请问如何学好现代数学，如拓扑、李代数、群论、张量分析之类。感觉现代数学威力强大，但是好难理解？ - 乞邪 的回答

还有如何把具体的实际问题应用到现代数学分析框架之中。

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你要是学过高等数学应该会知道，大学以上数学的两大基础是分析和代数。后续的数学方向可以看做是这两个在不同方面的拓展和应用。所以数学系研究生考试都是考这两门基础课。

代数一般叫线性代数，研究的背景是线性方程组。由此抽象出了线性空间和线形变换（也就是矩阵）的概念。其中矩阵就是后面群论的基础。

分析研究的对象是函数。研究的工具主要是导数，和它的逆运算，积分。如果你知道 Taylor 级数，就可以理解函数能看作是无限维的向量。导数的核心作用是对非线性的对象的线性化。

所以，分析和代数一起，交相辉映，二生三，三生万物，构建起了现代数学的地基。核心思想就是，把非线性的东西通过导数进行线性化之后，再用线性代数的相关知识进行研究。

这之后，分析的课程一般会朝着无限维线性代数这个方向进行。实变函数，泛函分析，算子代数等。代数的方向则走向了另一条抽象之路。在矩阵的基础上，提取它的一般运算性质，简化以后得到了，群，环，域，模，代数等概念。张量这个概念是类似于两条直线生成一个平面这种操作，对两个向量做张量积可以得到一个“二维向量”，本质上就是矩阵。问题里面说的，张量分析就是一般的向量分析变成张量的分析。不过有一点还是没变，就是代数的研究对象都是线性的。代数在做的都是对最初等的加减乘除运算的抽象和推广。目前来看，范畴论这个概念是这个方向的最高点。

题中所说的李代数，也是代数和分析的结合。首先李群是一个连续的群，比如球面这种，或者大多数的矩阵。李代数就是对这个连续群求导数后得到的线性化对象。

回到现代数学怎么应用的问题，基本上可以从微分几何和李群李代数的例子看出来。首先就是把一个现实的东西数学化，比如拓扑的研究过程。然后看数学化之后的对象是不是线性的，如果不是，就用分析的工具线性化之后再用代数工具进行分析研究。

J00KE: 开头三段就令我对现代数学建立起了一个框架，作者一定是数学领域里深耕多年才有能有这样精炼概括的能力，感谢！！！ (26 🤍)

乞邪: 谬赞了，感谢您不吝赞美之词的评论🧡 (3 🤍)

ChenmoWang -> 乞邪: 最近准备学习 AI，在学基础课程线性代数，感觉好像很简单，都是高中，大一学的知识。就觉得很简单，但是这么简单的东西怎么能去完成那么复杂的 AI 工作呢？看到答主的回答才明白。感谢，学习了👍 (1 🤍)

乞邪 -> ChenmoWang: 你是有天赋的👍 (1 🤍)

ChenmoWang -> 乞邪: 哦，您谬赞了。我是刚学到矩阵乘以向量，看起来真的简单。后面深奥点的课还没到吧。🧡 (1 🤍)

Philae: 确实高，第一段我此前只看到丘成桐说过。 (2 🤍)

明月清风: 楼主你好，看了你的回答，我觉得我很荣幸能看到这种建立框架式的回复，也让我对自己以后得学习路线有了一个比较清楚的认识。我很喜欢数学，特别是学到高代和数分里面的内容感觉大开眼界（本人非数学专业），我想请教一下楼主，我很喜欢代数和几何这方面的内容，楼主可以以数学专业的要求，给出一条学习路线吗，从本科到前沿，想先了解一下这个方向是什么样的，对以后从事人工智能的发展有没有帮助什么的，谢谢您了。😊😊 (4 🤍)

乞邪:

代数和几何还是很广的范围，涉及到非常多的课程和内容。如果你要排除分析方向的内容的话，数学中专门有个方向叫做代数几何。你可以简单理解为高中学习到的解析几何，就是椭圆曲线这种内容在非常抽象和广义的空间上的研究。要沿着这条路前进的话可以学习，高等代数，解析几何，抽象代数，同调代数，交换代数，代数几何等等的内容，这在知乎上应该有很多推荐。另外据我所知，当前人工智能主要的研究模式还是对于数据集中固定模式和信息的提取。至于这与前沿的代数与几何的内容有何联系我不太了解。我认为是可以通过代数和几何的手段从抽象数据集中提取有效信息的。不过目前用前沿数学工具来研究人工智能应该并不是主流。
代数和几何在数学中主要做的还是对于不同代数结构，不同空间的分类工作。所以它们要能够起作用，需要经过一步对于现实中问题的转化过程，俗称数学建模。需要比较抽象和深度的建模才能用前沿的数学理论去处理。现实中的问题往往与概率论以及方程关系更大一些。 (2 🤍)

明月清风 -> 乞邪: 好的，非常感谢作者回复，其实也不是排除分析，只是在接触到了高等代数这些课程后，感觉里面的很多知识远不只是课堂上讲的那么单一，比课堂上有趣的多，因为不是数学专业，但又很喜欢数学，当时想后面有时间着把本科数学系的，像数分，高代，实变函数，复变函数，泛函分析，以及微分方程等等一些课程都学一些（目前只是学完了数分和高代一部分，其他课程多多少少有一点了解），学的目的一是因为很多算法书上会涉及到很多没学过的数学知识，比如随机过程，泛函分析，微分几何之类的（我比较喜欢算法类和数学），或者是学过，但是老师只是讲过其中的数学公式用法，没有从原理上去推导或者证明它的由来或者定义的合理性之类的，用起来心里有点飘忽不定的感觉，二是满足自己对数学的喜欢和热爱，搞明白这些数学知识的底层思想，用自己喜欢的数学去思考那些算法的底层原理，然后重新试着自己去从这个角度或者另外一个角度思考它，以及验证它的合理性，如何去优化等，这是我学习的目的，但也意味着有很长一段路要走，其中最迷茫的一点就是不知道要怎么去系统学习这些数学知识，看了很多回答，只是知道自己暂时要学的包括数分，高代，实变，复产，泛函，抽代，概率论，抽代，优化等，后面应该是一些和代数相关的。之所以说不知道该怎么去学，是因为想要一个框架式整体的学习，从框架的建立到在这个框架上去分析具体问题，看了很多回答，任然不知道该怎么学，但是直到很荣幸看到了您的回答，我觉得你是真正学到了，站在一个很高的角度去看待这些问题。我所缺少的，就是一个整体框架式的学习路线，老师，谢谢您的回复，如果你觉得我的学习路线有些不对，希望您能帮我纠正，给出一些建议，谢谢您 😊😊

乞邪 -> 明月清风:

你这样学应该就是真正搞算法和计算机理论应该有的打开方式。或许你可以去了解清华的姚班的课程设置和内容。听你的叙述，我觉得或许你需要的是在合适的阶段，学习到相关知识的时候，有个人能够在理论上对你疑惑的东西在更高地观点进行梳理和指引，这样是效率最高的。自己一个人去坑书本很容易迷失，容易失去兴趣的。
其实以我的经验，你不用拘泥于具体学习哪些课程和知识。你或许更需要找到前沿的感兴趣的方向。然后直接开始研究，从中碰到的问题和想法再找人交流。这样你就会知道这些知识有什么作用，为什么要用这些知识。这对你学具体的知识的话也是有帮助的。
有需要你也可以找我随时交流你遇到的数学方面问题。我应该可以从数学的角度解释一下一些数学概念和想法，以及跟你之前学的一些知识的具体的关系，泛泛地谈效果一般的。 (5 🤍)

明月清风 -> 乞邪: 感谢老师的指引，我试着去按照您所说的路线学习

乞邪 -> 明月清风: 嗯，每个人都有适合自身的学习方法和路线，可以多尝试尝试寻找最适合自己的 (2 🤍)

明月清风 -> 乞邪: 嗯嗯 😊

the virus -> 乞邪: 这几句话我保存了，i你老哥

乞邪 -> the virus: 好的老弟🧡

saber: 概率还是有足够独立性，可以与分析和代数并列。 (3 🤍)

乞邪: 概率的理论建立在测度论的基础上。但是主要是处理理想模型和现实问题之间的差距，思维模式不同，算是应用的范畴。 (2 🤍)

saber -> 乞邪: 从测度出发可以独立推出代数和分析一整套工具，概率的独立性主要是考虑到近年来ai的发展，由ai的近期发展看来可能概率论是更符合机器自然逻辑的数学理论，而代数和分析符合人类大脑的发现和创新，概率论有我们人类没有意识到的更符合本质的理论价值。

乞邪 -> saber:

概率论可以更好地反映许多现实模型，这点毋庸置疑。但即便概率的思维模式被证明越来越重要，甚至可以用来解释人脑的认知机能，我也不认为在数学本身的逻辑框架内，它有着和分析代数同等的地位。
当然概率论的现实意义会越来越强，这本身就是概率论创立的初衷。 (6 🤍)

saber -> 乞邪: 如果说是更好反映现实模型那确实就是在原来框架里面的应用，现在的发展呈现出一种可能性就是它的框架可以成为现实本身，这和人类因为算力不足而发展出来的数学框架就有本质的不同了。如果由概率导出了ai的跨越式发展，ai本身可能会发展出适合机器的一整套数学，在这里面概率反而是更为基本的理论。

乞邪 -> saber: 这个是出于哲学范畴的考虑了。数学框架内部看不到这种趋势和联系。

saber -> 乞邪: 康托尔连续统就进入哲学思考范畴了。

曹操: 回答的真好，功力深厚👍👍👍 (5 🤍)

Peter: 脉络很清晰。 (3 🤍)

没心没肺沈某人: 高代可能还会考一点一元多项式环和内积空间这种的🤔泛函说实话真的就是个无穷维线性代数虽然后面求特征值给他换了个名字叫谱分解🤔 (1 🤍)

乞邪: 是的是的🧡

沃尔玛购物袋: 非常好的文章，使我的大脑旋转🧡🧡 (1 🤍)

舒畅: 总结非常好，高屋建瓴，但现代数学是一座热带雨林，几乎看不清全貌。有几点供探讨：1，分析和代数是现代数学的两大门类（个人意见加上几何拓扑），但数学基础不是这些。数学基础是 20 世纪初希尔伯特等数学家为建立现代数学的完整严格基础做的努力，比如几何基础与公理化，实数理论，集合论和数理逻辑，数学基础和分析代数几何拓扑这些不是并列的关系，是元数学，并引导了 20 世纪的主流结构数学。2，几何拓扑的地位起码与分析和代数等同，19 世纪的几何就异常丰富，射影几何，非欧几何，微分几何和代数几何等到克莱因埃尔兰根纲领把几何和群论联系起来，庞加莱开辟了20 世纪现代数学的拓扑，内容发展丰富，同泛函分析、抽象代数构成数学三大支柱。菲尔兹奖的获得者就有大拓扑学家。 (1 🤍)

JING: 老师您讲得太好了，提纲挈领，举重若轻！令我这样一个数学渣也觉得对数学的兴趣更多几分了。谢谢您！🧡

乞邪: 🧡🧡，你的回复对我也是一种鼓励。希望你能够越学越好～

自分: 我们学统计的怎么你了

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