怎样在一天内学会分析力学？ - 张稀桧 的回答

问题描述

包括 拉格朗日方程、哈密顿正则方程、哈密顿原理。

话题:

物理学, 力学, 经典力学, 物理学习, 分析力学, 张稀桧

回答:

半夜睡不着来水一篇回答。分析力学是一个大坑，因为它实际上是数学，换言之，在现代意义下它已经没有多少新物理了。所谓的分析，从Lagrange引入的一开始就是希望用纯粹数学分析的语言来讲述Newton时代的几何化力学。而数学你永远也学不完，因此更别说一天了。不过题主既然想学，我可以提供一些我个人的建议和学习分析力学时的感悟，以供参考。

我推荐三本教材：Landau-Goldstein-Arnold。Landau的书很薄，建议花时间精读；Goldstein的书特点是全和深，可以当成参考教材随时翻阅；Arnold的书是为了让你学着开心的。事实上，看完Arnold之后我总是会感觉关于经典力学的一切都是有趣的，因为研究它的精神可以推广到其余的物理上，这就是运用微分几何乃至代数拓扑的方法来研究抽象的物理体系。这就是形式理论的要旨。在学习电动力学时，我会不自主地去阅读U(1)丛相关的内容；在学习量子力学时我会想去看看希尔伯特空间上对应的代数拓扑构造，谱结构是什么；在学习统计物理时我会想相空间的格点化是否对应一些特殊的数学构造，热力学变量的微分形式表示是什么样的。。。我认为这是在学习分析力学的过程中我最大的收获

分析力学三本教材 Landau-Goldstein-Arnold, 分别是啥书名?
  1. 列夫·达维多维奇·朗道（Lev Davidovich Landau） 和 叶夫根尼·米哈伊洛维奇·利夫希茨（Evgeny Mikhailovich Lifshitz）：
    • 书名：《力学》（Mechanics），这是他们合作编写的著名教材系列《理论物理教程》（Course of Theoretical Physics）的第一卷。
  2. 赫尔曼·戈特弗里德·戈德斯坦（Hermann Goldstein）：
    • 书名：《经典力学》（Classical Mechanics），这本书是分析力学领域的经典教材之一。
  3. 弗拉基米尔·伊戈列维奇·阿诺德（Vladimir Igorevich Arnold）：
    • 书名：《数学方法在经典力学中的应用》（Mathematical Methods of Classical Mechanics），这本书详细讨论了经典力学中的数学技术。

这三本书都是理论物理和分析力学领域的经典著作，被世界各地的物理学家和学生广泛使用。它们各自侧重于力学的不同方面，从基础概念到高级主题都有深入的探讨。 #viaChatKimi

在刚开始接触分析力学的时候，高中的力学知识完全不够用，你根本不明白为啥要定义Lagrangian，为啥又要定义Hamiltonian，所谓的正则变换又是什么？Landau的书是给物理系学生看的，但对于部分读者来说，其中的很多深层次逻辑结构并没有彻底的展现出来，这种结构本质上是分析力学的数学结构。

在看完Arnold之后，很多东西就清楚了，简单总结如下：(以下内容均考虑的是单粒子情形，或者那些可以被视为单粒子的少体及整体性的系统，多粒子情形，只需要添加相应的相互作用，或是用场论的观点来看，在此不表。仅凭记忆写下，有可能会有错误)

关于经典力学的分析力学式论证的一切几乎都是清楚的，因为这本质上就是微分几何。在单粒子情形下，我们用一个 维构形流形 来描述它一切可能的运动状态，并赋予其黎曼构造 。切丛 的一个局部截面定义了一个矢量场，黎曼构造使得该矢量场和1-形式之间具有自然同构。在含单参数 的微分同胚群 作用下，我们得到截面 上若干条积分曲线，同时在切丛上定义Lagrangian函数 ，考虑 在驻定积分曲线上的积分，我们就得到了泛函作用量 。在数学之外，物理学赋予整个动力学系统一条第一性原理： ，这就导出了系统动力学方程 这就是单粒子的Lagrange力学。

考虑由 描述的切触流形的Legendre子流形，其上配有1-形式的切触构造 ，那么就有自然的Legendre变换 ，使得 (Hamiltonian)，其切触结构保持同构。这诱导了从构形流形 的切丛 到余切丛 的对偶映射。我们将 维流形 视为一个新的偶数维相流形 ，如同赋予构形流形以黎曼构造使其丛截面与1-形式之间具备自然同构一样，我们在相流形上赋予其自然的辛构造 1，使其丛截面与1-形式之间同样具备自然同构。这样的辛构造是由 上的作用量 的微分自然生成的，也即 是一个非退化的闭2-形式。 构成了一个辛流形。辛流形之间的同构映射 诱导出关于其上的1-形式 的矢量场 ，构成了Hamilton矢量场。原先具备动力学性质的单参数微分同胚群 在该矢量场上生成了一个Hamilton相流，它为辛流形赋予了李代数即泊松括号，同时此相流保持矢量场的辛构造(Liouville定理)。可以证明，这种保辛的变换就是正则变换，将导出关于Hamiltonian的正则方程 . 这就是单粒子的Hamilton力学。

关于分析力学的微分几何背景的其他论证，包括矢量场的李代数、奇数维切触流形、拉格朗日流形的奇异性等一系列内容，对于物理学家来说只需要会用结论即可，这对应Arnold的附录部分。对于经典场论观点下的Lagrange理论，可参考《Advanced Classical Field Theory》，日后有待补充。

　　

评论:

愛物理的无双麓叶: 写完之后岂不是更睡不着😂 (22 赞)

皇甫铁牛: 我也学过分析力学，我为啥完全看不懂☹️ (5 赞)

菀之: 这个回答跟原问题相去甚远了。 (1 赞)

愛物理的无双麓叶 -> 菀之: 可能答主回答风格更注重启发性，引导题主思考问题解决问题🤔 (5 赞)

张稀桧 -> 菀之: 嗯，即兴写的，仅供参考吧，稍微修改了一下前面的表述。 (2 赞)

惊雷小伙: 拉格朗日那个时代没有微分几何的语言吧？他创立分析力学的思想是什么 (1 赞)

张稀桧 -> 惊雷小伙: 希望用一个量来通过数学分析的手段建立重构整个牛顿力学。而这种数学分析的语言自然会发展成微分几何。 (9 赞)

230万光年的思念: Arnold的书是哪本书？

Eclipse -> 230万光年的思念: 经典力学的数学方法

知乎用户: 朗道其实很不适合初学者，这老前辈太不喜欢废话了，每页都要琢磨，很容易放弃，建议先看点容易读的

知乎用户: 想自学朗道《力学》的同学们请到b站搜索这个：【【理论力学 物理类】朗道《力学》全集 完成-哔哩哔哩】 https://b23.tv/ywfXTlY

邪来烦恼风: 辛几何可有意思了，学着就转数学系了

珩茧:

“数学永远也学不完”
好耶，劲吔

playingugly: 挺好，容易入眠

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