如何直观地理解群论？ - 马同学 的回答
title: 如何直观地理解群论？ - 马同学 的回答
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author: 马同学 (a43edcdd0ac3d2e1473023ed0af0bf2a)
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created: 2016-10-21 05:46:40
updated: 2016-10-21 05:46:40
fetched: 2021-10-12 08:53:20
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tags: [数学, 抽象代数, 离散数学, 群论, 多项式方程]
问题描述
大部分同学在学习代数学时，都会被一大堆的概念搞得晕头转向。
几年前，我刚开始看线性代数时也是这样，完全不明白为什么要定义这些奇怪的东西。直到后来看到《如何直观理解矩阵和线性代数？》、《理解矩阵（一）》等文章，才豁然开朗。我非常认同《理解矩阵（一）》文中强调数学直观性的观点。
那么，应该如何直观地理解群论？群论中一些主要的概念究竟是为什么、怎么样引入的？
【参考问答】
话题:
数学, 抽象代数, 离散数学, 群论, 多项式方程
回答:
群论不简单么？一个集合和一个二元运算，并且满足群论四大公理。黑纸白字，没有一个符号、一个汉字是我不认识的。经过这么多年的数学训练，加上刷题，那是想证明就证明、想计算就计算，砍瓜切菜、手起刀落、猛虎下山、势如破竹。
但是！我很不爽，这种感觉好比有人叫你去砍人，你也不问问为什么，一言不合就出手把人砍翻在地，或者被人砍翻在地，这种行为我们一般把它成为脑残，你的身份就是别人的小弟。
我们不要做数学的小弟，刷题不能给我们自由，唯有思考可以。
下面就讲一下我对群论的一些思考。
1 集合
讲群论先从集合讲起，集合简单来说就是把一堆东西放在一起（暂时就别提罗素悖论了）：
可是这用处不大啊，东西之间得有相互作用才能更好的描述世界啊：
东西我们把它称之为对象，对象之间的互相作用我们称之为操作或者运算。
自然数 
运算不止加减乘除，数学学到后面就多了很多抽象运算。甚至从集合和运算的角度来看，学数学的过程很多时候就是在不断的扩大对集合和运算的认知。理解的集合和运算越多，相关领域的数学基本上也就理解了。
其中有种特殊的 集合+运算 就是群。
2 群
简单来说，群的作用是描述对称。
2.1 什么叫对称？
我们来看看：
- 正方形对称吗?
- 物理定律对称吗？
- 多项式的根对称吗？
上面的问题的答案都是：对称！
对称就是： “某种操作下的不变性” ，关键字是两个： “操作”和“不变性” ，要说明这点让我们通过上面的三个问题来理解。
2.1.1 正方形是否对称？
先看看正方形，其实它对称是蛮明显的，符合我们日常的语义，可是我们也要把它放到数学的语境里来分析一下：
围绕中心点旋转这个 操作 ，正方形所具有的 不变性 就是对称。
我们换一种操作，正方形也可以对称：
围绕中垂线这个 操作 ，正方形也具有 不变性 ，也是一种对称。但是因为操作变了，所以这种对称和上面的那种对称不是同一种对称，之后我会再说到这个问题。
假如刚才的正方形只是桌子的桌面，继续围绕中垂线翻转这个操作就不对称了：
2.1.2 物理定律是否对称？
这个听起来就有点奇怪了，但是从不变性的角度出发，相对于时间流逝这个操作，物理定律保持不变，我们可以说物理定律相对时间对称。相对于空间改变这个操作，物理定律保持不变，我们可以说物理定律相对空间对称：
这听起来蛮哲学的，不是说数学学到后面都是哲学吗？
物理我属于民科水平，大家可以参看 对称性----维基百科 。
2.1.3 多项式的根是否对称？
说明下，多项式方程指的是形如
群论就是从解多项式的根开始发展起来的，所以自然要谈一下为什么多项式的根具有对称性。
首先要从简单的一元二次方程说起：
从上图中来看，相对于
这个对称性有什么用？根据 韦达定理 ，一元二次方程
所以顺便说一下，群论的发展过程是这样的：
关于伽罗瓦与一元五次方程的问题，与群紧密相关，但是又涉及到更多别的知识，本文就不继续推下去了。
2.2 对称如何用数学表示？
让我们从正方形开始解读如何来表示对称.
之前说过，对称最重要的是在 “某种操作下的不变性” ，所以我们先讨论正方形围绕中心点旋转，总共有4种对称操作：
或许你觉得应该不止4种操作，比如转两圈，这可以等价于“保持不动”，而转45°，这会导致不对称（因为你会明显发现变化）。
起始点是完全不用关心的：
甚至是不是正方形也不重要：
是的，群只关心对称最本质、最抽象的性质。所以我们只关心操作，只需要把操作放到集合里。
要放进去我们必须要把操作给数学化，也就是符号化，我们起码有两种符号化的选择，类比于加法或者乘法：
稍微解释一下，什么叫做类比于加法？比如我们通过类比于加法得到
还要说明的一点是，这里的加法和乘法是模加法、模乘法，类似于钟表，按照12小时制算，
这样我们就得到了两个群，一个是
这里先用到群的解析式了，下面就要解释一下。
2.3 群的定义
先祭出大杀器，群的标准定义：
群是一个集合
，连同一个运算" "，它结合任何两个元素 和 而形成另一个元素，记为 。符号" "是对具体给出的运算，比如整数加法的一般占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 必须满足叫做群公理的四个要求：
- 封闭性：对于所有
中 ，运算 的结果也在 中。 - 结合性：对于所有
中的 和 ，等式 成立。 - 单位元：存在
中的一个元素 ，使得对于所有 中的元素 ，等式 成立。 - 逆元：对于每个
中的 ，存在 中的一个元素 使得 ，这里的 是单位元。 维基百科
数学是自然科学的语言，和日常的说话相比最大的优点是精确没有歧义，缺点就是晦涩不好理解。群的定义也是这样，下面我们用人话来解释群。
套用正方形的例子来解读群的定义，选
- 集合里的对象：所有保证对称性的操作。
- 二元运算：模加法。
- 封闭性：操作相加还是在集合内，比如
- 结合性：
- 单位元：保持不动就是单位元，映射为0，所以
- 逆元：首先旋转正方形的操作是可逆的，所以
其实吧，我可以再抽象一点，
2.4 群的结构与同构
之前说过，正方形围绕中垂线翻转是不一样的对称 
上图我把运算直接表示为"
现实中，还有各种各样的对称，比如正方形和圆：
这两种对称的结构也不同，对应的群也不一样。群论就是对各种群的研究。
2.5 进一步的思考
关于同构，这里再进一步思考，圆是有无数种对称操作的，之前提到的相对于时间对称的物理定律，也是有无数种对称操作的（因为时间是可以无限流逝的），从某种意义上讲，两者是不是同一种对称，也就是同构？如果是同构，那么我只要研究一个群就可以研究两者了。
思考，才是数学最大的乐趣所在。
最后推荐一本书，Visual Group Theory Nathan Carter，谢谢 @金凯。这书我以前看过，挺好的，就是没有中文版，贵。
评论:
真澄: 怒赞! 只有通彻理解了理论本身，才能用最直观最清晰的语言去体现其内涵。不像有一些人开始试探性的抛出一个专业名词，当察觉到你满眼狐疑一脸不解的表情时，紧接着就是更多的专业名词堆砌，我觉的这种行为除了满满的装逼之外没有半点实际的意义。 (115 赞)
马同学 -> 真澄: 只能说，数学教育和数学研究确实是有天壤之别。谢谢手动点赞。 (84 赞)
知乎用户: 我们不要做数学的小弟，刷题不能给我们自由，唯有思考可以!!!~~~ (62 赞)
夏天爱吃西瓜 -> 知乎用户: 挖到重点！ (3 赞)
Legallchaper1 -> 知乎用户: 可是不刷题光看课本搞不懂啊[大哭]（中学范围内） (1 赞)
知乎用户: 看过的教材全都是上来就亮大杀器，还给扩展出五六个运算性质的，接着就上李群和阿贝尔群，我全程蒙蔽，都不知道群到底特喵有个喵喵用，现在算是有那么点感觉了 (25 赞)
马同学 -> 叶聪: 学习，最好的是先建立一个合理的模型，然后后面的就好办了。 (5 赞)
「已注销」 -> 叶聪: 数学系的毕业了看一看还是看不懂 我挂了两年的抽代 (8 赞)
「已注销」 -> 马同学: 数学系的毕业了看一看还是看不懂 我挂了两年的抽代
马同学 -> 「已注销」: 这是抽代最基本的了，所以你确实挂的不冤：） (1 赞)
柚子鹭:
大学学文科的进来一看，咦我好像能看懂
但瞬间觉得自己民数了😂数学哪有这么好懂啊 (17 赞)
JSC -> 柚子鹭: 同文科，也能看懂，但是做题，算了。 (4 赞)
Peng-hui Guo: 弱弱的问一下：群论到底对应什么实际问题？？ (4 赞)
马同学 -> Peng-hui Guo: 比如，群论预言了物理学里面的基本粒子模型，八重态和十重态，之后才被实验所证明，指明了发展方向。 (27 赞)
打火机不好吃 -> Peng-hui Guo:
这是一个很有趣的问题……函数有什么用？你觉得呢？作为一种研究工具，它可以有无限种用法，只要你能想到。初等物理（高中）都是用函数和方程来研究的。群论不过是更高级的一种工具而已。比方说可以用群论来研究魔方问题=
= (13 赞)
笑旺旺 -> Peng-hui Guo: 群论揭示了数之间的对称规律，描述了一种显而易见但以往数学都没能好好描述的规律。只要是规律，就有预见性，一些物理现象数字化后代入套进来，就可以预测新的物理现象，成了物理规律。 (7 赞)
那卡 -> 笑旺旺: 群论不揭示规律 是让规律更明显的一种工具。 到底来说 规律还是算另外的发现 (3 赞)
做吉他的汉斯 -> Peng-hui Guo: 是一种思维工具，帮助人们发现新的现象。 (3 赞)
Leo -> Peng-hui Guo: 额那个正方形标数字让我想到同分异构体 有机化学这个让我烧火丫头拿钥匙做不了主的东西
Leo -> Leo: 位置关系是相对的辩证的
Leo -> Leo: 我还要评论，那些排列组合，那个生物遗传的互为验证，全是这玩意在作祟
Frederic: 知乎多点这样的文章就更好啦！ (13 赞)
自由像风儿一样: 我没学过，但是好像发现了一点问题不知对不对，想请教一下。就是讲道逆元那里你说 r+（-r）=0可以称（-r）是r的逆元，-r不是这个群内的元素， (12 赞)
马同学 -> 自由像风儿一样: 是的，你说的对，你看得很仔细。其实-r也就是3r，只是我跳过了这一步就直接给出了-r (8 赞)
董豆饼: 小时候就知道伽罗华和群论的故事，现在终于得科普了一回😂<( ˘ ³˘)/🌹 (7 赞)
马同学 -> 董豆饼: 本文离伽罗瓦群还有老长的一段距离：（ (7 赞)
董豆饼 -> 马同学: T_T伽罗瓦大神
JSC -> 马同学: 群论一般怎么出题？
小雨 -> 马同学: 不远了，只要证明中间域到伽罗瓦群的子群之间有一一映射就快完了[笑哭] (1 赞)
三十年前: 我恨数学家！ (6 赞)
李翔宇 -> 三十年前: 死了都不让别人好好活 (14 赞)
小怂蛋的好爸爸 -> 三十年前: 我不恨 (2 赞)
JSC -> 三十年前: 经历了什么？
Leo -> 三十年前: um yes 看看拉格朗日 笛卡尔干得好事情
望天冲:
我要说，从对称性入手，介绍群论，实在是太绕了，这种人，自己都没真正整明白群论。只不过是，人云亦云，鹦鹉学舌而已。
见我的书《低级群论》，多谢指教！ (3 赞)
望天冲 -> 望天冲: 群之所以显示某种对称性，是因为其元素分层次的平等，分层次的概率相同。注意这个分层次。
马同学 -> 望天冲: 感谢指教，苟日新，日日新，又日新。
胡柴 -> 望天冲: 不要叫低级群论。改成群论基础入门，基础群论，群论入门，群论导论，群论小议等都行啊。 (2 赞)