物理学中的群论 · 入门篇 第二章：有限群表示论

首先来回顾并详述一下第〇章：概述中提到过的群表示的定义：

• 有限群的表示. 对应一个群 ，若存在一个 阶矩阵群 ，使得 同态 映射 存在（即群 与群 同态），则称 构成了一个 的 表示. 对于任意群元 ，其对应的矩阵记作 ，称为群元的 表示矩阵. 矩阵的阶数 称为该表示的 维数.
  • 同态强调的是群 与矩阵群 之间的映射保持群乘法，即 ；
  • 如果这个同态恰好是同构，也就是群 与矩阵群 之间可以一一对应，则该表示称为 忠实表示 ；
  • 同时， 阶矩阵也可以用来描述一个 维线性空间上的变换，这个 维线性空间称为该表示的 表示空间.

为了让读者对群表示有具体的概念，首先来举几个例子：

• 自身表示. 如果群 本身就是一个矩阵群，那么它可以作为自己的表示，称为自身表示；
• 平庸表示. 对于任意一个群，都可以构造一个任意 维单位矩阵群 与其同态，这种表示称为平庸表示（因为确实没什么意思）.
• 群的一个表示. 若构造下述映射： ， ， ， ；则可以验证群乘法与矩阵乘法完全同构，上述四个矩阵的集合即构成 群的一个忠实表示.

有了群表示的概念以后，自然可以想到两个基本的问题：所有群都存在非平庸1的表示吗？如果有表示，那总共有多少个表示？这里首先简单地讨论一下这两个问题.

• 非平庸表示的存在性. 首先回顾一下第一章：有限群中提到过的重排引理，按照这个定理，对于一个 阶群，将任意一个群元 左乘所有群元可以得到所有群元的一个重新排列；也就是说每个群元都可以对应一个 元组的重新排列. 这就启发我们按照如下所述的方式构造群表示：以简单的 阶群 为例，首先任意地将每个群元与一个 维列向量相对应，例如 ， ， （并不是一个表示），任意考察一个群元（例如 ），在乘法表2中找到群元所在的行（ ），则群元 左乘可以等价为向量空间中的线性变换 ， ， ；所以可以将这个向量空间作为表示的表示空间，上述变换所对应的矩阵 即可作为群元 的表示矩阵，依次类推即可得到整个群的表示. 上述步骤不难推广至任意 阶群，这样的方法构造出来的表示称为群的 正则表示 ，也就证明了任意群非平庸表示的 存在性.
• 非平庸表示的无限性. 既然任何一个群都有表示，那么表示有多少个呢？这里给出一种无限构造表示的方法来说明非平庸表示的无限性，实际上这样的方式还有很多种. 上文我们说明了任何群都存在一种正则表示以及任意 维的平庸表示 ，那么可以选取任意个正则表示矩阵与平庸表示矩阵做 直和 ，即可得到 无穷多种 不同的非平庸表示. （两个矩阵 和 的直和定义为 ，这是分块矩阵的表述形式，其中 是全为 的矩阵元）
  • 例如对于 群，考察群元 ，可由一个正则表示和1维、3维平庸表示构造如下表示矩阵：

• 另一种构造任意表示的方法. 上面这种方法总是能构造新的表示，但总有“不讲武德“之感，有没有不增加矩阵阶数就能构造新表示的方法？还真有. 继续考察上述 群的表示，注意到最开始我们自然地选取了 ， ， ，但是这种选取只是为了简单，并不是必要的. 只要任意地选取另一组列向量，就能得到新的表示矩阵，这样能构造出来的表示也是无限的.
  • 实际上这样的方法等价于在表示空间中对基矢做变换. 回忆一下线性代数的知识，这相当于矩阵做相似变换. 也就是说，对表示矩阵做任意的相似变换，都可以得到新的表示.

至此我们说明了任何群都有无穷多个非平庸表示. 但是可以看到，直和构造的表示不仅占用了很多空间3，而且多余的空间也并没有表示更多的信息，只会徒增负担4；做相似变换得到的新矩阵其实也没有包含更多信息，本质上相同. 而且看到一个“无穷多”的数学对象，我们很自然的会想到要研究其结构，以及对于一个任意的复杂表示如何拆解为简单的表示从而剔除冗余信息. 这就是下面要讨论的内容.

这一部分将讨论所有群表示的“基本成分”是什么，以及这类基本表示有何性质. 在进入正题之前，首先补充一个“物理”版本的线性代数知识：

• 幺正矩阵. 对于 复矩阵 ，首先取转置矩阵 ，再将 中每个元素替换为其复共轭，这样得到的矩阵称为厄米共轭矩阵，记作 . 若矩阵 满足 （即 ），则称 为 幺正矩阵 ，也称酉矩阵（英文都是Unitary）.
  • 当然如果矩阵是实矩阵，那复共轭这一步就是多余的，只会得到本身；所以实矩阵的厄米共轭矩阵就是其转置，幺正矩阵的定义也退化为线性代数中学过的 正交矩阵 （Orthogonal）.
  • 因此习惯上针对复矩阵就说幺正矩阵，针对实矩阵就说正交矩阵.
  • 如果一个表示的表示矩阵都是幺正矩阵，那么称这个表示为一个 幺正表示.

一个群的表示是一系列表示矩阵的集合，这个集合表示起来比较复杂，而且也包含了太多物理上不一定用得到的信息，所以我们希望能用一个量来描述一个表示矩阵，从而反映群表示的部分特征，同时也希望是最核心的特征. 想要由矩阵得到一个量，实际上就是构造一个矩阵到数的映射；在线性代数中我们学过，这样的量一共有两种：行列式与迹. 在群表示论中，比较重要的是迹，并且给它取了一个新名字：

• 特征标. 对于一个群 ，群元 的表示矩阵为 ，则表示矩阵的迹 称为群元 在表示 下的 特征标 ，记作 . 构造这个量的重要原因之一是它的特殊性质： ，也就是说两个互相共轭的群元 拥有相同的特征标；也就是说，特征标与其说是群元的函数 ，不如说是 群共轭类的函数 . 为了表示不同不可约表示的特征标，将表示 的特征标记作 .

这样，群的某一个表示的信息就被“压缩”成每个共轭类的特征标；为了一次性表示出各个不同表示的性质，数学家构造了如下的表格：

• 特征标表. 既然所有类、所有表示的特征标都可以表示成 的形式，那么不妨将其列为以类为行，以表示为列的表格，称为 特征标表 ，如下所示： 其中 是一维平庸表示，所有表示矩阵都是 ，所以特征标也都是 ；而任何单位元必定对应单位矩阵，所以任何群的特征标表的第一行和第一列都是 . 特征标表即包含了群所有不等价不可约表示的特征标信息. 又由于 ，所以特征标表一定是方形数表.

接下来自然地就是要研究特征标与特征标表有何性质；我们将从 式开始推导：

• 在 式中取矩阵元的对角线即令 ，可得 首先对 求和（ 取 ），可得 再对 求和（ 取 ），可得 同时注意到特征标是类的函数，同属一个共轭类的群元特征标相等可以合并，所以 此时即得到了特征标（表）满足的 列正交归一关系 ，即任取 两列的特征标并视为两个列向量，那么不难看出上式类似于向量的正交归一性（仅相差一个固定系数）. 令 ，则上式化为 此即在形式上的得到了严格的正交“归一”性. 在特征标表的基础上，我们也可以列出 的表格，也可以将其视为一个矩阵： 则上述列正交归一性表明 矩阵的各个列向量之间正交归一，由线性代数知识，这样构成的矩阵为 幺正矩阵 [11]. 所以 也满足 行正交归一关系 ： 因此在实际构造特征标表时，往往首先利用 矩阵的行、列正交归一关系构造出 表，再还原为特征标表 . 原则上说，由已经确定的第一列、第一行，再利用正交归一关系，可以完全确定特征标表，但实际上对于 较大的群而言计算量过大，往往需要各种计算技巧.

下面不加推导地给出一个特征标表的例子，大家可以自行验证上述定理的成立，或者思考如何构造出特征标表.

• 例：经典例子—— 群. 由上一章的结果，其共轭类可划分为 ，上文也已经得到三个表示维数分别为 ，那么不妨直接将三个表示记作 （其中 为一维平庸表示），则其特征标表为 （更正：这里写错了，第一行应该是“1 1 2”）
  至此我们了解了群表示论中最核心的部分——特征标表. 虽然并没有给出构造群表示的方法，但是对于物理学中的应用而言已经基本足够；同时也考虑到篇幅以及“入门篇”的定位，所以不再做进一步讨论.

[8]: 主要依据A. Zee书的记号，但也有修改
[9]: 虽然实际上是由这个定理推出上面两个定理的，但入门的时候现别在意这些细节（
[10]: 只有形式意义，没有实际意义
[11]: 如果没学过，可以类比正交矩阵的行、列向量均满足正交归一性，可作为空间基矢