伽罗瓦理论之美 - 知乎

在我们已经全面了解并极大发展了伽罗瓦理论的今天，回想1828年伽罗瓦提交的那两篇论文，我们有理由猜测，伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。在伽罗瓦看来，“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构，这是一种更加本质、更加抽象的数学结构，当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候，就形成了新的数学概念——群。

（1）群：给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”（这个“乘法”不是数字运算的乘法，而只是借用了这个名字，因此加上了引号），如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足：

<1> 封闭性：集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内；
<2> 结合律：这个“乘法”满足(a*b)*c=a*(b*c)；
<3> 单位元：集合中存在某个元素e，对于任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a，e被称为单位元；
<4> 逆元：对于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一个元素 ，使得 ，a与 互为逆元。

此时，这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。

我本不愿意罗列概念，但是如果要想感受到伽罗瓦理论之美，就必须弄清楚“群”的概念。就像一个人想要欣赏美妙的音乐，你总要能区分音调高低、节奏快慢一样，如果高音“1”和低音“1”在你听来是一样的，那么很难想象你可以欣赏美妙的交响乐。

“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。容易验证，整数集合在加法运算下成群（这里的加法就通常意义的数字加法，对应着群定义中的“乘法”），其单位元是数字0；但是整数集合在乘法运算下不成群，这是因为对于大部分整数，没有乘法的逆元。

其实群在日常生活中也会存在，常见的是魔方，它的全部操作构成一个集合，再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”，则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群，叫做RUBIC群。

（2）环与域：在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”，如果这个集合在这个“加法”下成群，而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”，则称这个集合与这两种运算构成一个“环”；如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群，则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。显然，“域”是一种特殊的“环”（以上不是环与域的严格定义）。

对不起了，伽罗瓦理论是够抽象的，对于完全没有接触过群论、域论的人来说，这几个概念就挺费琢磨。可是没有办法，伽罗瓦理论这座高峰就需要踩着这些概念的台阶来攀登，你想欣赏最美好的风光，就需要把这些“概念”踩在脚下，“无限风光在险峰”。

如果看懂了这三个概念，特别是看懂了“群”和“域”这两个概念，就会理解这些结构其实就是从基础的数字运算关系中抽象出来的。比如：有理数在加法和乘法运算下构成一个域，0是加法单位元，1是乘法单位元，不包含0的有理数在乘法运算下成群；实数、复数在加法和乘法下都构成域；无理数在加法和乘法下不能构成域，这是因为无理数之和可能是有理数，不满足封闭性。

下面用群和域的概念做一个思维体操，证明有理数是最小的数域（由数字和加法、乘法构成的域）：

step 1 : 数域必有加法单位元0和乘法单位元1；
step 2 : 由加法封闭性得到n个1相加必然还在域内，于是任意自然数n在域内；
step 3 : 再由加法存在逆元得到-n也在域内，这样全部整数必然在域内；
step 4 : 再由乘法存在逆元得到，任意整数n（0除外）的倒数1/n必在域内；
step 5 : 再由乘法成群（去除0后）得到，任意m/n（m和n是整数）也在域内。

这样，就证明了有理数必须在数域之内，而且构成了一个域。因此，有理数是最小数域。

做完这个思维体操我们可以知道，不要小看群、环、域这样一些基本概念，这些概念定义的是一种数学结构，只从基本概念出发，就可以得到很多复杂的结果。譬如直到上世纪80年代，数学家们才真正彻底解决了全部有限单群分类的问题，这是经过了近30年时间、由超过100位数学家在500多种期刊上写下的超过10000页的论文而最终解决的，其基础则是200年前伽罗瓦提出的概念——群。

（3）群和域的同构

群，不是随随便便就能构成的；域，或许更复杂一些。

伽罗瓦发现，有些表象不同的群之间，其实质是完全相同的。这样的群称为是“同构”的，也就是说，这样的群在结构和性质上都完全相同，只有表面符号上存在差别。同构的群在去掉表象之后，可以认为是同一个群。

比如，对某一向量进行旋转的操作构成一个集合A={逆时针转0度，逆时针120度，逆时针240度}，定义这个集合中元素的“乘法”为先进行第一个操作、再进行第二个操作，于是A在此“乘法”下构成一个群；再定义另外一个集合 ，定义其上的“乘法”为普通的复数乘法，则B在乘法下也构成一个群。简单分析即可发现，A和B这两个群结构是完全相同的。

群同构的严格定义是：存在两个群A、B之间的一个双射（即一一对应的映射）ϕ:A→B，满足 ϕ(a*b)=ϕ(a)×ϕ(b)，其中 a、b∈A，ϕ(a)、ϕ(b)、ϕ(a*b)∈B，*和×分别是群A和B的“乘法”。

类似的，域也有同构的情况。简单说两个域的同构定义为：两个域上的“加法”群同构，并且去除“加法”单位元之后的两个域上的“乘法”群也要同构。

好了，先不再讲述数学概念了，一些不熟悉数学的人可能已经糊涂了。哪怕只看完最基本的概念，我们也会震惊于伽罗瓦的天才头脑。一个16岁才开始接触数学、21岁就因决斗而死去的年轻人，是如何在那短短5年的时间里面，想通如此复杂的数学构造、得到如此美妙的数学结论的呢？

我无法想象1830年到1832年这段时间，伽罗瓦在食不果腹、不断入狱的条件下，在把主要精力都投入到政治斗争的情况下，是如何继续深入思考他的数学研究课题的。在我看来，即使衣食无忧的情况下想把伽罗瓦的理论全部学懂，都是不容易的，何况是创造出来。

由于伽罗瓦的研究成果是以上面提到的方式展现在世人面前的，因此没有人能够准确知道他到底是如何想到这些概念和证明的，先后顺序是怎么样的，思维总体上是怎样贯穿的？以下只是我个人的猜测。

（1）伽罗瓦可能首先从“域”的角度出发，思考了域的扩张。

我们知道，有理数域Q是最小的数域，实数R、复数C也都构成一个数域，那么是否存在数域，范围大于有理数Q但是小于实数R、或者大于R小于C呢？甚至是否存在数域，其范围大于Q小于C，同时又不完全包含或者包含于R呢？这要从最小数域的扩张开始，域的扩张称为扩域。

扩域：把某个域F中添加进一个或几个不属于这个域的元素，在不改变原来域的“加法”和“乘法”的条件下，按照域的定义形成的新域E被称为原来域的扩域，记为E/F。

比如，我们在有理数域Q上添加一个无理数 ，形成一个新的数域 ，则 就是Q上的一个扩域。由域的定义知道，这个形成的新域不只是包含 ，还包含着任何通过有理数与 进行加法和乘法得到的数。其实，除了加法和乘法，域里面还有着逆元，加法的逆元运算对应着减法，乘法的逆元运算对应着除法。也就是说，表面上域定义了加法和乘法，实质上确定了加减乘除四则运算。域是更高层次上抽象出来的结构，但是落实到我们日常的数字和运算上，与小学就开始学习的四则运算没有什么不同。

可以证明，任何可以表示为 （a,b ∈ Q）的数都属于 这个域，而这个域里面的任何数也都可以表示成为 （a,b ∈ Q）的形式。显然，这个 就是一个范围大于Q但是小于R的数域。有了扩域这个工具，我们可以构造出无穷多个数域。

（2）之后伽罗瓦考虑的应该是如何定义方程的根式可解

因为在伽罗瓦从事数学研究的那5年，人们已经在开始猜测一般的一元五次方程不可根式求解。可是，到底什么是根式求解？字面意思很容易理解，就是一个一元高次方程的解如果可以使用方程的系数经过加减乘除和开方以及它们的组合运算表达出来，就是可以根式求解的；如果不能以这种方式表达，那就是不可以根式求解的。可这样的定义虽然从语言和表达的角度来说没有歧义，但是从数学的角度来说，还不够清晰。

伽罗瓦通过自己的深入思考，给出了根式可解的更优美的定义。在了解这个优美定义之前，需要思考以下一些毫无疑问是正确的结论：

（a）一个数域里面的任何数，都可以通过这个数域中的其它数的加减乘除运算组合表达出来；
（b）除了个别特殊情况外，一般来讲，数域中某个数的开方运算的结果是不属于这个数域的（类似于√2∉Q）；
（c）把数域中某个数开方运算的结果扩张进来成为一个扩域后，扩域中的数都可以使用原来数域中的数和这个开方运算的结果的加减乘除运算组合来表达，或者说这种扩域中的数一定可以使用原来数域之内的数的加减乘除和开方运算进行根式表达；

明白了上面这3条结论，就可以知道，能否根式表达与上面说的这种把数域中某个数的开方运算的结果扩张进来形成的扩域有着密切关系。我们把这种扩域定义为纯扩域。

纯扩域：B/F为扩域， ， ， ，此时把B称为F的m型纯扩域。

显然，所谓m型纯扩域就是在域F中找一个数开m次方，然后把开方结果扩进来形成的扩域。可别小看这个纯扩域，根据前面的分析，纯扩域B中的任何数都可以通过域F中的数的加减乘除和开m次方运算得到。如果继续这样扩域下去，把F扩为 F1 ，把 F1 扩为 F2 ，...，无论多少次这种扩域，只要是有限次，最终的扩域 Fn 中的数都可以由域F中的数经过加减乘除和开方运算得到。由此，引出一个新概念，根式塔。

根式塔：不断扩域形成的域列， ，如果每个扩域 （i=1,2, …,r）都是一个纯扩域，则称此域列为一个根式塔。

于是，数域F中的数通过加减乘除和开方运算所能得到的数，一定包括在某个根式塔的 之中。由此，伽罗瓦给出了根式可解的更清晰优美的定义。

根式可解：设一元多次方程f(x)的全部系数都包含在域F之内，此方程的全部根都包含在域E之内，且E是包含f(x)全部根的最小域（此时称E为F上多项式f(x)的根域），如果存在根式塔 ，且 ，称域F上的方程f(x)根式可解。

看到伽罗瓦给出的根式可解定义，我有一种感觉，也许伽罗瓦的脑子天生就是结构化的，他可以直接在一个大的范畴上进行思考和逻辑推导。本来通过语言描述的根式可解是一种模模糊糊的东西，但是经过伽罗瓦重新定义的根式可解变得清晰明确，有数学实体可以抓了。

从前面的介绍我们知道，根式可解需要找到一个根式塔，根式塔是一个域列。只知道这些，我们还是解决不了方程是否能够根式求解的问题，因为我们仍然不知道怎样判断是否存在这种根式塔？

伽罗瓦在思考这个问题的时候，发现或者说找到了一种对应关系——伽罗瓦对应。应该讲，这种对应关系是人类思维领域的“神来之笔”。我无法想象伽罗瓦到底是通过怎样的思考发现了这种对应关系，对我自己来说，能够较快理解伽罗瓦对应就已经谢天谢地了。

伽罗瓦对应的发现应该是从域的自同构映射开始的。

域的自同构映射：前面我们介绍了域的同构，知道了两个域同构意味着两个域之间存在着满足同构关系的映射。显然一个域一定是和自己同构的，我们把某个域E到自身的同构映射叫做自同构映射。事实上，这种自同构映射未必只有一个，我们把全部自同构映射组成的集合记为Aut(E)。

现在开始，我们的思维要在理解群、域的基础上再上一个台阶，开始思考域的自同构映射组成的集合了。记住，Aut(E)中的元素是E→E集合间的映射。

下面再做一个稍复杂点的思维体操，定义Aut(E)上两个元素 和 之间的“乘法”为 ，证明Aut(E)在这个“乘法”下构成群。

<1> 构成群首先要满足封闭性，也就是对于 和 ，要证明 。证明如下：
请记住，Aut（E）中的 都是自同构映射，必然满足 ， （请注意，这里的“*”代表域Aut(E)中的“乘法”，“ ”代表域E中的“乘法”）。由此，我们可以得到










也即 也满足自同构映射的条件，于是 。封闭性得到了满足。
<2> 结合律：




也就是 ，满足结合律。
<3> 单位元：显然对于E→E上的恒等映射 ，满足 ，容易验证 即为Aut（E）的单位元。
<4> 逆元： ， 且 ，有


，即 时 。
于是得到， 时， 。这说明 是单射。单射必有逆映射，令其逆映射为 ，则必有 ，确定逆元必然存在。

综上，Aut（E）在上述“乘法”定义下构成群。

对群、域不熟悉的人来说，也许这个思维体操稍微有些“绕”，但是对于熟悉的人来说，这个关系是一眼就可以看出来的。我想，如果一个不熟悉的人把上述并不复杂的推导看明白后，也会感觉到愉悦的。

当然，我相信对于伽罗瓦来说，上述结论是瞬间就想到了的。不仅如此，伽罗瓦还进一步找到了群Aut(E)的一类子群——我们今天称之为伽罗瓦群。

伽罗瓦群：E/F是扩域，且E是系数在F内的某个多项式方程的根域（根域参见前面的说明，以后会将这种根域叫做F的正规扩域），E上全部自同构映射的集合Aut(E)中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut(E)的一个子群，称为E在F上的伽罗瓦群，记为G（E/F）。

概念越来越复杂了，解释一下，就是对于Aut(E)中的自同构映射，有一部分是在F上的恒等映射，也就是说F中的元素在这部分映射的作用下是不变的，这类映射的全体组成的集合也构成一个群，是Aut(E)的子群，叫做E在F上的伽罗瓦群。

有人会问，为什么要搞出个伽罗瓦群的概念呢？下面就是见证奇迹的时刻了：

设 （意思是 的系数都在 F 内），则对于任意 ，必然有 ，这是因为 作用在 F 上是恒等映射；同时，设方程 有n个根，分别是 、 、…、 ，那么 ，于是 。这说明 、 、…、 只是 、 、…、 的一组置换（意思是，还是这n个数，只是位置发生了变化，如 、 之类的变换）！

看到了么，伽罗瓦群中的每个映射都对应着方程根的一组置换！要知道，从500年前的费尔洛解出了一般一元三次方程，到400年前的塔尔塔利亚、卡丹、费拉里解出一元四次方程，一直到200年前的拉格朗日创造出了方程的预解式，高斯得到了高斯定理，都是在大量的计算推导中，模模糊糊的察觉到方程的解与根的置换似乎有关系。直到伽罗瓦横空出世，清晰的告诉世人，一元高次方程是否可以根式求解的奥秘，就藏在这些根的置换当中。

当然，只知道宝藏的位置还不够，还需要有打开宝藏的钥匙。天才的伽罗瓦找到了这把钥匙，我把它称为“神来之笔”——伽罗瓦对应。

记得讨论根式可解的时候，我们说需要找到一个根式塔，根式塔是一个域列。假设存在一个域列 （注意，这个域列不要求一定是根式塔），且E/F是正规扩域（参见上面描述），则可以证明任意 ， ，也是正规扩域。于是存在一组伽罗瓦群 ，这组伽罗瓦群都是 的子群，而且可以证明每个 的子群一定对应着一个 E 的子域，这种对应是一一对应。这个神奇的对应被称做伽罗瓦对应。

通过伽罗瓦对应，我们把对复杂的域列问题的研究转换到了对伽罗瓦群的子群列的研究上，这就是打开方程根式可解的金钥匙。

伽罗瓦那不到20岁的头脑中，可能就已经想通了这些问题。当我想到这一点的时候，心中对伽罗瓦的钦佩感无以复加。就像有人评论，欧拉作为数学史上最伟大的数学家之一，他对数学贡献的丰富程度可能远超伽罗瓦，但是如果考虑到欧拉专心研究数学60年，而伽罗瓦仅仅是残缺不全的5年，那么从天赋上讲，大数学家欧拉完败于伽罗瓦。