最小作用量原理、莫培督原理、哈密顿原理、变分原理分别是什么？ - 因物悦理 的回答

​最小作用量原理被称为物理中的“第一性原理”，其地位可见一斑。我出于对物理规律普适性的向往，折腾了三个多月写出这篇三万七千字的长文，终于了却了自己的这个心愿。

本着自己懂不如大家懂的原则，我尽力把文字写得很通俗。作为文章里最大的拦路虎——数学，以高中生所具备的基础出发，我遵循懂思想、重定义、足够用的原则娓娓道来，其难度绝对赶不上高考数学题。信不信由你，你敢挑战不？

神人牛顿出版的著作《自然哲学的数学原理》里，众人皆知的牛顿运动定律和万有引力定律给人类认识自然提供了有力的武器，以至于牛顿之后的科学家认为只要找出物体的受力和运动的初始条件，就能搞清楚物体之后的运动规律。从这个角度来说，牛顿的光环太耀眼，导致18世纪的物理学界再没出现过像他这样的集大成者。虽然如此，但是在具体的复杂问题中怎样把牛顿运动定律变得好用还是大有可为的。

牛顿运动定律是为回答物体怎样做机械运动而生的一个力学体系， 也就是要弄清楚物体的位置随时间会发生怎样的变化 。要完成这一光荣的使命，牛顿运动定律其实是会挑对象的—— 研究的物体要能被看成质点 。

什么？要知道质点本就是个理想模型，现实世界里哪有真正的质点呢？要是牛顿运动定律只能用在质点身上，那它岂不是一点用都没有？

别急别急，我不是这个意思。对于实际的物体来说，虽然不能把它看成质点，但是可以把它看成由大量质点组成的集合呀。对于这个集合体来说，若这些质点的运动都一样，咱们依旧能用一个质点来做个代表；否则就必须隔离每个质点进行单独地详尽研究。高中物理里的“板、块”模型就是这样一类典型问题，有没有想起被它支配的恐惧呢？要是再多几个板或块，是不是就想直接放弃了呢？

“板、块”已经是非常简化的模型了，要是换成杆呀、滑轮呀、支架呀等更实际的部件时，岂不是更要头大？究其原因，就是往往需要咱们隔离各个对象进行分析。然而更要命的是这些实际的部件会给咱们的待研究对象施加各种各样的约束，而且这些约束对于对象施加的作用力几乎都是事先未知的。

等等，约束是个啥？简单的说， 就是物体不能随心所欲地运动，其运动轨迹被这些器件限制在某条线或者面上 。

呃，干嘛要去研究这些复杂的器件呀，这不自讨苦吃嘛？嗨，谁说不是呢，可是历史的车轮来到了工业革命，哪个机器上不带点这些器件呢？而各种机器的制造不得依靠理论指导实践么？这不，大家的目光自然就落在了牛顿运动定律身上了撒。牛顿运动定律虽然是强有力的理论武器，但是当用它解决这些形形色色的约束问题时也会显得困难重重。

另外，牛顿运动定律用在复杂问题中显得麻烦的原因还在于其核心—— 是一个矢量表达式（本文的所有矢量均用黑体字母表示）。而在具体计算的时候都是用它的分量式，也就是高中生非常熟悉的正交分解法。即在空间直角坐标系里，把力和运动分别沿三个坐标轴的方向进行分解，化矢量运算为代数运算。如此一来，一个矢量方程就变成了三个标量方程：

要是再考虑约束条件带来的方程，总的方程数量会更多。这还只是针对一个对象的方程数量，要是涉及更多的对象，其方程总数就多得去了。

这里只看一个高中物理里的简单例子就能有所体会。一个质量为 的小球在竖直平面内沿半径为 的圆形轨道做圆周运动，此刻它以速度 运动到图中的 点，其到圆心的连线与竖直方向成 角。

为了写出分量方程，这里将圆心选为原点，建立如上图所示的直角坐标系。则写出的方程为：

方程组里除了质量 、重力加速度 和夹角 已知外，还有三个未知量。要解出所有的结果，显然还差一个方程。不过咱还可以利用约束条件，由于小球始终在圆轨道上运动，其到圆心的距离始终不变，所以有：

这里的 和 就是小球在 点的坐标。如此一来，又多了两个未知量，还得再利用运动学的公式，分别将其和 、 与 、 联系起来。由于小球在两个方向上做的不是匀变速直线运动，咱们还只能写成微分方程的形式（关于微分，下一节马上就说到，别怕哈）。你看，这么捣鼓下来，共有五个未知数、五个方程，其中还有微分方程，求解难道可想而知了。

看完上一段文字是不是一脸蒙圈？圆周运动哪有这么干的呢？不应该是在 点沿法向和切向建立坐标系吗？而且也用不着用 和 来表示小球的位置关系，一个夹角 就搞定了呀。

对对对，你说得都对，这么干确实简单得不得了。因为法向方向的方程为：

这么一来，轨道对小球的支持力就直接给求出来了。 请注意一下这里的因果关系：支持力的大小是随着速度大小的变化而变化的，其值事先未知 。

假如我不关心支持力，只想知道小球沿圆周运动时的速度大小的变化特点，那么切向方向的方程送给你：

至于切向加速度与速度之间的关系可以通过简单的微分方程来确定。

天呐，不仅方程数量锐减，而且求解难度也大大降低了！你对物理又开始爱了吧？

细心的读者可能已经发现了，咱们不过是换了一个坐标系而已，依旧是用牛顿运动定律的套路来求解问题。本来嘛，这不正显出了牛顿运动定律的伟大么？管天管地管空气，牛爷就是这么傲娇。但是咱们要思考的是：更换坐标系是不是一种简化计算的通用方法呢？面对数量众多的矢量分量方程，咱们能有更好的办法来精简方程数量吗？

这些问题亟待大神们各显神通去解决，咱们在瞻仰大佬们的成果之前得先增添一些简单的数学武器。毕竟工欲善其事，必先利其器。

有关微积分的思想，大家可以去阅读我之前写的文章（戳我）。这里将围绕着微积分的定义引出后面要用到的一些工具。

说到微分就必须先提到导数。无论是某些物理量的定义——比如速度 、加速度 等，还是几何中为了衡量图线的倾斜程度， 最终殊途同归到一个词——变化率，也就是一个量的变化值比上另一个量的变化值 。

以形象直观的图形来说，要反映图中倾斜直线的倾斜程度，显然是图中的角度 （0到90度范围内）越大，直线就越陡峭。而角度 的大小可以由其正切值来反映： ，此值被称为直线的斜率。

从图中可以发现，对于直线来说，无论哪一段的倾斜程度都是一样的。这很好理解，如果物体始终做匀速直线运动，无论用哪一段的位移除以对应的时间，求出来的速度都是一样的。但是相比直线，曲线更常见；对于运动来说，变速运动也更常见。如此一来，曲线上不同部位的倾斜程度就不一样了。 所以我们就会更关心曲线上每处的倾斜情况如何 。

那么问题就来了，过曲线上一点可以画出无数条直线，哪条直线才是反映该处的倾斜程度呢？

从直线斜率的计算可以看到，要出现 和 ，需要在直线上取两个点才行。所以同样的做法在曲线上来一遍即可，由此得到的直线称为割线 。

割线AB

但割线的斜率并不是我们需要的，因为取不同的 点就会得到不同的割线，难不成曲线在 点处的斜率会如此调皮？所以，既要利用 点，又要使得计算结果为曲线在 点处的斜率，只能让 点无限靠近 点，使其两者相差无穷小！关于这个幽灵，可以去看我之前的文章（戳我）。

割线变切线

这么一来，我们就发现割线变成了曲线在 点处的切线，而曲线在 点处的斜率就由该切线的斜率来反映。此时，切线的斜率就得写成：
由于曲线都有对应的函数来表示的，而数学里又习惯把函数写成 ，所以有：

于是切线的斜率被写成如下的形式，并获得了一个新名字——函数的导数，记为：

别怕哈，这一坨表达式看起来好吓人，其实很简单——因为函数的导数就是该函数曲线在某点处的切线斜率。所以，只要你知道啥是斜率，看懂这个表达式肯定不在话下。

不过咱要啰嗦几句，记作 非常简洁，但是容易忘记 是对自变量 求导数。所以为了强调是对 求导，就弄了另外一个符号：

前面的这一块东西作用在其身上就表示 对 求导。有时候为了书写方便，就写成：

请注意，不是 与 相除哟！ 捋清这一点至关重要，不然你看到后面的公式肯定会糊。

导数说完了就可以说微分了。还是看图中的切线，其与竖直虚线相交于 点。其中 段的距离可以表示为：

由于 本身就是无穷小了，即 也是无穷小，那么 与 的差会更小，将其称为 的高阶无穷小。 你可以把高阶无穷小想象成是无穷小的儿子，既然老子都是小不点，儿子就更不用谈了 。

咱们就是把 称为函数 在 处的微分，记为 。即：

由于自变量 对自身的导数等于1，也就是 ，所以：

这么一来，函数 在 处的微分就可以表示为：

或者记为：

这和刚才导数的符号不同，这里是指函数 的微分与自变量 的微分的比值，也称为微商 。

说完了这两个重要的概念后，就能根据定义得到几个重要的结论。这些结论在数学教材里都有严格的证明（都很简单明了），大伙自己去看书也挺香的。悦理君就当给大家留个练习哈。

常数 的导数为零，记为：
两个函数相加减的结果，其导数等于每个函数的导数相加减，即：

两个函数相乘的结果，其导数为：

这个结果记起来稍微要费点脑子： 你可以想象自己一个人带着两个娃，现在得给娃脱衣睡觉，你是不是得挨个来？先给第一个娃脱衣服，让第二个娃一边呆着（ ）；然后是第一个娃看着，给第二个娃脱衣服（ ）。两个娃的衣服都脱完了才算完事，即 。

至于两个函数相除的导数就不写了，后面的物理问题里暂时用不上。毕竟这篇文章的主角是物理，数学工具够用就行。

另外，还有一个重要的结论就是复合函数的导数。复合函数你可以想象成是套娃，函数 的变量 只是个中间角色，它是自变量x的函数，即：

所以函数 应该写成 ，其自变量是 。那么求 的导数是指函数 对自变量 求导数，其结果为：

详细严格的证明过程请自行阅读数学教材。

这个等式的识记也好理解，相当于你的娃现在穿了两件衣服，你是不是得一件一件的脱？而且是先脱外层的衣服 ，再脱里面的衣服 ，两件都脱完了才算完事，即 。这就是 复合函数求导的链式法则 。

以上是关于求导的结论，而求导数的基本法则也就是求微分的基本法则，只是形式上稍微变一变就可以了。比如：

看到这里，是不是觉得微分理解起来也不难呀？本来嘛，当你理顺了概念的来龙去脉搞，由它衍生的结论也就手到擒来了。大家往后继续看就会发现，这种学习方式被悦理君体现得淋漓尽致。

回来继续唠嗑微分。前面我是用只含一个自变量的一元函数带领大伙叩开了微分的大门，但是更多的函数所含有的自变量不止一个，这样的函数被称为多元函数。它们的微分会不会有啥不同呢？

咱们就看看最简单的多元函数，即函数含有两个自变量 和 ，记为 。多元函数的导数定义完全类似一元函数，不过区别就在于函数 的变化量可以由两个自变量中的任意一个变化所引起，所以函数 在某点处的导数就有多个，其数量取决于自变量的个数。

如果函数 的变化是由 的变化所引起，由此得到的导数称为函数 关于 的偏导数，偏心嘛，只管 不管 ，记为：

其结果为：

同理，如果函数 的变化是由 的变化所引起，由此得到的导数称为函数 关于 的偏导数，即为：

其结果为：

有了多元函数的偏导数概念，类似于一元函数的微分，则多元函数的微分就是：

说完了微分说就该说一说积分了，从如今的“微积分”这个名称上就能看出它俩可是一对形影不离的好基友。不过要想发现它俩的基情，着实要下一番功夫。

积分起源于对封闭图形的面积计算。你肯定能很快写出矩形、三角形或者梯形的面积计算公式，但是面对一般的封闭图形时就无能为力了。不过没关系，咱可以用那些规则图形的面积来逼近这个不规则图形的面积。这就好比铺地砖一样，总能用规则的地砖近似地铺满一块区域，至于边边角角可以用更小的规则地砖将其覆盖，直到最后看不出什么缝隙。

那这种朴素的思想如何用数学语言来描述呢？假设有一条函数曲线 ，在变量 取值于 的范围内与坐标轴围成了一个曲边梯形。当我们要计算这个图形的面积时，先把区间 分割 份，这样的话每一份就对应一个小区间，而每一个小区间就对应一个小矩形条，然后把这 个小矩形条（相当于规则的地砖）的面积求和去替代曲边梯形的面积。

至于所有矩形条的面积和能不能代替曲边梯形的面积、以及代替的误差有多大，这有严谨的数学论证，咱就省略几千字了哈，数学教材可是等着你们去宠幸呢。显然此处只关注能精确替代的情形， 即把区间 分割成无穷多份，使得无穷多个小矩形条的面积和存在一个确定不变的极限值，那么这个值就是这个曲边梯形的面积 ，记作：

这个式子称为被积函数 在区间 的定积分， 和 分别称为定积分的下限和上限， 是积分变量。

显然定积分 是一个数，只要函数 的表达式和区间 定了，这个数就定了。换句话说，你把积分变量写成 还是 亦或是 都没关系。

这是肯定的撒，比如说函数是二次函数，无论写成 还是写成 ，这不都是相同的抛物线么？它与坐标轴所围成的图形还能有差别？如果现在咱要求这条抛物线在 的范围内与坐标轴所围成的图形面积，结果肯定是一样的嘛。所以有：

为啥要啰嗦上面这么一段文字呢？还不是担心你对接下来的表述弄混淆了嘛。既然定积分 是一个确定的数， 但如果让积分上限（用下限也行）在区间 内任意取值，咱就可以一一对应的写出任意个定积分 （请记住，它是一个数）。

看到这里，你是不是就想起了函数？变动的积分上限有与之一一对应的数！把这个函数起名为积分上限函数，记作 。按照刚才描述的函数构造方法，则有：

其中 。

你看， 我可是特意把积分变量换成了 ，就是为了让你看清楚积分上限函数的变量是积分上限而不是积分变量本身 ！拗口不？那就慢慢地多读几遍哈！

弄这么多铺垫给你甩出积分上限函数可不是为了让你练习拗口令，而是这个函数有个及其重要的性质——积分上限函数的导数等于被积函数，即：

等式成立的条件以及证明过程就请各位辛苦一下翻阅数学教材了，很简单、很容易看懂！

这个性质一下子就把求导和定积分给联系起来了。求导或者求微分是对函数的一种运算，那么这种运算就有与之对应的逆运算，就好比加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法。如果函数 满足：

则函数 被称为是函数 的原函数。显然， 求原函数就是求导运算的逆运算 。刚好上面提到的积分上限函数 就是被积函数 的原函数，这下该知道 的重要地位了吧？

对了，你还记得常数 的导数为零的结论吗？要是咱给积分上限函数 加上一个任意常数 ，你会发现啥？新的函数 的导数也等于 ，即：

所以新函数 也是 的原函数，这说明 的原函数可以有无限多个。严格的数学证明会告诉你， 如果 是 的一个原函数，那么其他无限多个原函数只能是 的形式 。也就是对于同一个被积函数 来说，不同原函数之间只相差一个任意常数。

鉴于求原函数是求导的逆运算，而且原函数就长成 的样子，这么重要的式子不得给它上个户口？于是将其命名为 不定积分 ，记作：

也就是说不定积分是一种运算，是微分运算的逆运算。请不要把它和定积分搞混了哈，人家定积分是一个数。

什么？你要问定积分怎么算？积分上限函数笑而不语地向你招了招手。假设 是被积函数 的原函数，显然积分上限函数 也是 的同伙。刚才已经说过了，不同原函数之间只相差一个任意常数，所以有：

发现没，只要令积分上限里的 等于 ，咱们要的定积分不就现原形了吗？

不过还有一个小问题就是任意常数 的取值。定积分 是一个确定的数，岂容你 任意取值？ 若真如此，岂不是变成了薛定谔的定（小）积（猫）分（咪） ？所以咱得把 的值给求出来。很简单，你先令积分上限的 等于 ，这不就有：

于是可得：

再令积分上限里的 等于 ，则：

即定积分 的值等于被积函数 的原函数在积分上、下限处取值的差。为了方便，咱们会给出一个新的记法：

完美收工！这便是大名鼎鼎的牛顿——莱布尼茨公式！是它把定积分的计算与求原函数进行了联姻，于是微分与积分的基情就开始了。

第一节里提到，牛顿力学方程有些力不从心的原因在于研究对象会受到约束，所以 如何在求解问题的过程中“消除”约束就是一个刚需 。这里将“消除”加上引号，并不是说真的把作用在研究对象上的约束给解除掉，而是指在方程里不出现这些未知的、复杂的约束，从而使得方程变得更易求解。在那个小球沿圆轨道运动的例子里，咱们发现只要换一个坐标系就能使得求解变得柳暗花明又一村。

这是偶然还是必然？这背后有没有隐藏着什么不可告人的秘密？谜底揭晓，这个秘密就是坐（zou）标（jin）变（ke）换（xue）！即不再用直角坐标 和 来描述物体的位置变化特点，而是用另外一种坐标。这就好比买东西，以前总是用现金，现在有了手机支付，便捷程度一下就提升了。

不过要提醒一点的是，坐标变换没有绝对的好坏，只有在具体问题中存在相对最适用的区别。这就好比现金和手机支付一样都有存在的价值，手机没电没网的时候，现金支付是不是很香呢？

那如何进行坐标变换呢？这里有个依据—— 一个被称为自由度的东西 。对于一个自由质点来说，当其在空间运动时，由矢量分解的特点可知，需要3个直角坐标 、 和 才能确定它的位置。如果是 个自由质点组成的自由质点系来说，则需要 个这样的坐标来描述，也就是：

、 、...、

由于每个质点都是自由的，所以这些坐标都是彼此独立的，少一个都不能把这个质点系的运动状态给描述清楚。 这些独立坐标的个数就是这个研究对象的自由度 。

但是对于受约束的研究对象来说，自由度肯定是要小一些的，因为约束的存在使得原先的部分坐标之间会有联系。还是看第一部分给出的小球沿圆轨道运动的例子，小球在竖直平面内运动，所以需要 和 两个独立坐标来描述它的运动。但是小球还被限制在圆轨道上运动，所以两个坐标之间始终满足：

的约束条件。

这个约束条件的存在，使得 或 总能被另一个坐标给表示出来，所以描述这个小球的独立坐标只需要1个就可以了，也就是它的自由度为1。这就是为啥咱们只用小球到圆轨道圆心的连线与竖直方向的夹角来描述它的运动的原因啦。

推广开来，对于由 质点组成的质点系，其受到了 个类似于小球这样的约束（称为完整约束，具体定义就不展开，个人觉得有点影响文章的连贯性，读者可以自行翻阅任何一本理论力学的教材），那么这个系统的自由度记为 ，其值为：

也就是说 描述这个受约束的系统，只需 个独立坐标就可以了 。至于这 个坐标从哪来，可以是以前的 个坐标里选择 个，也可以另起炉灶重新选择 个其他的坐标。反正坐标系又不是只有直角坐标系这么一家。

至于新的坐标系是什么样子的，甩给你一句话—— 具体问题具体分析 ！好家伙，反手就是一个好家伙。比如说可以选极坐标呀，柱坐标，球坐标等等。为了给这些新坐标起个统一的名字，就叫它们为 广义坐标 吧。

不过别高兴得太早，换坐标并没有真正做到“消除”约束。啥情况？虽然使用广义坐标后，自由度从 降为了 ，这会导致总的方程数量减少。但是若考虑到牛顿方程的矢量特性，依然要写出较多的分量式；而且未知的约束力也会出现在其中的方程里，即使咱们不想搭理约束力，也不得不硬着头皮联立求解方程组。所以咱们还需更彻底地“消除”约束。

回想第一节里提到的约束，意思就是物体的运动状态有所被限制。比如车轮在地面上无滑动的滚动；刚体具有不变的形状；被光滑铰链链接的刚体等。这些例子里，静摩擦力就是使得车轮不滑动的约束力；刚体的内力约束其形状不变；铰链约束着被链接的刚体的运动状态。

对于纯滚动的物体来说，静摩擦力对其不做功；对于刚体来说，由于其形状不变，其内部各质点没有相对位移，所以内力做功的代数和为零；考虑铰链约束的特点，铰链上的约束力所做功的代数和也为零。这些例子透露出， 咱们可以通过从做功的角度来消除约束力的影响 。

可是做功就会涉及到位移，那物体应该发生怎样的位移才能使得约束力做的功为零呢？这样的位移是特殊值还是普遍值呢？或者说物体真能发生这样的位移吗 ？

问题发展到这里，咱们又遇到了拦路虎。再正常不过了，解决问题就是打怪升级的过程，咱们再次需要获得有力的数学武器。但这个武器并不是为解决约束问题而生的，其来头可不小呢。

历史上有过这么几个著名的问题：光在不同介质中传播时有什么特点呢？费马断言光通过空间中固定两点的真实传播路径是其用时最短的那条路径，这便是著名的费马原理。

伯努利曾向物理同僚们踢馆，悬赏一道智力题：小球从固定高处沿某条轨道滑到固定低处，怎样的轨道能使得小球最快到达目的地呢？这便是著名的最速降线问题。

关于这两个问题的具体求解，在后面会展现出来，这里暂时只说问题的求解思路。这两个例子都是要解决同一个问题—— 要从众多可能的轨迹中选择一条确定轨迹，该轨迹对应着最小值 。

提到求最值应该不陌生吧？高中数学里不是经常求函数的最值么？所谓函数的最值，你可以想象有一片山区，所有山顶中最高的就是最大值，所有山谷中最低的就是最小值。而每个山顶（谷）称为函数的极大（小）值，所以求最值就转化成求极值。

用数学语言描述就是自变量 在某个值 附近取值时，函数值 都不大（小）于 的值，就说函数 在 处取极大（小）值。 对于每个极值点，其典型的几何特征就是 在 处的导数为零，因为函数曲线在此处的切线平行于 轴 。

不过要注意的是，上述两个例子并不是要求函数的极值，而是 函数的函数取极值 的问题。啥？你确定你没多打几个字？没有！且听我娓娓道来。

求函数的极值，前提是这个函数已知了。比如咱们熟悉的抛物线函数 ，想知道当自变量 在 这个区间能否取极值时，只要按照上面的办法把函数求导，看看有没有 的值能使导数为零。

但是上述两个例子里，咱们事先连函数的表达式是啥都不知道 ！这不显然的嘛，要是知道了函数表达式，路径不就知道了么？

所以例子里的问题应该是这样的：事先给定了 的取值范围，但是函数表达式未知，可能是 ，也可能是 ，还可能是 等。然后对这些不同的函数曲线比较长短，长度最短的那条函数曲线就是咱们的目标！这就意味着要把这些可能的待定函数丢进一个计算长度的函数里，这样的话，出来的结果就是该函数曲线的长度。

你看嘛，这不就是给函数再套一个函数嘛？所以，函数的函数这个叫法就是这么来的。拗口是吧？谁说不是呢？！所以它有一个新名字—— 泛函 。咱们习惯把函数记作 ，则泛函被记作：

请不要被这个符号给吓到了，你可以随便用一个符号把 给包起来。 但是请注意，泛函的自变量不再是变量 ，而是函数 。这是泛函与函数最大的不同 。

函数与泛函的区别

弄清楚了泛函，就可以来说泛函的极值。和求函数极值一样，也需要求出泛函的导数，然后找出它的零点。函数求导需要计算函数的变化量，同理给泛函求导也要整出它的变化量。 请再次注意泛函的变量是函数，所以泛函的变化是由不同的函数所导致的 。而这些不同的函数就引出了 变分 的概念。

当自变量 在它的取值范围内 任取一个值时 ，此处 对应着许多可取的函数集合 ， 则 与 这两个不同函数之间的差值就称为函数 在 处的变分 ，记为：

显然，泛函的变化量则为：

熟悉不？是不是和函数的变化量及其相似呀？ 唯一的不同是函数的变化量来自于自变量的变化，而泛函的变化量则由函数的变分所导致 。

类比可得（此处省略了上千字的严格数学推导），泛函也有“微分”！不过为了加以区分， 泛函的“微分”称为变分 ，记作 。不出意外的类比，其结果为：

其中 和 相差一个 的高阶无穷小量。

如果泛函的变量有多个，以最少的两个变量为例，则泛函写成：

则其变分为：

依据请参考前述的多元函数的微分结果。

扯点闲话，这里之所以省略了泛函变分的推导过程， 主要目的在于突出类比的思想 ，这可是物理学里及其重要的思想方法，甚至可以说是一种优秀的物理直觉！ 把外在相似而内涵一致的现象归为一类，这不就是物理学的本职工作么 ？再者，泛函变分的推导远没有函数微分的推导那么直观和简洁，如果硬要堆砌出来，只会显得满满的硬核数学风，与本文的主题思想相差甚远。

言归正传，既然微分和变分如此的相似，咱们就指着相似性好好薅一下。比如说函数 如果可导的话，那么其导数的变分则为 。根据函数变分的定义可知：

再根据导数的运算法则有：

即：

也就是说对函数求变分和求导数的运算次序是可以交换的 。这个特性会在后续反复用到。

好啦，变分的神秘面纱已经被掀开了一角，咱们的武器库里又多了一项得力的数学工具。想看它大杀四方的威力还请耐心地等等，现在咱们的思绪得回到物理问题中去了。

在“消除”约束的道路上，咱们发现约束力做功为零就很香，只不过会困惑于功对应的是哪一段位移，以及这样的位移有没有普遍性。哎，这讨厌的约束啥时候是个头啊？！

嗨，就这？多大点事嘛。你不是不清楚对应哪段位移么？咱就给你弄出所有可能的位移！你不是疑惑位移有没有普遍性么？咱就给你弄出所有可能的位移！你不是还.....？咱就给你弄出所有可能的位移！怎么样，管够不？

好家伙，说得容易，怎么弄呀？物体运动的时候位移是确定的，你怎么弄出所有可能的位移呢？

简单！咱不让物体真的动起来不就完了撒？此时此刻的你是不是一脸懵逼？别担心，详细解释这就附上。先说物体的实际位移，它对应着一段时间间隔，在这个时间段内，由于物体的运动已经发生了，所以这段位移也就定下来了。那要是咱只着眼于某个时刻呢？ 这相当于把时间“固定”住，谁又会知道物体该往何处运动呢 ？

打个比方，当你从家去到学校，这就是你的实际位移，显然这是一段确定的位移。而你在家还没出门时，你是不是可曾想过去商场？去饭店？去球场？去一切可以去的地方？反正只要没迈开腿行动，头脑里就可以想出任何可以去的地方。

既然针对一个固定的时刻，物体在接下来的运动中可以 有很多种可能的位移 ，而这些 可能的位移并不是物体实际发生的位移 ，所以给这些可能的位移起个新名字—— 虚位移 。啊这，名字就给人一种虚无缥缈的感觉，这很物理吗？

答案是这很物理！谁说物理里只能引入那些实实在在的东西？磁感线、电场线是不是引入的两个假想工具？这里的虚位移也是如此！它的作用就好比几何题里的辅助线，背后隐藏着巨大的作用。

那么虚位移又该如何来表示呢？物体的位置咱们可以用 位矢 来表示，其实就是从坐标原点指向物体所在的位置坐标的有向线段。

位矢与位移的关系

显然位矢是时间的函数，因为不同时刻物体所处的位置不一样，故把位矢记作 ，简记为 。根据虚位移的特征，则物体在固定的时刻 有很多可能的位矢，记作位矢集合 。

写到这里，大家想到了什么？这不和刚刚介绍的泛函很像么？ 所以虚位移就是在固定时刻 ，两个可能的位矢差 。这正好就是函数的变分嘛！所以沿用变分的符号，则虚位移为：

这就是为啥咱要先初识变分的原因，因为只有当你初步了解了啥是变分，你才能明白虚位移是个啥玩意。

顺便说一下，物体的实际位移应该表示为：

由于咱们把位矢 看做是时间 的函数，那么当物体实际运动的时候，这个函数关系式是确定的（哪怕咱们还没求出来，也是如此）；而物体的实际位移只是因为时刻不同才导致的位置不同。咱一定要仔细区分虚位移和实际位移的表达差异。

对了，聊了这么久的虚位移，咱们可不要忘了引入它的初衷。虽然它能解决我们对于位移的那些困惑，但是最重要的问题——约束力做功为零的目的能实现吗？敲黑板啦，快点看过来。

比如物体被约束在一个光滑曲面上运动，咱们把这个曲面的方程形式记为：

如果 里面不含有 ，则表示这个光滑曲面是固定的，因为它的位置不随时间变化嘛；而如果 里面含有 ，则表示这个光滑曲面是运动的。至于这个曲面方程的具体长啥样并不重要，你若耿耿于怀这一点，你写个球面方程 也行啊。

现在咱们让时间 固定，让物体在受约束的前提下取其虚位移 ，则有：

成立。这不废话嘛，毕竟物体始终受到约束，就算产生了虚位移也是被束缚着，当然要满足这个约束曲面的方程撒。把这两个方程相减，你就会发现：

依据请参考多元泛函的微分。

请问有没有人觉得少一项 呢？按照多元泛函的微分，确实有这一项，但是你在引入虚位移的时候不是要把时间固定么？也就是 ，所以这一项就没有了。你发现没，无论约束曲面的方程里是否含有参数 ，虚位移满足的条件都是一样的？即满足：

如果你对向量的数量积有所了解的话，上面的满足条件可以立刻改写成两个向量的数量积，即：

两个向量的数量积为零意味着这两个向量互相垂直，而这个等式里的第一个向量即为虚位移 ，第二个向量就是约束曲面的法向量 。至于为啥是法向量，高中数学里可是学过如何通过直线方程写出该直线的法向量哟。你若会写直线的法向量，只要多加一个分量就是曲面的法向量。

得出了虚位移方向与约束曲面的法向量垂直的结论有啥用呢？别忘了物体在光滑曲面上受到的约束力就是垂直于曲面的弹力 ，即弹力与曲面的法向量共线。如此不就意味着弹力 与虚位移 互相垂直么？再根据功的定义有：

哈哈哈哈，约束力终于给“消除”啦！这里出现的 称为 虚功 。 由于约束力的虚功为零，从而达到了“消除”约束力的效果，这就是引入虚位移的真正目的，也是它自身价值的体现 。

再比如说刚体，其内力约束着自身形状不变，这就意味着内部任意两个质点之间的距离是不变的。假设某两个质点的位矢分别为 和 ，则约束条件显然为：

这个等式就是两点之间的距离公式，其中 为一个常数。如果像上一个例子一样写成函数方程的形式，那就是：

根据前面已经推出的虚位移所满足的条件，即有：

化个简就能得到：

先别急着担忧这个化简的结果如何解释，咱们还没说这两质点所受的约束力呢。显然，它俩之间的相互作用力就是约束力。 既然是它俩之间的相互作用力，不得有等大、反向、沿着两点的连线这三个特点么 ？

示意图里已经清楚地标出来了。如果把这三个特点的文字描述转化为数学语言，你会发现有：

前一个等号体现了两个作用力等大与反向的特点，第二个等号体现了两个力沿着两点连线的特点 。啧啧啧，你不得不称赞数学语言的精准与简洁！

接下来就该把两质点各自所受约束力的虚功给弄出来了，显然有：

和

虽然各个约束力的功不为零，但是总功：

你看，约束力依旧被“消除”了。

咋样，用虚位移“消除”约束力很香吧？而且不仅光滑支持面和刚体有这样的特点，像光滑铰链呀、绷紧且不可伸长的轻绳等产生的约束，都有约束力的总虚功为零的特点。 这就爽歪歪了，此法不仅实用，而且还能惠及一大批约束！就好比玩着消消乐，点开一个技能包消除了满屏的图案，爽不？

既然有这么多约束力的总虚功为零，于是乎就归个类吧—— 约束力总虚功为零的约束称为理想约束 ，记作：

什么，你又给我谈理想？难道物理离开了理想就不能活了？

看来有必要再次重申理想的意义—— 抓主要因素而忽略次要因素，从而把各种实际问题抽象成一个个物理模型，通过研究物理模型从而找出背后隐藏的规律 。这才是理想的根本目的！至于如何抹去理想和现实之间的差距，待你弄清了本质规律后可以慢慢加入各种实际的因素，规律的适用范围不就扩大了么？还有问题？

好啦，现在工具都已齐活，咱们即将开始大干一场！在撸起袖子之前，我想强调的是： 相比知道怎么干，弄清为什么要干和为什么要这么干是更重要的前提 ！毕竟事出有因， 如果你只盯着做事之方而忽视了谋事之略，岂不是很容易堕云雾中 ？倘若读者能从这些文字中领悟到物理绝不是天马行空的胡思乱想，而是在解决一个个具体问题中逐渐发展的优美体系，我辛苦敲字的付出也就值得啦。

开工之前再强调一遍，接下来的工作只是去改造牛顿运动定律的核心方程：

让其能更好地用于有约束的场景。至于会有啥不同凡响的结果，那就拭目以待吧。

核心方程里的力 指的是物体所受的合外力。对于受到约束的体系来说，合外力可分为主动力的合力 和约束力的合力 。那么分到系统里的 个质点来说，主动力的合力记为 ，约束力的合力记为 。在这样的记号体系下，每个质点满足的牛顿第二定律方程为：

这里有 。

看到这个方程，相信大伙不难想到接下来要干嘛——把等式两边同时乘以对应质点的虚位移，利用理想约束的总虚功为零的特点将约束给“消除”掉。不过有个问题咱们得交待清楚：等式右边的 是啥？它乘以虚位移以后又是啥？它要是毫无名分的呆在等式里像什么话呀？

所以咱们要把这个方程进行一个骚操作——把 移项到左边来，使得方程变成：

那么 就有名分了。不是，你这是在逗我吗？小学生都会的等式移项，你拿来糊弄谁呢？这操作还真是骚啊！

各位请稍安勿躁，就是这么一个简单的移项还就真的解决了名分问题！从数学的角度来说确实就是简单的移项，但是考虑到物理量纲可就意义重大了。咱看个通俗易懂的例子，假设一份饭20元，可以写成等式：“20元=一份饭”。你若没有一张20元的钞票，可以付两张10元的钞票嘛，那么等式为：“10元+10元=一份饭”。 也就是说钱和钱能直接相加，可你有听过钱和饭相加的吗 ？即 对于物理量来说，只有量纲相同的量才能相加 。倘若你非要把等式里的“一份饭”进行移项，将其写成：“-(一份饭)+20元=0”， 那么“-(一份饭)”表示的只能是钱！只能是钱！是钱！ 看到这，你还觉得移项是个简单的活吗？

回到牛顿第二定律的方程里来， 没有移项以前就是质量乘以加速度，而移项以后， 这一项就是力！这就不禁有人问了，哪来的力？这个力确实不是真实存在的，咱们称为惯性力。至于为啥这么叫，我在后文合适的地方再提及。但无论如何，即使不纠结它的名字，这一项表示力肯定是板上钉钉了。如此，等式：

里的每一项都有了正当的名分，分别是惯性力、主动力和约束力。若将等式两边同乘以质点 的虚位移 ，等式变为：

那么各项分别是惯性力的虚功、主动力的虚功和约束力的虚功。

如果这个质点系受到的是理想约束，不就有约束力的总虚功为零么？也就是：

所以咱们只需把所有质点的虚功方程相加即可构造出约束力的总虚功，即：

于是对于理想约束的体系来说，改造后的方程就能简化成：

等等，你管这个叫简化？我的拳头都变硬了！

相比单个不受约束的质点的方程来说，上式确实有些复杂，那是因为单个不受约束的质点本来就是最简单的情形啊。但是对于受约束的体系来说，上面的方程成功地消除了未知约束力的影响，你能说它不是简化的结果？

另外咱要坦白的是，上面的简化结果是借助理想约束的条件才得到，可是在复杂的现实面前，理想化岂不是我们的一厢情愿吗？并不是的！ 遇到非理想约束的情形时，你把力 看成是主动力与非理想的约束力的合力不就可以了嘛？剩下的问题就甩锅给数学吧 。这就是我在上一节提及的如何在理想和现实之间搭建桥梁的方法。

理想化的问题咱们可以不纠结了，但是这个简化方程里又出现了一个新的问题——虚位移。 物理规律建立在这么一个虚无缥缈的对象之上，总让人觉得不放心，所以社会主义改造的步伐依然不能停下来 。

咱们回头看看得到的方程，它是 项乘积的和为0。如果每个质点的虚位移之间都是彼此独立、互不影响的话，那么由于虚位移的任意性，要保证所有项的和为零，只能是每项虚位移前的系数都为零才行。这个结论可以用反证法得到，严格的证明过程可以参考变分法的教材 ，不难。

果真如此的话，这个方程就退化成了自由质点的牛顿第二定律表达式啦，说明上面的这个简化方程是可以包含无约束的简单情形。而对于有约束的质点系来说，质点系的虚位移之间不再是彼此独立的，怎么办？

想起来了吗？ 在第三节里面就提出了专门解决这个问题的办法——广义坐标 呀。假设这个受约束的质点系的自由度为 ，也就是要选择 个彼此独立的广义坐标，记为：

那么每个质点在时刻 的位矢就是这些广义坐标的函数，记为：

这里有 。

质点的位矢被广义坐标给表示出来了，那么质点的虚位移肯定也就不在话下了撒。显然有：

注意虚位移的特点，时间是被固定的。所以把上面两式相减，再参考多元函数的微分就有：

这么写挺麻烦的，甩出求和符号就挺简洁，即：

更换了广义坐标后，方程就变成了：

大伙千万不要怕这个表达式，这就是把 项类似于

的表达式相加而已。

另外，根据速度定义可知，速度等于位移除以时间，也就是位矢对时间的导数；而加速度是速度的变化量除以时间，也就是速度对时间的导数。所以加速度就是位矢对时间的二阶导数（ 数学部分涉及导数时，约定在函数字母的右上角加撇号；物理部分涉及导数时，约定在物理量字母的头上加点号 ），记为：

最终方程变为：

把等式左边的这一坨东西稍微变形一下（即把小括号拆开），就变成了：

眼瞅着等式越写越长，这还了得？那就先找个新符号吧，令：

称其为 广义力 。

这个叫法很自然，因为方程的第一项变为了：

对比原始方程就会发现这不就是广义坐标下的“主动力”的虚功么？所以把 称为广义力再合适不过了。

等等，我咋感觉你又在敷衍呢？说来说去，你只不过是换了壳，用 去代替了书写比较麻烦的一项，至于 怎么求、怎么继续变化，你却只字不提。哎呀，别着急嘛，时候未到而已，后面会给安排的哈。但不管咋说，它的名分不是给了嘛？先占个坑。

现在重点说说等式里的第二项，只要咱们稍微施加一下魔法就可以让它大变样！由于这一项里存在二阶导数，如果咱们想要求出未知的位矢，那么需要积分两次才能还原。本来积分计算就比较麻烦了，结果还要来两次，岂不是自讨苦吃？难道就没啥好的法子吗？

有的亲， 分部积分法 就能大有作为。所谓分部积分法其实就是利用两个函数乘积的求导公式来替换积分对象，从而使得积分计算变得相对容易。所以，为了替换掉这个讨厌的二阶导数，咱们将其变换为：