群论的精髓、基本套路、用途是什么？ - 林松原 的回答

数学, 理论物理, 群论, 林松原

群论就是相似论，群论的精髓就是看出两物相似。

从天空俯看著两群物体，它们的变动方式看起来是相似的，你只要看懂一群，就懂另外一群。

这些都相似

群论就是套层分解论，例如月球绕着地球转，外面又套一层地球绕太阳转，此二转可以分解开。又例如解方程式用到开根号，外面又套一层根号，此二层可以分解开。

非交换群理论就是涂层顺序论，例如画油画，先画背景天空色，下方涂一层海水色覆盖上去，再下方涂一层沙滩色覆盖上去，顺序不能相反。

又例如3D列印一层层涂上去，但偶有一段 负的涂 也就是来一段 蚀刻 ，再覆盖 正的涂 ，则可以达到超凡的特性。

相似、分解、顺序，可以用来简化问题，找到重点。

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有的书写了100页的论述，很高深的样子，其实你只要抓住他的假设是什么，推理的节奏是什么，就可以简化它。

翻看他100页里的关键字，其中10页是主节奏，90页是内层细节，而其中有50页是逻辑绕圈，40页是用特制的符号吓唬你。

你改用自己熟悉的符号写成自己的笔记，比原作更清楚。

你从批判、比较、相似、分解的角度看书，你不会被文字绕晕。

福尔摩斯从比较、分解的角度办案，不会被疑阵打晕。

群论的用处就是训练你擦除外观，只看逻辑运行的本质。

熊崽崽:

请教您：群论如何“算”数字？
数字是符号，依据群论的视角，那么，数字如何被理解为“数”的计算，包括计算过程、计算结果呢？ (1 🤍)

林松原:

在群论的世界里用 加一 加一 加一 算数字，
用圆盘转一格 再转一格 再转一格 算数字。
这算法有个缺点，就是转一圈归零。 不过有的场合这缺点反而是优点。
在群的世界只有加法没有乘法。
在域的世界有加法和乘法，但把加法和乘法看成两回事，它们只是陌生的邻居。。 (2 🤍)

熊崽崽 -> 林松原:

谢谢您的指导！
进一步地，用“加一”的行为，等价于这个“算”，那么，依照这种思维带出来的，这个计算过程，还不如算术的操作和理解，是否这个群的方向有问题呢？
伽罗瓦提出了群化运算，有没有这种可能，把符号的某个数字，与域中的数字，做匹配操作，只有“TRUE”或“FALSE”的结果。由此，传统的计算过程不再需要了，或者不用过程来操作了，就操作一次（变化的次），达到目标。

林松原 -> 熊崽崽:

群论的确不善于近战细算。 群论善于远观全局，看出这和那相似，看出一盘橘子排一圈是全局，看出东南的橘子对应西北的橘子，看出绕一圈最多能够挤入几颗橘子，再挤就要排到第二圈或往上叠高。

这些都用看的，都不需细算，由此，传统的计算过程不再需要了，或者不用过程来操作了，就操作一次（变化的次），达到目标。 (3 🤍)

熊崽崽 -> 林松原:

谢谢您的系统思维和视角。
从另一个视角说，群论还很不完善，我看到最早人类也是仅有乘法运算，后期再逐渐认知到了加法，1，以及〇、零。这样理解，如果群再发展出来“加法运算”（不同于现在的乘积运算），那么“近战细算”是否更高一层楼了。
我以为，内射模或与投射模，在某种意义上，能够承担起这个加法运算的角色。或者从变化次的叠加意义上。在程序里把内射模用于实现，会不会减少代码量。

林松原 -> 熊崽崽:

在加减乘除以上就是映射 就是查表，例如对数函数就要查对数表。查表厚厚一本，就有人做出代数式 免查表。 复杂的表 可以用多个局部代数式联集。若表厚达几十亿行 当不需要精确时，也可以用代数式近似。

若几十亿行 你看出一个大约的规则 或看出一个快速口诀 或看出一个易记的分门别类，则可以简便的处理数据。例如古人把无序的星星想成星座，赋与故事，分成12宫，一年转一圈，观其大略，南北对称，就有群论的味儿。 若细查某星座在春分之日升起于地平线，可以精确看到岁差，此则群论又不善于细算矣。 (1 🤍)

熊崽崽 -> 林松原:

谢谢您的引导。顺着您的思维带出来，映射是最核心的概念，如同同态同构的使用。
——这种思维，我理解下，是否无意中结合了扩张或者是不断逼近的想法，当扩大到某一层面之后，就必然产生了偏差，故此群不善于细算。
改变一下扩张的方向，如果朝着映射当做“乘法运算”，不同于映射，但又是映射的“模”，作为一种运算，加法运算，结合它的本意，符合乘积运算的非零因子（a*b=c，那么a|c，b|c）的破缺，也是对称性破缺，是否可行？

林松原 -> 熊崽崽:

你的回覆使我深思，浮出几个念头，焦点在于 不对称的景象 能不能映射到对称。

正方 Simon Stevin 采用斜坡映射法 收服了不对称。 反方 不是全部矩阵都能对角化。
正方 围棋布局应下在对称或两合均衡点。 反方 中盘的追杀要注意比气长，差一气则对称失效。
正方 驻波可以简化计算。 反方 不对称的气动布局 只有靠实验 没有模形简化的办法。
正方 无限维度的树状搜寻 可以直搜方差最高点。 反方 有限维度的树状搜寻 具体环境影响力甚高于简单方差。
商业公司的资源管理系统(软件)，其实只是在描述物件的流动。 正方： ERP 可以简化为物件流动， 反方：正向流和负向流 有人为添加的不对称 和流动摩擦系数。
正方 地球绕太阳轨道的椭圆 可以映射到正圆。 反方 木星干扰下的地球轨道，除了微扰级数展开 没有其他办法。 但可以提出来再思考，因为地球和木星都是绕圆，都是对称现象，从某映射观点看出去，也许可以简化计算。

往对称的天上飞出去，可以飞很远，降落到土地上走路，似必需屈服于地面的崎岖不平。

熊崽崽 -> 林松原:

谢谢您的高屋建瓴和发散思维，这种视角避免了走入死胡同的境地。焦点在于“不对称的景象，能不能映射到对称”，一针见血。确实感觉到逻辑推演容易陷入惯性的闭环中，而不可察知，从不对称的景象中，如何引导到映射的正确构造上，提了很好的提醒。

——道德经曰“二生三”，容易考虑到的是二合一，如何跳出“一”的惯性，规避循环逻辑的陷阱，找出“三”来，看到新的对象、分类、映射，非常关键。我以为，前述的加法运算，需要借助于您的提醒。

正方和反方的实例，非常典型地构造“能不能映射”的方式。以第一个实例说，我理解下，矩阵不能全部对角化跳出了“斜坡映射—>不对称”约束或陷阱，因为奇异矩阵的存在，打破了斜坡映射的惯性，创造了新的映射方式（delta之矩阵），由此获得非对称的认知，基于对称、不对称之外的分类。

——回到群的近战细算上，是否发现一种全局庙算、微观细算之外的非对称类型，从而深刻理解细算。如乘法运算已知下，要构造加法运算，必须明确认知到非对称运算，既不是乘法，也不是加法的运算，才真正理解出加法运算来。再如同态、同构之外的非对称映射，才真正理解乘法运算的因子k、1，以及非对称映射的0，是何种意义。

我不是西门庆: 厉害了我的哥👍 (6 🤍)

ATatatat: 大佬，我数学水平有限但有个问题想请教一下。'"范畴论"研究"数学结构"中的共同特性'，那么"范畴"是"数学结构"上的一个群吗？ (3 🤍)

氰化钠111: 感觉像是一种属性, 一般的特征😱

慕淹: 反过来，群是一个数学结构上的范畴，群范畴。 (1 🤍)

知乎用户dUVQOd -> 慕淹: 还有几个群呢。

青鸟:

你这么一说，
约等于易经
很赞 (5 🤍)

Cincin: 如何看书的那一段写的太好了，的确就是如此 (5 🤍)

parker liu: 满满的范畴论的感觉 (3 🤍)

ryx: 所有数学都这样，跟群论没关系

清风萧笛: 开门见山，言简意赅！ (1 🤍)

李自作: 这才是真学问，一眼看出本质。

李oo: 牛批牛批！

慕容渊: 台湾是我国宝岛啊。😂😂😂

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