[前置内容] 从映射到张量

对数学系来说可能写的太怪了, 是给物理人提供的代数基础速成系列. 就如果你是学物理的, 那这些知识就从头到尾都是要求彻底掌握的.

因为经常要用到相关概念, 每次写东西都简略介绍一遍的话既麻烦又不够完善, 但不提一下也不是. 所以就决定将这些基础的代数结构单独拎出来写一篇 note 来充当其它 notes 的前置内容.

本文最大的优点应该还是易懂吧, 但不保证能写得多么完美无瑕, 不敢说有多严谨. 只能说是我自己这么多年来都是这样看待这些概念的, 然后一直到今天也无出啥大问题. 现在只是把我的理解记录了下来供大家参考.

1. 映射

1.1. 设集合 , 则可以定义集合间的映射

2. 线性空间与线性变换

2.1. 线性空间
2.2. 基矢
2.3. 线性变换

3. 内积空间与度规空间及二者的区别

3.1. 内积空间
3.2. 度规空间
3.3. 浅谈二者

4. 对偶线性空间

4.1. 对偶线性空间的本质是对矢量的全体线性映射构成的空间
4.2. 与 上不存在自然同构映射, 但 与 上却存在
4.3. 选定了内积或度规后 与 上就已经存在一个同构映射了

5. 张量与张量积

5.1. 张量是基于矢量与对偶矢量定义的概念, 对偶线性空间可由内积或度规确定
5.2. 张量的本质就是一台没有感情的多重线性映射机器
5.3. 常见的张量例子
5.4. 张量的退化
5.5. 是不是太抽象力? 我可以举一个极其具体的例子, 让你直观感受一下
5.6. 张量积的基本概念
5.7. 张量所处的线性空间

6. 令人心跳不已的指标运算

本文涉及的最基本的运算关系与逻辑符号的约定

(1). 符号 用于连接两个在特定数学概念上完全相同的内容.
(2). 符号 用于连接两个在特定数学概念上有差异的内容.
(3). 符号 用于代替词语 定义为 或 为 , 即其中一边是另一边的一个记号.
(4). 符号 用于代替词语 存在 , 符号 用于代替词语 任意.
(5). 符号 的左边是集合中的元素, 右边是元素所处的集合.
(6). 符号 的左边是右边的子集; 符号 的左边是右边的真子集.
(7). 符号 用于代替词语 可推得 , 符号 用来代替词语 对应于.
(8). 直积 的作用是生成有序元素组的集合[1]: .
(9). 格式 表示的是 被 作用的结果.
(10). 若内部有小括号则外部的小括号会自动升级为中括号, 如 .
(11). Kronecker delta 就是 和 两个数的简单记法.

1.1. 设集合 , 则可以定义集合间的映射 :

这个记号的意思是 是一个能通过输入一个 中的元素来得到一个 中的元素的映射.

✦ 映射 要求对 在 中有且仅有一个 与之对应, 共分为三类:

(1). 单射: 对 满足 [2].
(2). 满射: 对 一定能找到一个或多个 满足 .
(3). 双射: 即集合 间存在一个一一对应的关系.

若非满射的话, 值域 则是 的一个真子集, 我们将其记为 .

是 Image 的缩写, 显然满射可以表达为 .

✦ 单射加满射可以得到双射:

先引入 称之为 的逆映射, 其满足关系 .

映射要求 是存在且唯一的, 即映射本身要求不能一对多且 全员参与,
对 , 单射要求 是唯一的 (不要求一定存在), 即不能多对一,
对 , 满射要求 是一定存在的, 即 内全员都参与这个映射活动,
所以 单射 + 满射 就可以给出两个集合间的一个一一对应的关系.

✦ *强行逆映射[3]:

对于非单射的情况, 即 使得 不唯一, 或者说有 使得 的情况.

可定义强行逆映射:

其中 是 的一个独点子集.

2.1. 线性空间:

✦ 线性空间 即对元素定义了[4]矢量加法 与数乘 两个能满足八条确定运算规律的集合, 而集合中的元素我们称之为矢量.

上述中的 是数域, 参与数乘的数就属于数域, 可以是实数域 或复数域 等[5].

要注意到顺序是这样的:
我们是先给定了一个数域 ,
然后才给定一个集合 ,
集合 内定义一个 的二元运算, 称之为矢量加法,
然后定义一个 的数乘运算将 与 耦合起来.

所以谈线性空间的时候要指出是什么域上的线性空间.

✦ 矢量加法 与数乘 需要满足的八条运算规律:

下面对 均成立.

(1). 矢量加法的交换律: .
(2). 矢量加法的结合律: .
(3). 存在零元, 即矢量加法的单位元 使得 .
(4). 存在矢量加法的逆元 使得 .
(5). 存在数乘的单位元 使得 .
(6). 数乘与数域乘法相容: .
(7). 数乘对数域加法的分配律: .
(8). 数乘对矢量加法的分配律: .

注意数乘是不要求交换律的, 然后就是数域自带了正常的乘法和加法, 就是小时候玩的那种.

✦ 举一例加深理解[6]:

在 上定义运算 .

若将 定义为矢量的加法, 而将 定义为数乘的话 就构成 上的线性空间.

✦ 最后, 由于矢量加法与数乘的运算与数域加法乘法相容, 就没必要特意创造新符号了.

就是说我们将用 与 来代替 与 , 这并不会造成任何混乱.

2.2. 基矢:

✦ 线性无关与线性相关:

若存在不全为 的一组数 能使 个矢量 > 满足 则称这组矢量是线性相关的.
若不存在则说明上述 个矢量 是线性无关的.

就是说如果 那么就有 , 而这就叫 被 与 线性表示出来了, 当然换个写法也能说 可以被 和 线性表示或者 ··· 你懂的, 总之这种情况就叫 线性相关. 线性表示的意思就是通过加减数乘来表示的意思, 因为线性空间只有加法和数乘, 所以用这俩来表示一个矢量就叫线性表示. 如果不能进行线性表示, 就叫线性无关了呗.

✦ 线性空间 的维度定义为空间内能找出的线性无关的矢量的个数的最大值, 记为 .

实际上, 是线性空间 的唯一的特征量或者说不变量.

所以两个线性空间只要维度相同我们就可以说它们同构[7]了.
二者同构的数学定义是二者之间存在一个同构映射, 后面讲到对偶空间时会再提一下.

✦ 当你找到了 个线性无关的矢量 时.

你决不可能再从线性空间中找到一个与这个集合达成线性无关条件的矢量了[8].

那么反过来说现在对 都一定存在一组不全为零的 > 使式子 成立.
移项可得 , 说明任何矢量都可以被 线性展开,
于是我们就称 为基矢.

任何 个线性无关的矢量都可以充当这个空间的一组基矢.

但将来我们会选择其中最讨人喜欢的那些标准正交基, 现在还无法定义, 后面会说.

2.3. 线性变换:

✦ 线性变换 就是线性空间 到自身的线性映射 .

关键在于是 线性 的映射, 就很好算, 线性就是说对 均满足:

(1). .
(2). .

那再提一嘴, 用到复数域的时候, 我们说的 线性 有时是在指 反线性 :

(1). .
(2). [9].
比如复线性空间到对偶空间的同构映射就是反线性的.
其实都大差不差啦, 所以很少会专门强调这个事儿.

3.1. 内积空间:

✦ 内积空间就是定义了内积运算的线性空间, 内积本质是一个映射 .

即对 有 . 而这个映射是人为指定[10]的, 并没有什么玄妙的地方.

然后就是上述映射要满足以下四个条件才能被称作内积运算:

(1). [9].
(2). .
(3). .
(4). .

✦ 内积空间中对 我们一般定义矢量 的模长 .

有了内积就可以定义 标准正交基 为两两内积为 且模长均为 的矢量构成的一组基底.

3.2. 度规空间:

✦ 度规空间就是指定了度规的线性空间, 度规的本质是一个双线性映射 .

即对 有 .

然后就是度规需要满足的要求:

(1). 对称性: 对 有 .
(2). 非退化性[11]: 即若对 均有 则可推知 .

✦ 度规空间中对 我们一般定义矢量 的平方 .

有了度规就以定义 标准正交基 为两两度规作用为 且平方均为 的矢量构成的一组基底.

3.3. 浅谈二者:

✦ 首先二者不存在包含关系, 数学不会这么无聊, 但细究起来二者的差异又十分微妙.

以至于你去问几乎身边任何一个物理人, 他们都会说「这只是同一个东西的两种写法罢了. 」
靠谱一点的物理人考虑到复共轭的问题后会说度规可以都用内积刻画, 然而他还是错了.
另一种靠谱的物理人考虑到相对论后可能会说内积都可以用度规刻画, guess what[12]?
所以实际上一个云里雾里的物理人照样能做物理, 细节清晰度仅取决于你对自己的要求.

✦ 退回到三维欧氏实空间去看, 俩矢量做点积究竟该视为内积映射还是度规作用?

答曰都可, 然而 generally 来说区别还是存在的:

(1). 内积空间要求 , 即矢量的模有非负性, 而度量空间中并无此要求[13].
(2). 内积涉及取复共轭 而度规作用 是对称的.
前者导致内积无法表达平方为负的情形, 后者导致度规无法表达内积的取复共轭操作[14].

4.1. 对偶线性空间的本质是对矢量的全体线性映射构成的空间:

✦ 记线性空间 的对偶空间为 , 则 均是 的线性映射.

换句话说就是 是所有的 的线性映射的集合, 它也构成线性空间.

中的元素也叫 中矢量的线性泛函[15].

✦ 与 在线性空间意义上是同构的, 即二者维度相同.

蛮容易证明的:

我们只要先任选 中的一组基矢 .
则总可以通过条件[16] 找到一组 .
结论就是 一定构成 的一组基底, 它们也被称为 的对偶基底.
就是说对 都可以做展开 , 其中 全都是系数.

这就归结为只需证明对偶空间 中的任意元素 都存在 形式的展开式:
我们首先定义系数 .
再令待证式 两边同时作用于基矢 , 左边为 .
右边为 , 于是左边 右边.
上述关系对所有基矢都成立, 即对全体矢量都成立, 故得证.

关于最后那一步再讲细一点儿罢:
前面就是证明了 作用在任何一个矢量上都与 作用在该矢量上的效果相同.
这是因为每一个矢量都可以被基矢线性展开, 而作用在每个基矢上的效果都是相同的,
最后考虑到 是一个线性的映射所以就可以说 与 作用在矢量上效果相同了.

4.2. 与 上不存在自然同构映射, 但 与 上却存在:

✦ 所谓自然同构就是一个与众不同的映射, 它是如此的出众, 以至于大家都会自然地选择它.

两个同维的线性空间, 肯定可以在二者之间建立一个线性双射, 即称之为同构映射.

前面我们通过条件 由一组 的基底生成了一组 的基底.
这个基底的对应关系就可以用来建立一个 间的同构映射,
比如说可以将 都同构映射到一个与之对应的 上.
你会发现这个同构映射的建立是依赖于 中的基底选取的, 这个选取是纯人为的.
假如我们一开始选择的是 中的另一组基底, 则 中生成的对偶基底也会随之而变.
此时同构映射也就变了, 但这两个同构映射显然是平权的, 故这里没有最自然的选择.
或者在同样一组基底与对偶基底下, 你也可以换一个对应方式, 比如 对应到 之类.
这样得到的 到 的同构映射也是个不同的映射.

一般来说一个同构映射并不只是一个双射, 通常还要要保这个保那个的,
比如说群同构或者代数同构都要保相应的「乘法」, 但线性空间实在是结构太简单了,
所以线性空间之间的同构映射就只是一个建立在二者基底之间的线性双射罢了.

但 与 上却存在这样一个最自然的同构映射.

显然 作为一个线性空间自然也有权产生一个对偶空间, 即 .
我们说的就是 与 之间存在一个最自然的同构映射.
由对偶空间的定义得 对 都有 ,
那完全可以定义映射 使得对 都有 .
显然其中 的作用对象 是 中的元素, 而 按定义来看则属于 .
这样, 如果我们将 与 对应起来, 这个映射就是自然的、独一无二的、可分辨的.

这就是为什么我们不会再研究 之类的空间了, 因为从 开始就没有研究的价值了.

由于自然同构映射的存在, 完全可以视为 本身, 更多 的那些空间自然更不用说了.

4.3. 选定了内积或度规后 与 上就已经存在一个同构映射了, 下面以内积为例:

内积本质是一个映射 , 选定后就对 都有 .

而这里说的已经存在的同构映射就是对 > 都可以通过内积唯一地同构映射到 > 其中的 指的是填了一个矢量的内积括号, 这样再填一个矢量就会给出一个数字,
所以这实际上是一个矢量空间到数域的线性映射, 既一个对偶矢量.

在这样一个确定的内积下, 我们还可以选一组特殊的基底, 即标准正交基[17].
标准正交基 会满足关系 .
显然我们已经找到了对偶空间的基矢 .
因为这样的 的基矢 会满足关系

所以实际上内积或度规的选取与 间的同构映射的选取以及 中的一组基矢选取是可以一一对应的. 这样看来前面我们说的不存在自然的同构映射在这里就表现为不存在自然的内积或自然的度规张量, 其实也可以反过来说内积与度规选择的任意性就源于此.

5.1. 张量是基于矢量与对偶矢量定义的概念, 对偶线性空间可由内积或度规确定:

✦ 定义一个数域 上的线性空间 , 然后可以诱导出一个对偶线性空间 .

想诱导出对偶线性空间只需找到一个 的映射或 的单射.

✦ 这个映射一般选择内积 或度规 , 下面以内积为例:

内积运算 的作用是对 有 .

显然我们可以用很自然地利用内积建立一个单射 , 具体如下所述:

定义符号 那么 满足什么性质呢?
我定义它满足对 有 , 即 .
说玄乎点 就是一个线性泛函, 意思是它作用到矢量上会给出一个数.
显然这样一来我们就构建了一个与 同构的对偶空间 .
即对 , 必 与之对应, 而 里的元素就是对偶矢量.

5.2. 张量的本质就是一台没有感情的多重线性映射机器:

✦ 张量是如此地冷酷, 你只要把足够矢量和对偶矢量投入这台机器, 它就会给出一个数.

✦ 其实张量有无数多种, 但可以按照出数所需投入的矢量与对偶矢量的数目进行分类.

比如说 (1,1) 型张量就是投入 个对偶矢量与 个矢量就得出一个数.

我们可以将 (1,1) 型张量记为 , 它对 有 .
用映射的语言来说, (1,1) 型张量就是双线性映射 .

比如说 (0,1) 型张量就是投入 个矢量就得出一个数.

我们可以将 (0,1) 型张量记为 , 它对 有 .
用映射的语言来说, (0,1) 型张量就是线性映射 .

比如说 (2,1) 型张量就是投入 个对偶矢量与 个矢量就得出一个数.

可以将 (2,1) 型张量记为 , 它对 有 .
用映射的语言来说, (2,1) 型张量就是三重线性映射 .
还需要注意的一点是 与 不一定相等.

✦ 关键点: 具有两类输入槽, 一个输矢量一个输对偶矢量, 每个槽都是线性的 [18], 输满就出一个数.

聪明的你, 一定不需要我再继续比如了吧, 比如说当然可以有 (114, 514) 型张量啊.

5.3. 常见的张量例子:

✦ 矢量和对偶矢量分别可以视作 (1,0) 型张量与 (0,1) 型张量 and vice versa.

对偶矢量 的定义不就是对 有 吗?
这显然就是 (0,1) 张量的定义嘛.

矢量 如何看作 (1,0) 型张量呢? 重点在于如何定义让它能作用到对偶矢量上.
其实很简单, 对 都定义 不就是了吗?

✦ 线性变换 是一个 (1,1) 型张量 and vice versa.

线性变换就是将一个矢量映射到另一个矢量对吧? (1,1) 型张量呢?
按定义来说 (1,1) 型张量的作用是将一个矢量和一个对偶矢量一起映射到一个数.
写出来就是 , 若我们就只输入一个矢量 呢?
那么对 来说是不是再来一个对偶矢量就得到一个数? 即 .
这就说明投入了一个矢量使 (1,1) 张量退化为 (1,0) 型张量了.
而 (1,0) 型张量不就是矢量吗? 所以我们是往 (1,1) 张量里投入矢量后得到了另一个矢量.
而从这个角度来看 (1,1) 型张量就是 这样的映射, 这不正是线性变换吗?

✦ 度规是一个 (0,2) 型张量: 度规的本质是一个线性映射 , 呃··· 证毕.

✦ 从这个角度来看, 矢量和对偶矢量就都是张量的特例. 它们虽然不处于同一个空间, 但它们所处的空间都是由同一个空间衍生出来的.

5.4. 张量的退化:

✦ 以 (2,3) 型张量 为例, 若输入两个矢量 则变成 .

即 变成了 .

这就是一个 (2,3) 型退化为 (2,1) 型的过程, 我想这个是很显然的事情就不赘述了.

5.5. 是不是太抽象力? 我可以举一个极其具体的例子, 让你直观感受一下:

✦ 全体维实列矩阵 [19]就构成线性空间, 让我们来研究一下.

✦ 线性空间 中的矢量是什么? 是 维实列矩阵.

这是显然的, 矢量就是线性空间中的元素嘛.

✦ 线性空间 上的对偶矢量是什么? 是 维实行矩阵.

对偶矢量是对偶线性空间 中的矢量, 本质是 的线性映射.
而行矩阵通过矩阵乘法可以将任意列矩阵唯一线性地映射到一个数.
前面我们提到的对偶映射 在这里就是转置运算.
能如此顺利是因为实列矩阵空间中对 天然地就定义了内积 .

✦ 线性空间 上的线性变换或者说 (1,1) 型张量是什么? 是 实方矩阵.

从定义出发, (1,1) 型张量就是双线性映射 .
前面我们证明了它同时也可以看作线性变换 .

上述两个映射映射观点的等价性在这个例子下也很直观:
方阵结合矩阵乘法可以通过右乘一个列矢量来得到一个列矢量, 此即 .
方阵左乘一个行矢量右乘一个列矢量可以得到一个数, 此即 .