物理学中的群论 · 入门篇 第三章：转动变换群

这里讨论的矩阵都默认为 型的方阵。

首先考虑最简单的一种转动群—— 二维转动群 ，其由二维平面 上所有的转动变换组成。不难想到，描述一个转动变换有两种观点：第一，认为参考系（坐标系）不动，而体系（矢量）发生转动，此谓 主动观点 ；第二，认为体系（矢量）不动，而参考系（坐标系）转动，此乃 被动观点 。仿照大多数教材的习惯，本文采用主动观点。

考虑二维平面中任意一个矢量[8] ，经过一个逆时针转动 角的转动变换后，矢量变为 ，如图所示

二维平面中的转动变换

由图中几何关系，不难证明 因此，对于任意矢量 ，经转动变换后将变为 ，其中矩阵 称为 二维转动矩阵 。显然，二维转动变换由一个参数 标记（这种标记方法称为转动矩阵的 参数化 ），且可由转动矩阵 完全表示。不难验证，所有的转动矩阵满足：

• 对于矩阵乘法运算，任意给定两个转动矩阵 ，则 也是一个转动矩阵；
• 由矩阵乘法的性质， ；
• 对于 ，此时 为单位矩阵（对应不做转动），则 ；
• 对于任意转动矩阵 ，存在另一个转动矩阵 满足 。

由以上四条性质不难看出， 若将矩阵乘法作为群乘法，则所有二维转动矩阵构成一个群 。利用转动变换不改变矢量长度的性质，可得 ，可得 ，即转动矩阵是一个正交矩阵；又由于正交矩阵行列式为 ，而显然 ，则二维转动矩阵均为行列式为 的二阶正交矩阵。因此， 我们将二维转动矩阵群记作 ，其中「 」表示「正交[9]」，「 」表示行列式为 [10]。二维转动矩阵群 是一种 矩阵Lie群 。

另外，通过将 作Taylor展开，不难证明 矩阵可以表达为简洁的矩阵指数形式 其中 为了便于讨论，不妨将 的取值范围扩展至 。对于两个矩阵 ，显然其对易子为 ，将对易子作为Lie括号，则所有 矩阵构成一个Lie代数。由于其与 Lie群直接相关，这个Lie代数通常记作 [11]，或直接称为 Lie群 的Lie代数 。而根据BCH公式，有
即两个转动的合成等价于转动角之和的一个转动。

现在讨论相对复杂的情形——由三维空间 中所有三维转动变换矩阵构成的 三维转动群 。同样采用主动观点，考虑 中任意一个矢量 ，经过一个转动变换后，矢量变为 。

前两部分主要讨论了二维转动群 与三维转动群 ，从纯粹的几何关系出发推导出了两种群矩阵的具体表达式；并且绕开所有极限和近似导出了两种群的矩阵指数形式，从而构造出两类Lie代数 。

这里不加证明地给出，对于任意一个 阶复矩阵Lie群 ， 其对应的Lie代数为[13] (其中 表示所有 阶复矩阵的集合) 即 Lie代数为所有满足以下性质的矩阵 的集合：对于任意实数 ， 矩阵 为矩阵Lie群 中群元 。或者可以简单地理解为 群代数 这是一个非常重要的概念，Lie群与Lie代数这两个从定义看起来毫无关系的概念，就这么通过指数运算联系在了一起。结合BCH公式不难理解这一结果：只要给定Lie代数的Lie括号（物理中用到的一般都是对易子），就能代入BCH公式计算群乘法。并且在后续章节中需要计算Lie群的表示时，只需要从Lie代数对易关系出发，首先构造出Lie代数的表示，就可根据以上矩阵指数关系，进一步得到Lie群的表示。

最后补充一下矩阵Lie群的严格定义[14]：首先将所有 阶复矩阵的集合记作 ，将所有 可逆复矩阵的集合记作 ，显然 构成一个群。给定一个 中的矩阵序列 ，考虑其中每一个元素组成的一系列数列 ，如果每个这样的数列都分别收敛于一个常数 ，即 则称 矩阵序列 收敛 ，且其收敛于矩阵 ， 称为该 矩阵序列的极限 。有了这一定义，我们就可以给出矩阵Lie群的严格定义：[15]

• 给定 的一个子群 ，如果对于 中任意一个收敛的矩阵序列 （即 ） ， 的极限矩阵 要么属于 要么不可逆，则称子群 是一个矩阵Lie群。

不难验证，本文定义的 均满足矩阵Lie群的上述定义。

[4]: 参考：
[5]: 这一条看着很复杂，其实就是Lie括号对两个输入都是线性的，而且这个性质在量子力学中计算各种对易关系的时候可以直接用
[6]: 这一条看着很重要，但其实物理里面用不上
[7]: 本文均使用Einstein求和约定
[8]: 上标T表示转置，即将矢量视为列向量
[9]: orthogonal
[10]: special
[11]: 这是哥特体的小写英文字母，专门用于表示Lie代数，LaTeX代码为\mathfrak
[12]: 推导很简单，具体可参考：
[13]: 参考：
[14]: 没什么用，主要是说明一下这玩意存在一个可以理解的严格定义
[15]: Hall, Brian C., and Brian C. Hall. Lie groups, Lie algebras, and representations. Springer New York, 2013.