什么是「哈密顿力学」？ - 持续低熵 的回答

本问题被收录至活动 「十万个是什么」 中。

活动时间：11/29 - 12/14

活动规则：大于 200 字的客观事实定义，且注明可信来源，创作时间在前的优先采纳。

活动内容：欢迎参与活动分享你的知识、经验和见解，优质内容将有机会被收录在《十万个是什么》电子书中，同时还有机会获得一份精美的知乎周边礼物。更多相关问题请进入活动页面了解。

这是一本留给未来的百科全书，我们邀你一起合著。期待你的分享～

自然科学, 物理学, 十万个是什么

哈密顿力学的想法非常直接，就是物理学应该描述一个物理系统的状态如何随着时间演化。

既然要描述系统状态的演化，就需要有一个包含所有可能状态的空间，每个时刻的状态对应空间中一点。 粒子的“运动”被理解为状态在状态空间中变化，而不是位置在物理空间中变化。 我们现在号称是进入了信息时代。既然进入信息时代就要从信息的角度来考虑问题。 一个系统的状态就是我们对这个系统本身在某一个时刻原则上可以了解到的（可随时间变化的）信息。因此系统的“运动”就是其信息（状态）的变化。 这应该是非常自然的想法。

经典力学中，一个粒子的状态是某个时刻的位置和动量，状态空间叫相空间。在量子力学中，一个粒子的状态是波函数，状态空间叫做（波函数所属的）希尔伯特空间。

既然物理规律要解释状态的变化（在状态空间中的运动），所以不管是经典还是量子力学，基本的物理方程都是状态演化方程，形式都是：

“状态对时间的变化率”=“描述外界对系统影响的一个数学表达式”

在经典物理中，这是哈密顿方程。在量子力学中，这是薛定谔方程。这些都是对时间导数而言的一阶微分方程。

不管是经典物理还是量子物理，“外界的影响”都用一个数学量来描述（给它起名叫“哈密顿量”），这就是哈密顿量的本质。当然了，即使没有外界影响我们也将其解释为一种特殊的外界影响（外界影响为零嘛）。 所以哈密顿量里面总包含一个没有外界影响下推动状态自顾自地变化的部分：自由哈密顿量。在经典力学中，哈密顿量本身是状态的函数。而在量子力学中，哈密顿量是一个可以作用在状态上的线性操作。

很多人熟悉的经典力学的表述方式是使用牛顿第二定律 ，那是一个二阶微分方程。牛顿定律表述和哈密顿表述有什么关系呢？在经典力学中，二者是可以互相推出的。 但从分析系统信息的角度看，哈密顿力学的表述方式比牛顿定律的表述方式要直接得多。 牛顿定律描述的是粒子位置的变化，然后从位置的变化导出动量从而间接描述状态（及其变化）。

牛顿定律的表述唯一的优点是入门难度略低一些 ，毕竟位置的变化感觉最直观。

由于牛顿定律表述和哈密顿表述的方式不同，二者对于外界影响的表述也不同。前者使用“力”来描述外界对粒子影响，后者使用“哈密顿量”。这说明了一个让很多初学者难以接受的显然事实： “力”不是一个必须的物理概念。哈密顿表述里没有“力”。

哈密顿力学表述相对于牛顿定律表述的优越性是极其巨大的。 最重要的原因是下面两个。

1 统计力学本质上就是用信息论和概率论的方式来研究物理，自然和直接描述系统信息（状态）的哈密顿力学表述配合比较好。 这也是为什么经典统计力学中大家见到的很多重要东西都是用哈密顿量表示出来的而不是用力表示出来。

2 到了量子力学时代，牛顿定律的表述就无效了。 粒子没有了轨迹，所以不能谈论粒子的位置随时间变化的函数及其导数。 同时“力”这个概念也完全失效了。 但是哈密顿力学表述却依然适用，因为它是基于信息（状态）的表述。 这就是为什么量子力学里通常使用哈密顿力学的表述方式（当然有时候也使用拉格朗日力学的表述方式）。

量子力学的情况说明了， 从物理学体系全局看，哈密顿力学表述是比牛顿定律表述更为基本的 。因此大家学物理的时候从所谓牛顿第二定律导出哈密顿方程实属本末倒置。这是我们为先学习牛顿定律而非哈密顿表述而付出的走弯路之代价。

失约: 滴！持续低熵的键政皮肤体验卡已到期 (40 赞)

森林: 结合寿公昨天的文章，我现在的想法是：最高议会确实觉得这是更有效措施，但个人而言很怀疑它是否有效，觉得步子迈得过大了，担心迈不回来 (13 赞)

某人的堕落粉 -> 森林:

你劝孩子好好读书，孩子不信，说隔壁打工比读书钱多，不让去工地搬几天砖怎么知道。
以后无视小作文就行。 (35 赞)

LiSSE -> 森林: 个体的信息量太小，误判概率很大。[机智] (4 赞)

大明级休勃立安号 -> 森林: 不能死保根据地，有的时候只能转进 (1 赞)

知乎用户 -> 森林: 掌握的信息量差太多 看到的和我们不一样 (15 赞)

玄色 -> 森林: 虽然不是今天的主题，但还是要说，其实是必须要迈出的步骤，早晚要迈 (3 赞)

杨柳 -> 森林: 参考抗日战争里面的百团大战 (1 赞)

郑勃克立于乎 -> 森林: 其实14+7也好，5+3也好，你要硬是想逃都是逃得掉的。所以关键看执行。如果这下能整治一下西北和东南不配合防疫的人，说不定效果还不错。 (1 赞)

农夫山泉有点咸:

从哈密顿量入手（而非理论力学教材常见的从拉格朗日量入手）建立经典力学，可以见@陈童
的《经典力学讲义》 (14 赞)

约翰霍普金斯附小: 寿公这个样子，让人心痛 (10 赞)

晓风残月 -> 约翰霍普金斯附小: 不错啦，隔壁的评论区已经是一百条只显示四条了 (5 赞)

知乎用户:

寿公讲讲博弈论吧，比如说子博弈精炼纳什均衡、完全信息、完美信息之类的基础概念😲
或者贝叶斯推断也不错 (8 赞)

不喝酸奶不舔盖: 看了寿公昨天的文章，结合当下的情况看，二十条其实可以操作的很灵活各地政府可以根据自己的情况选择管控程度，重庆现在就是这个样子，没有放松的意思😱感觉就是更精细化了，所以说要放开还是需要很长一段时间的 (7 赞)

美短猫:

牛爵爷：我能测量加速度
哈密顿：这是时间导数的一阶微分方程
牛爵爷：我能计算运动轨迹！
哈密顿：这跟运动轨迹无关！
牛爵爷：力是存在的！没他描述不了
哈密顿：我用不着。
牛爵爷：时空因为运动相关
哈密顿：“状态对时间的变化率”=“描述外界对系统影响的一个数学表达式”请记住！
牛爵爷：统计力学就是计算量大！
哈密顿：有了信息论和概率论。这就是无稽之谈
牛爵爷：😠
哈密顿：😂
量子力学：😳 (5 赞)

知乎用户: 专业！这就叫专业！谁来上个图 （廖凡的）😝 (2 赞)

知乎用户 -> 知乎用户: 查看动图 (1 赞)

韦提希 -> 知乎用户: 这是李小龙

知乎用户: 很惭愧，我理论力学学完了，最后留在脑子里的也就是拉格朗日方程和变分法。哈密顿方程理论性就更强一些，量子力学里面用得不少。我记得推导是用勒让德变换来着。ps从数学上看勒让德变换的条件挺苛刻的，但是物理总是性质良好，想怎么用就怎么用🐕 (1 赞)

玄色 -> 知乎用户: 感觉物理还是理想化了很多，信息里面很多条件很苛刻，跟实际状况也不符

知乎用户 -> 玄色: 物理负责解决理想的部分，不够理想的部分最后都变成了各种系数😂

大熊要过河: 寿公可能要避避风头，但我们等得好煎熬[大哭] (2 赞)

from: https://api.zhihu.com/appview/api/v4/answers/2756178701