物理学中的群论 · 入门篇 第一章：有限群

既然一个有限群所有的性质都包含在群乘法表中，我们首先考察群乘法表本身有何性质，在此基础上可以更方便地构造出一个群的乘法表.

• 观察上述 个群乘法表，我们可以发现乘法表的每一行、每一列均不包含重复元素，就像是将所有的群元做了一个重新排列填入乘法表中. 这实际上是一个普遍性质，证明如下：考察群元 对应的行，行中所有的元素可以表示为集合 ，而任意一个群元 都可以表示为 ，并且由群的封闭性 ，所以 ，也就是说这一行包含了所有 个群元，也就不会有重复，性质得证. 这条性质被称为 重排引理 ，是一个简单而重要9的性质. 这个引理说明，构造群的乘法表就像填数独，要把 个群元填入 格子中，同时保证每一行、每一列都没有重复.
• 如果一个群是阿贝尔群，那么任意两个群元的乘积满足交换律. 表现在群乘法表上的特征为：乘法表主对角线均为单位元；乘法表关于主对角线对称. 因此只要判断出一个群是阿贝尔群，构造乘法表的工作量直接减半.
  • 例：可以观察上述二三四阶群（均为阿贝尔群）的乘法表，显然关于对角线对称.

如果一个群太复杂，不便于直接看出其性质，我们不妨转而研究它的子集，进而得到群的部分性质. 这一部分将介绍有限群的几种重要子集以及由此导出的性质. 而对于群来说，一种重要的子集就是子群（定义见上一章），我们首先看看子群有没有什么性质. 为此，我们引入一个新概念：

• 陪集 ：设待研究的群为 阶群 ，其有一个 阶子群 ，给定群元 ，定义两个集合： ，分别称为子群 的一个 左陪集 与 右陪集 ，统称 陪集. 这玩意有啥用？别急，一会儿就知道了.
  • 例：以 群为例，选取子群 . 则其对应于群元 的左陪集为 ，右陪集为 . （利用群乘法表可以快速看出子群的陪集）

陪集有几个重要性质10：陪集必不是子群；陪集与对应的子群没有公共元素；陪集中没有重复元素；不同的陪集没有公共元素. 也就是说，利用陪集可以由子群生成一个新的子集，并且选取不同的群元 可以得到不同的陪集. 我们考察下述的过程（这里以左陪集为例，对于右陪集也有类似结论，不做赘述）：

1. 给定一个子群 ；
2. 任选一个群元 ，求出它的左陪集 ；
3. 将子群与上述左陪集合并，得到新的集合 ；
4. 再选取另一个不属于 的群元 ，求出左陪集 ，添加到集合 中，删去重复元素；
5. 重复步骤4，直到集合 中包含 中所有群元，此时集合 就变成群 本身.

由于不同的陪集没有公共元素，上述过程的存在说明我们可以将任意一个有限群 分解为一个子群 及其若干个陪集的并集，即 ，这就实现了对一个群的分割. 这 个集合互不重复，每个子集或陪集都包含 个元素，所以 ，也就是说 子群的阶必定是群阶的因数！ 我第一次见到这个结论的时候是非常震惊的，因为群和子群看似平平无奇的定义背后，居然蕴含着整除的关系！不知道你能否感受到这种震惊. 这里引用A. Zee老师的一句话："Starting from a few innocuous sounding axioms defining what a group is, an elegant mathematical structure emerges, with many unexpected theorems. " d'Alembert也有一句名言："Algebra is generous; she often gives more than is asked of her."11

由这个性质还能得到另一个结论：如果群的阶为质数，那么它就不包含任何非平庸子群12，也就不能拥有任何子结构， 只能是最简单的循环群 ！例如 都是质数，所以上述二、三阶群都只有循环群这一种结构；这也说明不是阶数越高群就越复杂，某种程度上说 阶群的结构还不如 阶群复杂.

既然陪集分为左陪集与右陪集，那么存在两种情况：左陪集与右陪集不相同； 左陪集与右陪集相同. 后者看起来比较特殊，值得研究一波. 于是引出下面的定义：

• 不变子群 ：如果一个子群所有的左陪集与对应右陪集都相同，我们称这种子群为 不变子群 ，有的教材也称之为正规子群.
  • 例： 以 群为例，选取子群 . 则其对应于群元 的左陪集为 ，右陪集为 ，二者完全相同. 对应于群元 以及 的左右陪集均为 ，所以 是一个不变子群.

这种特殊的子群在有限群结构的分析中有着至关重要的地位，下一部分会给出相关的性质. 这里首先讨论 如何找到一个不变子群. 不变子群的定义可以表述为：对于任意 ， . 也就是说存在 ，使得 ，即 . 那么判断不变子群的重点就是要找到上述这种关系，于是自然地引入下面的定义：

• 共轭与共轭类 ：对于两个群元 ，若存在（注意不是“对于任意”）群元 满足 ，则称 共轭，记作 . 共轭是一种等价关系. 与 共轭的所有元素 称为一个 共轭类.13 为了找出一个群所有的共轭类，只需任选一个群元，找到与其共轭的所有元素，得到第一个共轭类；再任取其余的元素，重复以上步骤，直至所有元素都归于某个共轭类，即可得到所有的共轭类.
  • 例：仍以 群为例，由 ，可得 ，最终可得到 群的三个共轭类： ，感兴趣的可以自行验证其满足定义.
  • 共轭类的性质：与子群类似，任何一个共轭类中元素的个数都是群阶数的因数.14 这也是一个惊人而美妙的结论.
  • 阿贝尔群的共轭类：在阿贝尔群中， ，所以每个元素都自成一个共轭类.

不变子群和共轭类具体有何关系？由不变子群的定义可以看出，如果某不变子群 中包含某共轭类（记作类 ）中的某个群元，那么 中必然包含类 中的其它群元；也就是说，一个不变子群必定由几个 完整的共轭类 组成. 其逆命题仍然成立：如果若干共轭类并在一起构成一个子群，那么这个子群就是不变子群. 这一性质对于寻找群的不变子群非常有效. 这里给出一个 原则上 能找到所有不变子群的方法：首先按上述找共轭类的方法找出所有的共轭类；利用排列组合，以不同的方式将几个共轭类并在一起（注意要包含单位元），如果几个共轭类的并构成一个子群，那么就找到了一个不变子群.

对于一个有复杂结构的群（例如 群），我们希望能够通过“拆解”它的结构来更好地理解它的性质. 这是一种类似还原论的思想，如同理解物质需要研究基本粒子，理解整数的性质需要研究质数一样. 高能物理（粒子物理）研究的是基本粒子及其相互作用，而作为类比，有限群理论研究的是有哪些最“基本”的群以及如何由这些群构造出所有的群.15 这一部分首先讨论如何将复杂的群分解为更基本的群，再简单介绍有限群的“基本粒子”.

• 寻找同态—— 商群. 设群 有一个不变子群 ，由于任何子群都可以给出群的一种分割，不变子群也不例外，将分割记作 ，现在我们想知道的是这种分割有没有什么性质？事实上，如果将每一个 视为一个元素，定义乘法运算 ，可以证明16集合 也是一个群！注意这个群的群元都是个集合. 我们把这个群称为 商群 ，记作 . 并且满足： 与 同态. 也就是说， 只要找到一个不变子群 ，就能由其商群 确定一种同态关系. 所有的商群可以给出所有的同态关系.
  • 例： 是 群的不变子群，则其分割可以记作 ，则商群为 ，是一个二阶循环群 . 所以 群同态于 群（这是显然的）.

如同常规物质由分子组成，分子有原子组成，原子由核子、电子组成，核子由夸克组成一样，有限群也可以逐级分解，比如上述例子中将 群“分解“成 与 群. 那么这样的分解有没有尽头呢？有限群的“基本粒子”是什么？（粒子物理中我们也喜欢问这样的问题）但是有限群中这个问题的答案比粒子物理简单得多，到现在已经能给出肯定的回答：

• 有限群的“基本粒子”—— 单群. 直观上来讲，单群作为有限群的“基本粒子”，就是指不能进一步分解的群. 严格来说，如果一个群除了本身和一阶群以外没有其他“非平庸”的不变子群，那么就把这个群称为 单群.
  • 例：质数阶循环群 都是单群，不能包含非平庸不变子群；而 群拥有一个非平庸不变子群 ，所以它不是单群.

有了单群的定义后，我们自然地就会想知道，一共有哪些有限单群？这就像粒子物理中的标准模型、化学中的元素周期表一样，有着十分重要的地位. 而且这个看似简单的问题有着复杂到惊人的结论，花费了数学家们几十年的时间，使用了计算机辅助的机器证明，直到2008年才彻底解决. [17] 这个问题的答案被描述为下述定理：

• 有限单群分类定理.[18] 所有有限单群均属于下列四大类中的某一小类：1. 质数阶循环群 ；2. 的交换群 [19]；3. 16种 型单群（注意不是 群）；4. 26种散在单群，也就是不便归类为前三种
• 的群. 分类的具体内容详见： 有限单群列表

值得注意的是，在26个散在单群中，有一个群格外显眼，它有808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000阶，也就是大约 阶，数学家把它叫做 魔群 (Monster group). 本章题图就是这个数及其质因数分解. 无论是庞大的分类定理，还是魔群的存在，不得不说是一个令人惊叹的结果. 我们所做的仅仅是给出了群定义里的四条公理，而经过一番逻辑推导后就得到了这样令人震惊的结果. 我想再次引用d'Alembert的名言："Algebra is generous; she often gives more than is asked of her."

找到所有的“基本粒子”之后，接下来自然的问题就是非单群是如何分解成单群的. 这就像是研究非基本粒子是如何由基本粒子组成的. 首先引入记号： 是 的不变子群记作 . 如果群非常复杂，那么它可以按照不变子群的方式被层层分解，可以记作 . 进一步地，我们有如下定理：

• Jordan–Hölder定理 ：如果上述分解中商群 与各个 都是单群，那么这种分解方式唯一.[20] 这样的一种分解称为一个 合成列.
  • 例：对于 群，其唯一的合成列为 .

至此我们就从原则上给出了所有的“基本粒子”——单群以及将任意有限群分解为单群的方式，有限群理论的框架已经基本完备.[21]

上一章 ：第〇章

[17]: 参考文献：维基百科
[18]: 这一部分属于科普介绍性质，因为这玩意相关的文献加起来有上万页
[19]: 本系列第三章会介绍什么是交换群
[20]: 严格来说不唯一，但是各种分解方式是等价的
[21]: 其实还有很多丰富的内容，但对于物理系学生，尤其是初学者来说，本章内容已经过于充实