线性代数中，特征值与特征向量在代数和几何层面的实际意义是什么？ - 风暴的力量的回答

数学, 线性代数

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从定义出发，Ax=cx：A为矩阵，c为特征值，x为特征向量。

矩阵A乘以x表示，对向量x进行一次转换（旋转或拉伸）（是一种线性转换），而该转换的效果为常数c乘以向量x（即只进行拉伸）。

我们通常求特征值和特征向量即为求出该矩阵能使哪些向量（当然是特征向量）只发生拉伸，使其发生拉伸的程度如何（特征值大小）。这样做的意义在于，看清一个矩阵在那些方面能产生最大的效果（power），并根据所产生的每个特征向量（一般研究特征值最大的那几个）进行分类讨论与研究。

20171201更：

短短几句话能帮到很多人真的很开心，谢谢大家的赞，我最近也有时间更进一步地探讨实践中我对PCA方法的理解，没有推导，大家可以放心食用：EOF/PCA的python实践

猪猪狗:
真是醍醐灌顶啊，如此浅显易懂并且实用的解释你是自己总结出来还是看书得到的呢？ 我学力学矩阵就有这种感觉，因为特征向量描述了在在一个物体具体到某个面垂直上的分力，可是那个时候也没有完全描述出来这种特征。 (13 赞)

　　
PiCs 回复 猪猪狗:
LAY的线性代数及其应用中有提到 (3 赞)

「已注销」:
醍醐灌顶 (9 赞)

民间摄影师渣尔斯:
矩阵乘以一个向量是如何使它旋转的，能举个例子吗 (5 赞)

　　
山中砸诗 回复 民间摄影师渣尔斯:
矩阵乘向量以后得到的向量与原向量方向不同了 (3 赞)

海客瀛洲:
再看看，教科书，简直就是一坨屎
根本不跟你解释为什么要学这特征值，特征向量 (6 赞)

刘宁宁:
非常好 (5 赞)

大卫:
你好 那么特征向量为复数的时候怎么解释？ (3 赞)

　　
小猴子 回复 大卫:
如果是复特征向量，除了收缩还有旋转

　　
熠轩要吃饱 回复 大卫:
旋转

杨大大:
厉害，浅显易懂，现在这种答案不多了 (5 赞)

哇哈哈:
说的好，对我这种初级别的太好了，拜谢 (4 赞)

庆lo庆ve:
真棒 (2 赞)

Ray Decem:
赞 (2 赞)

from: https://www.zhihu.com/question/20507061/answer/16610027