自然对数的底e有什么自然意义? - 持续低熵 的回答

首先，我知道e是一个无理数，约等于2.7，是（1＋1／n）∧n当n→∞时的极限值

我只是好奇，很多的公式里都有e，从生命科学到无机化学都有。e是不是有什么自然含义?自然界中的e到底是一个什么样的数字?

数学, 对数, 自然常数

我建议对自然对数的底e进行重新命名，将它叫做：无穷小对称数。这个名字可以解释e为何如此重要。

一个基本思维方式是：分析世界上存在的各种对称性 。很多对称性操作是可以连续变化的，比如说平面上全体旋转或者三维空间中全体旋转。 这种可以连续变化的对称性操作构成的集合，称之为李群。

比如平面上所有的旋转构成的就是一个李群。在这个例子当中，这个李群在几何上就是单位圆自身，因为单位圆上的点与平面上的旋转很显然有一一对应关系。

如何研究李群呢？我们用微积分对它进行线性化。即我们在李群的某一点求对称性操作连续变化的变化率。 如果有多个变化方向，就每个方向的变化率都求。然后把所有的“速度”（变化率）收集起来。 那我们在哪一点求呢？我们在单位元素处求。什么是单位元素？即什么都不做的那个操作 （注意：什么都不做的操作可以视为一种特殊的对称性操作）。我们就在这个特殊的地方求各个方向的速度，然后收集起来，得到所谓的 “李代数” 。听上去只是在一点求变化率好像信息量不大，但李群的特点是：你可以依靠对称性沿群移动（即对称性可以作用于自身，因为你总是可以把一个对称操作复合上新的对称操作），于是我们可以通过群在自身上的移动作用将单位操作处的李代数推到其他任何点处。由此，我们不难接受：只需要研究一点处的全体速度（李代数）就应该可以得到李群的很多乃至全部信息。严格说来，我们还需要点拓扑的限制，但这里我们假定这些限制是满足的。

好，我们已经知道如何从李群过渡到李代数，并相信（在一定的拓扑限制下）可以从李代数恢复李群。那我们就需要一个机制来做这件事情。 也就是说，我们必须从“连续变化的对称性操作在什么都不做的这个操作处的变化率”构建出一般的实际对称性操作。引号里的东西应该被称之为 “无穷小对称” ，因为它涉及到了求导数求变化率嘛。 那么怎么从无穷小对称搞出有限的对称（即一般的对称性操作）？答案是：取指数函数，而且是以e为底的指数函数。这就是对以e为底的指数函数的最重要理解。

怎么理解？ 事实上，我们可以把这作为以e为底的指数函数的定义（此时假定李群是一维的） 。即以e为底的指数函数是这样一种法则：它输入的自变量是李代数里面的成员，它输出的是由该成员（通过从李代数回到李群的程序）给出的李群中的成员。 即它把无穷小对称变为有限的实际上的对称性操作。

顺便说一下，这其实本质上也是用微分方程定义指数函数，读者可自己想想为什么。

大家可能奇怪，我们平时对指数函数的理解怎么和这种新的理解融合？从这里对以e为底的指数函数的定义很快可以看出下面三条：

• 第一，指数函数的自变量相加会导致函数值相乘。
• 第二，指数函数在零处的导数是1。
• 第三，指数函数在零处的值是1。

很容易证明，这三条保证满足它们的函数必然是（我们以前理解的）以e为底的指数函数。（证明提示：从定义出发计算导数，用第一条化简，第二第三条导致导数等于自身）

这三条在我们这个新观点下都非常容易理解。比如说第一条：加法被指数函数转为乘法是怎么理解？加法是在李代数里的运算，因为李代数是线性空间（速度是向量），里面可以做加法。而在李群的层面上我们拥有的是“乘法”（这代表对称性操作的复合：即接连使用两个对称性操作）。事实上，对于几何上常见的很多群比如旋转群来说，这真的是字面意义上的乘法：矩阵乘法。如果是1x1矩阵，矩阵乘法就是普通的四则运算乘法。 所以我们考虑一维李群的时候，从李代数恢复李群的操作就把四则运算中的加法化为了四则运算中的乘法：加法是无穷小对称层面上的两个操作的复合，乘法是有限（实际）对称性操作层面上的两个操作的复合 。另外两条的分析其实比上述这条还要更简单一点，限于篇幅我不讲了。

注意： 这里不仅解释了指数函数的诞生，而且解释了e的出现。这里必须以e为底的指数函数才可以从李代数恢复李群！

在这个意义上讲， 自然界原本没有e, 但当我们用微分学研究自然界的连续对称性时以e为底的指数就诞生了！

举一个简单的例子说明从无穷小对称过渡到有限对称的过程中e是如何出现的。我们考察所有的尺度变换。尺度变换指的就是放缩长度。 你可以想象一个在尺度变换下保持不变的数学对象，那每一个尺度变换就是保持它的一个对称性操作。所有的尺度变换构成一个李群，它与所有的正实数一一对应。为何？每个正实数a可以理解为把长度变为原来的a倍。这个李群的单位元素是1，因为“把长度变为原来的1倍”就是什么也不做嘛。这里的李代数（单位元素处的所有变化速度）是什么呢？就是全体实数。为何？改变尺度变换可以有两个方向，一个是增加放大倍数的方向，一个是增加缩小倍数的方向，这对应于实数轴的两个方向。放大任何倍数或者缩小任何倍数都是可以的， 所以这两个方向上的速度绝对值可以任意大，这就填充了整个实数轴。好，现在我们从李代数（无穷小对称层面）过渡到有限的尺度变换。 如果速度为1，那么经过单位时间之后，我们在李群里就从1（什么也不做的操作）移动到了长度放大倍数为e=2.71828.......的那个尺度变换了 。这个奇特的数值是无法避免的，如果你同时要求“取速度为1”，“若取速度为零则不改变变换”，以及“将速度的复合转化为操作的复合”这三个自然的条件。

上述对e的倍数理解，我认为可以与通常对圆周率的理解（即圆周率也是一个倍数：圆的周长对直径的倍数）相提并论。 顺便说一句，把e看作复利极限可以视为上述倍数解释的离散版本，但这里的连续对称性在离散视角下看不到。

值得一提的是，e其实藏得比圆周率深。 上述例子当中e以数值的方式出现了。但一般而言，对高维的李群，e其实处于隐藏状态：我们遇到是以矩阵为自变量的以e为底的指数函数（用级数方式定义），这时e=2.7182818.....这个数值是无法读取的。顺便说一句，这也是欧拉公式中不能把虚指数想为2.71828....的“若干次方”的原因。这里的李群是平面旋转构成的，如果用实数观点看则里面的成员是2x2矩阵，不是可以读取e的数值的一维情形了。

BidensPilosa:

我要讲布尔巴基笑话了啊.jpg
寿公讲了一堆理由，说的也许是对的，但是在高中第一次学到e的时候要看到什么？一堆又臭又长的解说？
数学和教学是两回事，直观有时比准确更重要 (27 赞)

勃瓦尔·弗塔根 -> BidensPilosa: 整数关于加法构成阿贝尔群那个笑话是吧 (9 赞)

氢金MetalH -> BidensPilosa: 高中数学又不涉及微分方程

rrrr -> BidensPilosa:

你讲了一堆理由，说的也许是对的，但是真正研究数学的人看到e时要看到什么？一堆屁用没有的直觉解说？

教学和数学是两回事，准确有时比直观更重要 (3 赞)

NONAME -> BidensPilosa:

其实对李群初学者来说这就是直观解说[捂脸]
我想寿公的这种讲法的确有可能给高中生初学用，但得弄多点配图作为例子，并且得讲慢点 (27 赞)

wneverlandwhite -> BidensPilosa: [惊喜]但其实高中大部分人也还是稀里糊涂的啊

勃列日涅乎: 我竟然在键政大V那里复习李代数嘛。。。 (21 赞)

昂首的兔子:

太牛了，我承认我没有学到这里。
工科专业毕竟数学走到偏微分和统计这种实用性点满的领域后，就不继续往下走了。
叹服，被寿公全方位碾压，学无止境。 (18 赞)

帝国宣传员 -> 昂首的兔子: 同工科，真不知道寿公的高数功力这么好

xander: 我负责任的说，只讨论上课水平，在怎么把这些大学数理概念讲清楚，让人理解的层面（不论科研水平），寿公完爆大部分国内985教授（反正完爆给我上课的所有[捂脸]） (9 赞)

虫神 -> xander: 作为学渣，我没进985，但是连985的教授都不如寿公吗（文科的不算）。

蒸汽波 -> 虫神: 上课水平

旱泥鲅 -> 虫神: 985教授最重要的指标是科研，上课不一定讲得好，不过也有好的 (2 赞)

我是谁 -> 旱泥鲅: 大学，不过科研机构而已，这个翻译纯属university给自己脸上贴金。既要靠西方概念，又要靠东方概念，两面三刀的样子挺好笑的。

旱泥鲅 -> 我是谁: 话也不能完全这么说，只能说当下发展阶段的必然选择（经费有限导致有科研能力的好大学就那么几十个，自然要全力冲科研） (1 赞)

我是谁 -> 旱泥鲅: 科研很重要，所以改名叫科研所多好，百分之九十以上的评价指标都给科研

旱泥鲅 -> 我是谁: “中科院”

我是谁 -> 旱泥鲅: 以什么为指标就叫什么名，挂羊头卖狗肉卖人肉包子挺可耻的。你举一个反方向例子对于我们谈论的问题没有任何参考意义。

内阁混子: 寿公，偷偷开个关于目前形势的小篇试试水，总感觉看不清目前的情况啊，开完会之后，感觉上面的态度模拟两可啊[捂脸] (12 赞)

奥斯卡教授:

我在虚数那篇的评论：
“前几篇科普不能完全理解，勉强能跟得上
这篇跟不上，大体上知道在说啥
估计下一篇连说的啥都不知道了”
现在处于勉强知道几个概念的状态，看不懂的部分占95%以上 (11 赞)

羊闲声:

为什么群和代数都要姓李？[生气]
张不行吗？赵不行吗？[调皮] (8 赞)

勃瓦尔·弗塔根 -> 羊闲声: 这是什么拳法[思考] (7 赞)

Jia Guo -> 羊闲声: Lie group (3 赞)

张智浩 -> 羊闲声: 正经回答：因为最早研究这个概念的人叫索菲斯·李，为了纪念他所以名字就这么叫了[doge] (11 赞)

Jia Guo: 寿公真牛逼，把李群李代数都引出来了 (9 赞)

知乎用户:

省流版：

exp是唯一的同构(R,+,0)→(R₊,×,1)，满足exp'(0)=1 (8 赞)

张智浩: 如果不是之前说过我真怀疑寿公是正经数学系毕业来的[捂脸]能光靠感兴趣看书就有这个程度的理解我觉得是很不容易的，而且文中还暗藏了一些细节表明他其实知道得更多。说实话昨天看到「怎么理解e」这个问题的时候我也没想到能从这个观点来理解，但确实也是自然的。非常期待后续的文章。 (5 赞)

知乎用户 -> 张智浩:

嗯，比如说拓扑限制这个细节[捂嘴]
估计至少读过一本李群李代数教材 (1 赞)

from: https://api.zhihu.com/appview/api/v4/answers/2751933438