如何解释洛必达法则？ - 马同学的回答

title: 如何解释洛必达法则？ - 马同学的回答
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author: 马同学 (matongxue)
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create_date: 2016-09-21 17:23:23
edit_date: 2016-09-21 17:23:23
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话题:

数学, 高等数学

问题描述:

(无)

回答:

17世纪的贵族子弟洛必达曾经说过：人这辈子一共会死三次。

第一次是你的心脏停止跳动：那么从生物的角度来说，你死了。
第二次是在葬礼上：认识你的人都来祭奠，那么你在社会上的地位就死了。
第三次是在最后一个记得你的人死后：那你就真的死了。

为了知行合一，洛必达从数学家伯努利手中重金买下了一个知识产权，伯努利收获了金钱，也付出了后悔。

这次交易的内容就是我们今天要讲的，以洛必达的名字命名的 洛必达法则 。

1 洛必达法则

洛必达法则（l 'Hôpital's rule）是利用导数来计算具有不定型的极限的方法。这法则是由瑞士数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）所发现的，因此也被叫作伯努利法则（Bernoulli's rule）。

维基百科

不严格的说，洛必达法则就是在 $0/0$ 型和 $\infty /\infty$ 型时，有 $\lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$ 。

可见，洛必达法则最犀利的是大大简化了极限运算。这种化繁为简的技术手段从来都是深受喜爱的。

这篇文章我们主要回答一下两个问题：

为什么洛必达法则对于 $0/0$ 型和 $\infty /\infty$ 型生效？
洛必达法则对于别的类型是否生效？

1.1 构造关键函数

我们令 $u(x)=(g(x),f(x))$ ，为了阅读顺畅，这个函数我要多解释下。

对于一般我们接触的函数，比如 $f(x)=2x, x\in R$ ，根据函数定义，这是一个 $R\to R$ 的映射：

而 $u(x)=(g(x),f(x))$ 是一个 $R\to R^2$ 的映射：

$u(x)=(g(x),f(x))$ 可以如下表示：

做出 $A$ 点的割线：

割线的极限即是切线，大家可以感受一下：

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点击此处前往操作。

所以可以得出切线的斜率即导数为：

通过坐标轴的原点 $O(0,0)$ 连接 $B$ 点，马同学把这个连线称为原点线：

通过构造关键函数 $u(x)$ 我们得到两个的结论：

$u'(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)}$

原点线斜率为 $\frac{f(x)}{g(x)}$

根据洛必达法则： $\lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$ 。可见，构造关键函数之后，我们已经有了 $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 和 $\frac{f(x)}{g(x)}$ ，剩下的就是看这两者什么时候极限相等了？

1.2 $0/0$ 型

我们让 $u(x)$ 曲线可以经过 $O(0,0)$ 点：

分别做出割线和原点线：

容易观察到， $A$ 点越靠近原点，割线和原点线越接近：

可以动手试试：

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$A$ 点和 $O$ 点重合时，割线就是原点线：

$A$ 点和 $O$ 点重合时，割线斜率就是原点线斜率，即 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 。根据割线的极限即切线，有 $\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=u'(a)$ ，根据之前的结论有 $u'(x)=\frac{f'(x)}{g'(x)}$ ，所以 $\displaystyle u'(a)=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$ ，所以有 $\lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$ ，即洛必达法则。

需要说明一点：

可见，洛必达法则对 $0/0$ 型可以生效。

1.3 $\infty /\infty$ 型

在欧式几何中，两条线的斜率要相等，只有两种情况，重合或者平行。

这就是 $\infty /\infty$ 型为什么适用于洛必达法则的原因，我们来一起推导一下。

首先 $u(x)$ 要换一下，必须得有 $(\infty ,\infty )$ 点：

画出割线和原点线:

当 $A \to \infty$ 时，割线和原点线趋向于平行：

顺便说一下，这里比较诡异的地方是，割线和原点线一直交于 $A$ 点，但是当 $A \to \infty$ 时居然两者可以平行。其实我们可以说两条平行线交于无穷远点，至于无穷远点能否到达又是另外的问题了。

你也可以动手试试

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同样说明一下， $A \to \infty$ 意味着是 $\infty /\infty$ 型。

根据 $0/0$ 型的推论的思路，洛必达法则对于 $\infty /\infty$ 型也生效。

1.4 结论

所以洛必达法则生效的原因是：

$0/0$ 型：割线和原点线重合
$\infty /\infty$ 型：割线和原点线平行

2 扩展洛必达法则

这里就是要回答洛必达法则对于别的类型是否生效的问题。

2.1 洛必达法则总是有效的函数

令 $g(x)=2x$ ， $f(x)=4x$ ，可以用两种办法求极限：

约分： $\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{4x}{2x}}=2$
洛必达法则： $\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac{4}{2}=2}$

根据第二种解法，意味着这两个函数总是适用洛必达法则。

我们构造 $u(x)=(g(x),f(x))=(2x,4x)$ ，画出图像：

2.2 洛必达法则的扩展

所以，只要原点线和割线斜率相等，就可以运用洛必达法则，对洛必达法则的扩展让我们把它称为马同学法则吧：）

不过就实际应用来说，还是 $0/0$ 型和 $\infty /\infty$ 型最实用，但是好歹让马同学发明了一个马同学法则，希望可以像洛必达法则一样名垂千古。

3 最后

我想，洛必达先生真的是因为这场交易不朽了。

　　
一身缺点回复被盗无解绑请拉黑:
不是同一个伯努利吧……
如果您说的是流体力学里的“伯努利方程”的话，那个是丹尼尔·伯努利，我印象里是18世纪初才出生的人；
而“洛必达法则”的那个伯努利，好像是约翰·伯努利；
他们俩是一个家族的人，具体关系我不记得了。 (1 赞)

　　
马同学回复一身缺点:
祖传老中医

　　
独上寒江回复一身缺点:
我记得是个大家族，去维基看了一下：
雅各布·伯努利（也做詹姆斯或雅各，1654–1705），在概率方面的贡献突出，以伯努利分布而闻名。
约翰·伯努利（1667–1748），雅各布的弟弟，以最速降线而闻名，教授过欧拉。
小尼古拉·伯努利（1695–1726），约翰的大儿子
丹尼尔·伯努利（1700–1782），约翰的小儿子，在流体力学方面贡献突出，以伯努利定律而闻名。
大尼古拉·伯努利（1687–1759），雅各布和约翰的侄子。 (8 赞)

　　
爱吃猫的鱼丶回复被盗无解绑请拉黑:
流体力学是他的儿子小伯努利搞出来的 (1 赞)

　　
接受采访回复被盗无解绑请拉黑:
不是一人

乌尔比诺:
该评论已删除 (21 赞)

　　
amec 回复乌尔比诺:
利 (5 赞)

　　
李翔宇回复 amec:
国 (5 赞)

　　
zhuqizhen 回复李翔宇:
家 (3 赞)

　　
梁Chuck 回复 zhuqizhen:
生 (3 赞)

　　
周涛回复 amec:
国

　　
阿攘回复梁Chuck:
死

王赟 Maigo:
无穷比无穷型解释得好像有问题……最后应该是A点趋于无穷的时候，切线和原点线斜率趋于相等吧。而且u曲线不必通过原点。 (6 赞)

　　
马同学回复王赟 Maigo:
你好。这个问题我考虑过，切线、割线、原点线都会在无穷远点平行，但这么处理一方面是统一模型，一方面是切线在图上画不出来，因为它的x坐标也是无穷远。u曲线确实没有必要过原点，只需要有无穷点就可以了。

　　
王赟 Maigo 回复马同学:
是怎么统一的呢？洛必达法则的一边是f'(x) / g'(x)，这就是切线的斜率，你怎么就把切线给绕过去了呢？

　　
马同学回复王赟 Maigo:
该评论已删除

　　
王赟 Maigo 回复马同学:
割线有好多条，切线是割线的极限，不是随便拿一条割线就跟切线平行的。 (1 赞)

　　
马同学回复王赟 Maigo:
A趋于无穷的时候割线、切线、原点线都平行。进一步，割线的极限就是切线，而洛必达法则是对极限生效的，所以并非绕开切线，而是有个割线和原点线平行之后，两边取极限。

　　
王赟 Maigo 回复马同学:
割线是由A，B两点决定的。A点趋于(无穷,无穷)没问题，你的B点是怎么取的？ (1 赞)

　　
马同学回复王赟 Maigo:
你说的对，但是在无穷远点的切线和割线都平行，或者说交于无穷远点的线都平行或重合。所以B点可以随便取 (1 赞)

　　
王赟 Maigo 回复马同学:
我顺着切线趋近于原点线的思路，并没有想出来……所以对于无穷/无穷型，还是分子分母各取倒数，化成0/0型比较有说服力。你对0/0型的解释还是很有启发性的！ (1 赞)

Silence:
非常感谢。不过这些是如何构想出来的？ (6 赞)

　　
马同学回复 Silence:
数学是个游戏，只要你喜欢，就可以好好去玩。怎么构想出来的？也就是玩出来的。 (31 赞)

　　
Silence 回复马同学:
谢谢你的回复，看了你的很多回答，感到很有帮助。也感谢你能抽出时间服务大家！ (6 赞)

　　
马同学回复 Silence:
谢谢支持，成人便是成己。我也是在学习。看书学习和把知识讲述出来，效果完全是天壤之别。 (9 赞)

　　
Lei Renee 回复马同学:
答主一定智商很高 (1 赞)

　　
马同学回复 Lei Renee:
谬赞了，不过是有几分呆气罢了。

　　
许木木回复马同学:
这让我想起了一本书，是讲游戏与学习之间的关系。然后最强大脑中美对决片段，美国少年说过类似的话。

beta:
u(x)是二元函数，不能用u'(x)表示那条曲线的斜率吧。 (6 赞)

　　
马同学回复 beta:
是可以的 (1 赞)

　　
Dedicatus545 回复 beta:
u(x)更像参数函数吧 (2 赞)

　　
李心回复 beta:
我也有同样的问题

　　
大阿昊回复 beta:
应该用u’(x。）

莫小北:
从他老师那买来的 (8 赞)

王大可:
岂 (6 赞)

　　
王二回复王大可:
因 (5 赞)

　　
落子无悔回复王二:
祸 (1 赞)

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