一种方法计算所有的函数极限？|大学-高数篇1 - 温欣提市的专栏那些年被数学虐的我们

title: 一种方法计算所有的函数极限？|大学-高数篇1 - 温欣提市的专栏那些年被数学虐的我们
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author: 温欣提市 (liandaokewen)
column: 那些年被数学虐的我们 (c_1131924417588215808)
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edit_date: 2019-09-04 02:31:23
fetch_date: 2020-02-26 14:16:19
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话题:

数学, 高等数学, 极限 (数学)

正文:

“博士，你帮我看看这个函数极限。”，弘毅问我。

“题目呢？”

求解 $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x}$

“我怎么看都觉得自己没错啊，为什么不是1啊？用那个 $e$ 的极限定义嘛？这个你要是能解释清楚，我中午请你吃大餐！”

我瞄了一眼，然后跟他解析一番。

你的想法没错，但问题是你得到的是 $\infty/\infty$ , 最终就无法得到答案。 $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x}=\frac{\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x}=\frac{+\infty}{+\infty}$
这里用到的是极限运算与除法运算的可交换性。
陷入 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty\pm \infty$ 这样的不确定困境中。

我给你总结一下，半小时内让你解决所有函数极限的计算问题。

高数中遇到的 所有的函数极限计算 问题最终都化归为两种情况：

1. 直接代入

它的本质是利用了 连续函数之函数求值与极限运算的可交换性 。即, 若函数 $f$ 在点 $x_0$ 处连续，则 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(\lim_{x\rightarrow x_0}x)=f(x_0)$ ，左边是先算函数值再求极限=右边先算极限再求函数值。

另外再结合 极限运算与四则运算的可交换性 。

总之核心精神就是代入。

比如，求 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\sin x+2x^2+2}{x^2+1}$

你可以用整个函数是连续的，直接得到 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\sin x+2x^2+2}{x^2+1}=\frac{0\sin 0+0+2}{0^2+1}=2$ ,

也可以用 极限运算与四则运算的可交换性，

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\sin x+2x^2+2}{x^2+1}=\frac{\lim_{x\rightarrow 0}(x\sin x+2x^2+2)}{\lim_{x\rightarrow 0}(x^2+1)}=\frac{0\sin 0+0+2}{0^2+1}=2$ .

但这里你 不能乱用 ，比如,

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x}=\frac{\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x}{\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x}=1$ .

你这么干，相当于是,

$\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x})^{x^2}=e^x$ . 即整个函数里面的x, 你随便取一部分x代入，而剩下的就不代入，这样做是 没有依据 的。

而我上面说的 直接代入 是有依据的，经过了证明的，即

连续函数的函数求值运算与极限运算的交换性，四则运算与极限运算的交换性 。

到目前为止， 你能用的直接代入主要就是指这个 ！

2. 洛必达法则

在你直接代入发生困难时，你想想你一般会遇到什么问题。

首先，函数主体肯定是连续的，即使不是连续的也依然是分段连续的，因为高数中遇到的计算问题，几乎所有都是 初等函数 。而初等函数这一大类都是连续函数(并且是足够光滑的函数)。

因此可想而知，当 你代入发生困难时，那就是出现了 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty\pm \infty$ 等情况 。

因为出现了这样的情况，你无法进一步计算啊， 鬼知道 $\frac{0}{0}$ 是多少啊，它可以是任意实数。

而这些情况最终都可化归为 $\frac{0}{0}$ 的情形。

洛必达法则 若函数 $f,g$ 在点 $x_0$ 的邻域内可导，且 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0$ 以及 $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}.$ 存在，则 $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}.$

粗略地讲，就是遇到 $\frac{0}{0}$ 的不确定情形时，将原极限转化为一个新的极限，即分子分母同时分别求导后的新极限。

所以你的这个极限， 正解就是结合指数函数的连续性和洛必达法则。直接用四则运算与极限运算的交换性是没错，可是你马上就进入 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty\pm \infty$ 这样的不确定困境 之中。

这里举两个例子，比如高数中所谓的最重要的两个极限。 ( 它们都是代入后遇到 $\frac{0}{0}$ 的困境，求助于洛必达 )

1. $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{1}=1.$

2. $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}$
$=e^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}}=e^{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+x}}=e.$

以上这两个式子不能作为他们的证明，因为中间有 循环论证的问题，即相应导数的求解用到了这两个重要极限 。

但是 不妨碍 你用他们来计算极限。

综上所述，高数中所有的函数极限运算问题都是先尝试直接代入，代入遇到困难就求助洛必达，多次洛必达之后直到能够代入，那就代入结束。

所以这道题，应该是这样的:

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})^{x^2}}{e^x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{{x^2}\ln(1+\frac{1}{x})}}{e^x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{{x^2}\ln(1+\frac{1}{x})-x}$ 再转化为指数的极限。
$\lim_{x\rightarrow +\infty}{{x^2}\ln(1+\frac{1}{x})-x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}{\frac{\frac{1}{1+x}-1}{2x}}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{-2(1+x)}=-\frac{1}{2}$
即原极限是 $e^{-\frac{1}{2}}$ .

现在挑战一下:

$\lim_{x\rightarrow 0^+}x^{\sin x}$

从易经的角度，你可以把直接代入看成阳(+)，因为要求得极限结果必然要靠代入，自强刚健；而把洛必达法则的应用看成阴(-)，因为它退步迂回，海阔天空 。

那么任何一个函数极限的计算过程都可拆成阴阳交替的一个序列。

比如--+-+，就是指两次洛必达后一次直接代入再一次洛必达再代入就结束了。
为啥第一个代入后面还有计算过程呢？代入不是就结束了吗？
因为，这里是指一般的情况。如果函数本身很复杂，函数极限的计算需要先拆分成几个简单函数的极限计算，上述序列中的一个+就代表了一个简单函数极限计算的结束。

“怎么样？弘毅，是不是感觉除了智商有所长进外，还有一种哲学的美感？”，我一边比划一边说道，

“关于洛必达法则还有一个八卦 :

洛必达L'Hôpital侯爵，1661－1704年，是法国世袭军官。这个求导方法是其数学 导师约翰.伯努利发现的，传言因为这个方法能大大简化极限以及微分的运算，洛必达花钱买断了其著作权。这就是为什么大家听到的是洛必达法则，而不是伯努利法则 了。”

“说好的大餐呢？”

弘毅感觉消化得很不错之后，由衷的说，

“数学系博士 果然都这么的禅(馋) ！”

“哈哈哈哈”，我们会心相视一笑，出门走向对面的美食广场！

多谢关注和点赞，支持原创高质量文章！

　　
何志武回复想做程序February:
7月14号的问，现在答好像对你也没什么帮助了。替你总结一下吧，每个大类可以分为好几个小类，有的大类变了一下又变成另一个。 a初等函数，一般用不到等价无穷小,b复合函数，有可能会用到等价无穷小，一些化简里。c分段函数极限，分段讨论的时候经常涉及等价无穷小，说确切一点c是a+b+极限和连续的定义这几个组成的。就是这样了，希望有帮助，学习中有不懂的自己多看，看了以后自己做个总结就好了。 (2 赞)

　　
转本要上南信大回复想做程序February:
因式就可以用 (1 赞)

　　
zzkluck 回复想做程序February:
我的建议是，在一切情况，使用泰勒展开。把无穷小余项显式地写出来有助于理解，以及规避一些问题。 (3 赞)

　　
山林风回复想做程序February:
等价无穷小本质是泰勒展开。这道题是x平方次，所以需要展开至2次。不能用展开至1次的等价无穷小直接代入。 (4 赞)

　　
cdh1075 回复想做程序February:
根本没有等价无穷小，只有泰勒公式 (4 赞)

　　
田二傻回复想做程序February:
等价无穷小什么时候都能用，可以做加减。你做的不对只是说明展开的不够而已 (1 赞)

温欣提市:
针对评论问题，回答一下。
首先，我这里说的「直接代入」是通常的代入的广义，它本身就是一些简单定理或者性质的合集，主要涉及的是极限与其它运算的可交换性，详细指什么请仔细看文章。
其次，洛必达法则什么时候用，怎么用，它本身就是一个定理，而且定理本身讲得很清楚-条件是分子分母同为0或者无穷大型，用的方法就是对分子分母分别求导再继续做相应的极限运算。在文章中也说得很清楚。

这篇文章已经非常清楚和严格的讲明白了如何用一种方法来应对高数中几乎所有函数极限的计算问题。

从逻辑的角度来说，这篇文章完全是清楚，完整，简约且深入浅出的，自认为很难再找到一篇讲函数极限的文章，能同时达到这些要求。

如果你看了这个还不会计算函数极限，那可能是以下几个问题：

1 你没仔细阅读，这篇文章几乎没有逻辑上的废话，请好好看，好吗？

2 你基础太差，比如连函数连续性都不知道。

找到自己的问题，做相应改进即可。 (30 赞)

　　
了好多寂寂竟何待回复温欣提市:
泰勒能解决一切这种求极限的问题吧

　　
问文博回复了好多寂寂竟何待:
不能

　　
孤久则安回复温欣提市:
作者您好，我们还没学到洛必达法则，老师不让用。那么对于不能直接使用代入法的题目，又不能使用洛必达，这些题目有时候很难找到切入口，该怎么办呢？

特修斯:
那个挑战一下答案是什么课代表对答案

　　
Always OnLine 回复特修斯:
查看图片 (7 赞)

　　
下雨了回复 Always OnLine:
sinxlnx的极限咋求啊？

　　
南飞回复下雨了:
洛必达

　　
最右派来的间谍回复下雨了:
把lnx放分母，就是0/0型，在洛必达法则

　　
一日看尽长安花回复 Always OnLine:
应该不是这样做的

　　
一日看尽长安花回复 Always OnLine:
你写错了，0乘无穷不是0

　　
杨杨杨超越回复最右派来的间谍:
没懂
放分母上怎么洛必达啊
lnx分之一的倒数还是带lnx啊

　　
最右派来的间谍回复下雨了:
把sinx换成x吧 (2 赞)

芬达:
佩服……说到点子上了 (11 赞)

阿眼头:
我在帝都某211给大一的教微积分，分享一下我的观点吧，个人感觉洛必达学生特别容易用错。我给学生总结的一套万能的方法是，先学有理函数的极限，然后用泰勒展开把各类函数变成有理函数，就能解决几乎所有这个阶段的极限问题了 (9 赞)

　　
揭阳岭洞人回复阿眼头:
暴力美学啊，哈哈

鸡尼实在太美:
泰勒公式跟万能啊！ (7 赞)

　　
cdh1075 回复鸡尼实在太美:
不，就是因为泰勒公式太万能了，出题人故意不让你舒舒服服的用泰勒公式 (7 赞)

Oink:
那个lim（1/（-2（1+x）））中的（1+x）是不是应该平方？ (2 赞)

　　
lx67 回复 Oink:
我也感觉是的

　　
lx67 回复 Oink:
感觉有两个错误

　　
Oink 回复 lx67:
还。。还有哪有错误？我没看出来[不抬杠]

　　
枰野回复 Oink:
不是平方，应该令t=1/x,则x²=1/t²,x→∞时，t→0⁺,原式应=(ln(1+t)-t)/t²,作者没把x写明白还有通分

　　
ABYSMXL 回复枰野:
后面不应该是ln(1+t)-1/t吗

　　
枰野回复 ABYSMXL:
同分

川大陈柏霖:
第一个问题里面，将x趋近于正无穷转换成x趋近于0+的那一步，是不是分子应该减去1/x而不是x哦？[好奇]感觉没怎么懂为什么是x。[大笑] (4 赞)

　　
大鱼先生回复川大陈柏霖:
一样的疑问，想了好久，老哥想通了么？

　　
大鱼先生回复川大陈柏霖:
换完以后后面要通分一下

　　
lx67 回复川大陈柏霖:
对啊，我也感觉。

　　
ABYSMXL 回复川大陈柏霖:
我也是

北极湖:
我想知道文章中思考题的解答，求解答。大一新生 (1 赞)

　　
时间戳回复北极湖:
原极限为幂指函数，故化为, exp{lim(sin(x) * ln(x)）}，然后再把0 乘无穷型化为0比0就好计算了，最后为exp(0) = 1。（其实这个自己做一遍就会了，X的X次幂（X趋于0）等于1）。 (6 赞)

　　
李子瑾回复北极湖:
是那个x的sinx次方么，取个对数就行了

　　
一日看尽长安花回复时间戳:
怎么把0乘无穷型化为0比0型

　　
时间戳回复一日看尽长安花:
sin(x)等价于x，所以sin(x)*ln(x)等价于xln(x)，把x放到分母：ln(x)/(1/x)，然后洛必达得到-x (1 赞)

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1. 直接代入

2. 洛必达法则

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