有限单群定理，都是些什么群，有没有其他特别的无限或有限群？

比如说我了解 ,但是还有16种Lie群，，以及一些零散单群，

是否可以告诉我这都是些什么结构的群，以及为什么任何一个有限群都可以分为这几类当中的其中一个，

此外，对于无限群是否也有类似的分类，它们都是什么，如何划分。

最后，希望能了解一些结构有趣的群，或者奇奇怪怪的群，或者关于它们的一些有趣关系性质等等，当然是越多越好。

希望详细一点，当然还有通俗易懂一点。

我举个栗子，比如说虽然不严谨，但是可以这样看

抽象代数, 群论, 群表示, Unit-ideal

先歪个楼，从问题描述中看题主应该刚接触群论不久或者只是从科普作品中了解过有限单群分类定理。你的问题描述中有两处术语是错误的：

一，有限单群没有“Lie群”（Lie group），只有“Lie型群”（group of Lie type）。这两类群虽然中文翻译只差一个字，但是是非常不同的群。后文会进一步说明。

二，就是你问题描述的最后一句

我举个栗子，比如说虽然不严谨，但是可以这样看

如果我没理解错，你这里的 应该是指的 阶循环群 。 你这个描述根本不是不严谨的问题，而是本来就是完全错误的。 一列群 的极限在数学上是有严格定义的，分为两种正向极限和逆向极限。例如，逆向系统 （对于 ， ）的逆向极限 就是投射有限整数群（profinite integer group） ；而正向系统 (对于 ， ）的正向极限 则同构于商群 。无论是 还是 ，都不同构于 。你这个所谓的 没有指明正向系统中的群同态，根本就不是良定义的。正向极限和逆向极限的定义在任何一本抽象代数书上都能找到，我不再赘述。

另外， 我觉得需要批评题主的提问方式 ：

一，你应该了解过有限单群分类定理的复杂程度，因此 我认为你不应该希望能有答主“告诉我为什么任何一个有限群都可以分为这几类当中的其中一个” ，这个定理的证明有好几千页，没有任何办法用简单的几句话就陈述清楚。而且你还希望“详细一点”“通俗易懂一点”，这是根本不可能的。

二， 你还提了几个跟问题主要部分完全没关系的小问题 “对于无限群是否也有类似的分类，它们都是什么，如何划分”“希望能了解一些结构有趣的群，或者奇奇怪怪的群，或者关于它们的一些有趣关系性质等等，当然是越多越好”。这每个小问题都足够让回答的人写一篇至少一千字的回答， 你应该新开一问，而不是一股脑全加在这个问题里。

下面继续来说说有限单群分类定理中的各种群。

（有限单群分类定理）任何一个有限单群都同构于下面的群中的一个：
1. 素数阶循环群
2. 交错群
3. Lie型单群
4. 个散在单群
5. Tits群

第五个又称第“27个散在单群”，有时归为Lie 型群。

素数阶循环群 ，我认为不必多做介绍，这是最简单的一类。

交错群 也很简单，就是指一个 元有限集合上所有的偶置换构成的群，它的阶是 ；当 时，它就是单群。并且 还是最小的不可解群。

Lie型群就非常复杂了，它是指的与某个有限域 上的约化线性代数群的有理点的群密切相关的有限群 [1], [2]，但没有精确的定义。而题主弄混淆的Lie群是指的某个流形的范畴（例如 可微流形范畴、光滑流形范畴、实解析流形范畴、复流形范畴）中的群对象，也就是一个群同时也是一个流形，并且群乘法和取逆运算是可微、光滑或者解析的。这“Lie群”和“Lie型群”只是在名字上有一定关系——紧致Lie群可以被视作实数域上的约化线性代数群中的有理点的群，但研究的方向非常不同。

Lie型有限单群有以下几类：

• 典型Chevalley群[3]（ 种）： ，其中需要排除
• 例外Chevalley群（ 种）： ，其中需要排除
• 典型Steinberg群（ 种）[4]： ，其中需要排除
• 例外Steinberg群（ 种）：
• Suzuki群（ 种）[5]：
• Ree群（ 种）[6]：

另外Tits群[7] 有时也归为Lie型群。这七类群实在太多，我不一一列举它们的定义，直接见我引用的链接。

上面都是无限族，都有无限多个群，而 个散在单群则真真切切地只有 个：

• Mathieu群（ 个）：
• Janko群（ 个）：
• Conway群（ 个）：
• Fischer群（ 个）：
• Higman-Sims群（ 个）：
• McLaughlin群（ 个）：
• Held群（ 个）：
• Rudvalis群（ 个）：
• Suzuki群（ 个）：
• O'Nan群（ 个）：
• Harada–Norton群（ 个）：
• Lyons群（ 个）：
• Thompson群（ 个）：
• 小怪兽群（ 个）：
• Fischer–Griess怪兽群（ 个）：

他们的介绍见这个链接 https://en.wikipedia.org/wiki/Sporadic_group

参考

1. ^
   1
   https://assets.cambridge.org/97805216/74546/excerpt/9780521674546_excerpt.pdf
2. ^
   1
   https://en.wikipedia.org/wiki/Group_of_Lie_type
3. ^
   1
   https://en.wikipedia.org/wiki/Chevalley_group
4. ^
   1
   https://en.wikipedia.org/wiki/Group_of_Lie_type#Steinberg_groups
5. ^
   1
   https://en.wikipedia.org/wiki/Suzuki_groups
6. ^
   1
   https://en.wikipedia.org/wiki/Ree_group
7. ^
   1
   https://en.wikipedia.org/wiki/Tits_group

E·L: 谢谢你的回答，我接受批评[流泪]，我对这一主题几乎没有了解，自学过一点群论[流泪]Lie群也是最近才打算看的[流泪]，此外我觉得我使用的符号不太好，我举的那个例子中Z_n是想表示n个单位根及乘法构成的群😕

Unit ideal -> E·L: n次单位根组成的群和n阶循环群是同构的呀😱 (3 赞)

E·L -> Unit ideal: 我突然发现我写那个确实是错的，因为n趋于无穷时，两个集合并不等势，少了无理的幅角[流泪]，也就不同构，也许我该把等号改成含于，但是这样的话似乎就没有要指出的必要了[流泪]

break outss -> E·L: 他的意思很明确，范畴中的(上)极限和你可能''学过''的极限不是相同的东西，尽管可以用某些视角把他们看做有一致性。而你无论是干什么的，来探讨问题就一定要规范自己的符号自同构和语言。不要凭空臆想一套符号系统，这样只会让人看到后感觉不知所云。btw, 根据你的回复你所想象的这个是全体有限循环群在自然嵌入下的正向极限。然而正向极限可能比你想象中要复杂，甚至你可能''学过''的极限都比你想象的复杂。请谨慎的对待你所不熟悉的事物，这不仅是对自己负责也是对回答你问题的人负责。 (2 赞)

E·L -> break outss: 感谢你如此篇幅的评论，我希望你能看完我的。我欣然接受你的“批评”，同时也承认我的无知，还有很多我要学习。但是我也想指出，我认为概念的完善与形式化的论述只是有助于斧正学科的正确发展，而几乎完全无助于学习或理解，以数学为例，对其感性的认识也是不可缺少的而且是首要的。(后面的内容酌情看，理性看，我相信没人愿意被高中生“指指点点”)最后我想说，也许是你的语序问题，你明知我“可能‘学过’的”不同于你可能“学过”的，仍然做了这样的评论，这一行为是否是对自己或者是对你所评论的人负责了呢，此外，对你的评论，我能得到的结论是，也许你是一个好的学者，学生，但绝不是一个好的引导者。至于如何定义“好的”，那因人而异。

mnbqwerxdezdt: 你给我指明了链接，你是我的神！ (1 赞)

mnbqwerxdezdt -> mnbqwerxdezdt: 可进不了啊😱

伍柏树:

回答的算好的，但是还是有一个问题，如何确定只有这些的，比如整数，以2为模，分为两种，而且只有两种。
其实大多数人不想知道证明的细节，而且想知道分类的大概过程。
这样列一个表，解释再多也没什么用

from: https://api.zhihu.com/appview/api/v4/answers/3213344931