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拉格朗日方程

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拉格朗日方程（Lagrange equation），因数学物理学家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力学的重要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相当于牛顿力学中的牛顿第二定律。

200
约瑟夫·拉格朗日

定义

假设一个物理系统符合完整系统的要求，即所有广义坐标都互相独立，则拉格朗日方程成立：

  • ；

其中， 是拉格朗日量， 是广义坐标，是时间 的函数， 是广义速度。

导引

在分析力学里，有三种方法可以导引出拉格朗日方程。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程（参阅达朗贝尔原理）；更进阶层面，可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程（参阅哈密顿原理）；最简明地，可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程来推导：

设定函数 和 ：

  • 、
  • 、
  • ；

其中， 是自变量（independent variable）。

若 使泛函 取得局部平稳值，则在区间 内，欧拉-拉格朗日方程成立：

  • 。

现在，执行下述变换：

  • 设定独立变数 为时间 、
  • 设定函数 为广义坐标 、
  • 设定泛函 为拉格朗日量 ，

则可得到拉格朗日方程

  • 。
  • 为了满足这变换的正确性，广义坐标必须互相独立，所以，这系统必须是完整系统。
  • 拉格朗日量是动能减去位势，而位势必须是广义位势。所以，这系统必须是单演系统。

半完整系统

一个不是完整系统的物理系统是非完整系统，不能用上述形式论来分析。假若，一个非完整系统的约束可以以方程表示为

  • ；
则称此系统为半完整系统[1]。

半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子 ：

  • ；

其中， 是未知函数。

由于这 个广义坐标中，有 个相依的广义坐标，泛函 不能直接被变换为拉格朗日量 ；必须加入拉格朗日乘子，将泛函 变换为 。这样，可以得到拉格朗日广义力方程：

  • ；

其中， 是广义力， 。

这 个广义力运动方程加上 个约束方程，给出 个方程来解 个未知广义坐标与 个拉格朗日乘子。

实例

这个段落会展示拉格朗日方程的两个应用实例。第一个实例展示出，用牛顿方法与拉格朗日方法所得的答案相同。第二个实例展示出拉格朗日方法的威力，因为这问题比较不适合用牛顿方法来分析。

自由落体

思考一个粒子从静止状态自由地下落。由于重力 作用于此粒子，应用牛顿第二定律，可以得到运动方程

  • ；

其中，x-坐标垂直于地面，由初始点（原点）往地面指。

这个结果也可以从拉格朗日形式论得到。动能 是

  • ，

位势 是

  • ；

所以，拉格朗日量 是

  • 。

将 代入拉格朗日方程，

  • 。

运动方程是

  • ；

与牛顿方法的运动方程相同。

具有质量的移动支撑点的简单摆

[Thumb image]

思考一个简单摆系统。系统的x-轴平行于地面，y-轴垂直于x-轴，指向地面。摆锤P的质量是 ，位置是 。摆绳的长度是 。摆的支撑点Q的质量是 。这支撑点Q可以沿着一条平行于x-轴的直线移动。点Q的位置是 。摆绳与y-轴的夹角是 。那么，动能是

  • ，

位势为

  • 。

所以，拉格朗日量是

  • 。

两个约束方程为

  • 、
  • 。

将约束方程代入拉格朗日量方程,

  • 。

特别注意，在这里，广义坐标是 与 。应用拉格朗日方程，经过微分运算，对于 坐标，可以得到

  • 。

运动方程为

  • 。

由于拉格朗日量不显含广义坐标 ，称 为可略坐标，而其相对应的广义动量 是常数 ：

  • 。

对于 坐标，可以得到

  • ；

所以，运动方程为

  • 。

假如用牛顿第二定律，则必须仔细地辨明所有的相关作用力。这是一项既困难又容易出错的工作。

相关条目

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Table Of Contents
拉格朗日方程
定义
导引
半完整系统
实例
自由落体
具有质量的移动支撑点的简单摆
相关条目