贝尔群

[]

单位一的六次复数根形成一个循环群。z是本塬元而z_2不是，因为_z的奇数幂不是_z_2的幂。

• ..., a−3, a−2, a−1, a_0 = _e, a, _a_2, _a_3, ...,

主条目：空间对称群

参见：分子对称性、空间群和对称性 (物理学)

[]

旋转和翻转形成一个大二十面体的对称群。

这种自发对称性破缺在基本粒子物理中找到了进一步应用，这里它的出现与戈德斯通玻色子的出现有关。

主条目：一般线性群和群表示论

[]

两个向量（左侧展示），和它们乘以矩阵之后（中间和右侧展示）。中间的表示了顺时针旋转90°，而右侧的再按因子2伸缩了x坐标。

• ρ: G → GL(n, R)。

主条目：伽罗瓦群

• 。

这个问题可以使用域论来处理：考虑一个多项式的分裂域就把问题转移到了域论的领域中了。现代伽罗瓦理论把上述类型的伽罗瓦群推广到了域扩张，并通过伽罗瓦理论基本定理建立了在域和群之间的严格关联，再次凸显了群在数学中无所不在。

主条目：有限单群分类

主条目：拓扑群

[]

在复平面中的单位圆在复数乘法下是李群，所以是拓扑群。它是拓扑的因为复数乘法和除法是连续的。它是流形并因此是李群，因为所有小段比如在图中的红色圆弧，看起来像（显示在底下的）实数缐的一部分。

主条目：李群 (数学)

标準例子是上面介绍的一般线性群：它是所有 矩阵的空间的开子集，因为它由不等式

• det (A) ≠ 0，

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• Mackey, George Whitelaw, The theory of unitary group representations, University of Chicago Press, 1976, MR0396826
• Smith, David Eugene, History of Modern Mathematics, Mathematical Monographs, No. 1, 1906 [2008-09-13], （塬始内容存档于2008-09-19）.
• Wussing, Hans, The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, New York: Dover Publications, 2007, [ISBN 978-0-486-45868-7].