title: Mathematica入坑指南 | AyanamistsBlog
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2020-10-03 - 2021-05-11
ayanamists
在计算机里寻求符号计算是不是搞错了什么？
计算机系的学生，大多都是明白计算机是如何做数值计算的。
比如说，你让一台x86计算机算0xff+0xff00等于多少，可以写成这样的汇编：
mov eax, 0xff ;把0xff这个数放到eax寄存器里
add eax, 0xff00 ;把eax寄存器里的数加上0xff00
至于小数，可以用浮点数去算，这些东西都能在硬件上实现。事实上，我们也写过一个简单的CPU，大概知道这些东西在电路上是什么样的。
可是，很多计算机系的学生，也不明白计算机是如何进行符号计算的。比如说，我要算以下的微分式：
这种运算是如何让计算机做的呢？请自行阅读《计算机程序的构造与解释》，这里不再赘述。我们今天的重点是，如何用mathematica来算这些东西。
通向可用的mathematica之路
mathematica是商业软件，学生版要400多元。大家可能不想出这些钱，毕竟美国公司嘛，薅点羊毛也没什么。（注意：如果要进行商业、学术使用，请使用正版软件，否则后果自负。） 想不花钱用，主要有两个手段：
- 官方免费版，我用的是这个，即wolframscript或者说wolframEngine
- 破解版，请参考 https://tiebamma.github.io/InstallTutorial/
wolframscript和mathematica有啥区别呢？主要的区别在【用户界面】上。wolframscript就是一个解释器的REPL，和python、scheme的使用方法没有太大区别。而mathematica则是一个GUI软件，是【笔记本】形式的，每一行代码都是【一个块】，可以单独执行。
说到这里，读者应该明白了，wolframscript就是给我们这些程序员用的，mathematica是给非程序员用的。当然也不用划得这么清楚，我的建议是可以都体验一下，然后再决定用哪个。
这里还要提醒一点，wolframscript会出现玄学的下载问题，如果不在linux下工作或者没有科学上网的手段，能不能安装上纯看运气~
Wolfram Language
Wolfram Language的语法
mathematica是Wolfram Language的前端，在mathematica中写下的代码本质上是Wolfram Language代码。
在Wolfram Language里，一切操作都可以似乎都通过『函数』来完成。它『调用函数』的语法似乎也很简单：
Func[arg1, arg2, ..., argn]
比如说，加法可以这样去算：
Plus[1, 2]
>>> 3
乘法可以这样去算：
Times[1, 2]
>>> 2
读者也许会惊呼，这不就是伟大的scheme lisp吗？
(+ 1 2) ;-> 3
(* 1 2) ;-> 2
可惜，这并不是，或者说不完全是伟大的scheme.
首先，所有的Wolfram Language代码都会被解析成『M-表达式』，这可以用FullForm得到验证：
FullForm[a + b - c]
>>> Plus[a, b, Times[-1, c]]
而这个『M-表达式』正是『S-表达式』的变种，简单来说，
(a b c d e f ...)
和
a[b, c, d, e, f, ...]
是等价的。
不过更有趣的是，Wolfram Language中的Apply函数的作用，是：
Apply[ a[b, c, d ...], a' ]
= a'[b, c, d ...]
比如说：
Apply[Plus, [a, b, c]]
>>> a + b + c
这里的{a, b, c}实际上是List[a, b, c]:
FullForm[{a, b, c}]
>>> List[a, b, c]
那么，Wolfram Language 和 scheme 到底有什么不同呢？这要从它的求值规则说起。
Wolfram Language的求值规则
在讨论 Wolfram Language 的求值规则之前，我们首先要搞清楚 scheme 的求值规则。scheme的求值规则简单来说和
这三条规则揭示了一个重要事实：
- 求值时要进行『深度优先搜索』，即对于表达式
然而，这些求值规则没有解释清楚这样一个事实，那就是当
这看似应该求出来
在scheme中，一个『自由变量』被求值，会导致错误的发生，而在Wolfram Language中，一个『自由变量』的值就是其本身：
Function[{x}, x[a]][Function[{x}, x]]
>>> a
不仅一个『自由变量』的值就是其本身，任何『无法被求值的M表达式』，值都是其本身。更本质地说，『不能被求值』才是M表达式的常态，『能被求值』是因为预定义了『规约规则』。
而如何定义『规约规则』呢？Wolfram Language 中提供了Set。Set可以写作=，它定义了Set[a, b]中a要被规约成b。
显然我们需要一些表达M表达式的方法来定义Set[a, b]中的a，比如说，我们要吧factor[10]改写成10 * factor[9]，但我们不想定义factor[1.1]如何改写。Wolfram Language 把这些东西叫做Pattern，比如说：_ 可以匹配一切M表达式，这可以用MatchQ来检查：
MatchQ[{1231, 231, Plus[a, b], 1}, _]
>>> True
这样一来我们就理解了在wolfram language中，『函数定义』为什么是那个样子：
factor[x_Integer] := x * factor[x - 1]
factor[0] := 1
这里的:=是SetDelayed的意思，它会阻止即时地把『绑定变量』进行求值，如果用Set则会造成一些令人啼笑皆非的问题：
x = 10;
f[x_] = x;
f[1]
>>> 10
如何评价Wolfram Language的设计
wolfram language为什么要这么设计呢？我想，Church老先生在1932年那篇提出
简单来说，我们使用的数学表达式常常含有大量的自由变量，如果都把它们绑定上会违反数学家的爱好（是不是会变得难用我觉得是一个可以继续探讨的问题），所以Wolfram Language索性把所有的东西都当成是一种『Primitive Value』，只有需要规约的时候才去进行规约。这样一来，『含有参数的微分/积分』、『纯粹的表达式化简』都得到了简化：
然而，这样的设计也埋下了大量隐患。如果把所有的程序看作集合
对scheme来说，这三个集合的关系大概是这样的：
而对Wolfram Language来说，这三个集合的关系可能是这样的：
这是因为，很多在scheme中会产生运行时错误的写法，在Wolfram Language中是不会产生运行时错误的：
- 少写了参数
- 多写了参数
- 写错了绑定名
- 引用了一个未定义的绑定
所以，Wolfram Language的这些设计使得排错变得困难，很多时候都会出现极为古怪的输出（因为该求值的东西没有进行求值，继续进行计算很可能得到古怪输出）。
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