从零学分析力学（拉格朗日力学篇）

牛顿以相对性原理和伽利略变换为框架，提出了牛顿运动定律，发展出一门基础物理学科——牛顿力学，这是经典物理学史上最高的丰碑之一。

严格地说，牛顿力学是经典力学中的一部分。在牛顿之后，拉格朗日和哈密顿相继发展了新的经典力学体系，即拉格朗日力学和哈密顿力学。

牛顿力学着眼于力、动量等矢量，牛顿运动定律也是矢量形式，故牛顿力学又称为 矢量力学 。

拉格朗日力学和哈密顿力学则看重系统的能量等标量，通过变分原理建立系统的动力学方程，所以拉格朗日力学和哈密顿力学合称为 分析力学 。

在这一篇文章中，我将从牛顿力学引入，进而详细介绍 拉格朗日力学的主线 。

在牛顿力学中，我们通过牛顿运动定律确定物体的运动状态。首先利用牛顿第二定律对每个物体写出微分方程： ，其中力矢量一般可以通过其他规律得到。再结合已知条件和初始条件，可以得到物体的运动方程 。

为直观地得到物体的运动规律，我们一般将运动方程 放到 笛卡尔直角坐标系 来分析，即 。

对应地，牛顿第二定律也有分量形式，即
从理论上来说，我们通过牛顿运动定律应该能很好解决所有经典力学问题才对，为什么又发展出庞大的分析力学体系？且先看一个经典问题。

单摆问题是我们经常会遇到的一个经典问题，现在考虑用上一小节的知识来解决它。

如图所示，单摆问题是二维问题，于是建立平面直角坐标系，并列出分量形式的牛顿第二定律

这两个方程列出来我们立马就发现，由于不知道绳子的张力 ，导致这两个方程有三个未知量 ，所以我们解不了这个方程组。

我们自然而然能够想到，我们肯定把某个方程给漏了，才导致这个方程组不可解。

先来看看单摆问题和一般质点运动的不同之处。可以发现，物体的摆动受到绳子约束，像绳子对物体的作用力一般可称为 约束力 。

在单摆问题中，绳子对物体的约束体现在对物体位置的约束，很容易能够看出，物体位置与固定原点的距离保持不变，这样的约束我们称为 几何约束 。

将这样的约束表达成方程形式，有 ，这类方程叫 约束方程 。

把这三个方程联立起来，得到

这三个方程中，总共有三个未知量 ，理论上是可以解出来的。

对于一个有约束力的力学问题，按照上边的做法，实质上就是通过引入一个约束方程来代替那个未知的约束力，使得方程数量能够等于未知量数量，方程组在理论上才可解。

不过接下来还会遇到一个很大的问题，这个方程组怎么解？

你可以自己动手试一下解这个方程。你会发现，虽然能解，但过程真的太麻烦了。

我们来看看造成解如此麻烦的原因是什么？

回到我们最初的思路，我们本来是打算用牛顿第二定律的分量式来解决这个问题，这样的方程组是好解决的，因为各分量方程是独立的。

而代入约束条件后，这两个方程便耦合了，也就是说这两个分量式不独立了。

—→

事实上，我们有一种更好的思路解决这类问题。

刚刚我们在描述单摆运动状态的时候，用的是笛卡尔坐标系的 两个变量去描述。

然而由于绳子的约束存在，本该独立的变量 变得不独立了，比如说 完全可以用含 的式子来描述。

也就是说，已经不需要两个变量描述单摆运动，只需要选其中一个变量即可。

那么我们是不是用含 的式子来替代 就可以了？

你真这样做就会发现，这和上面的解法本质上还是没有区别。

有一种很自然的想法是，单摆的位置通过上摆的角度就能够确定下来，那我们就可以用这个角度来对应摆球的位置。

也就是说，我们把原来的直角坐标系拿掉，用新的坐标角度 来描述摆球位置。

之前解方程的难点在于张力 未知，现在我们选择用角度来描述位置，而且张力 对角度 没有影响，问题变得好办许多了。

为避开张力 ，可以沿着绳子的垂直方向列牛顿第二定律，即 。

对于一般的单摆问题，我们只能求解角度比较小的情况，这时候有近似 ，于是上述方程可化简为

这种类型的方程我们很容易求解，具体求解我们就不去探究了。

这里引入的角度 是极坐标，但它还属于一个更大的类别—— 广义坐标 。

广义坐标指的是不特定的坐标，只要它能够描述力学系统的状态即可，像我们常见的极坐标、球坐标、柱坐标都属于广义坐标。

通过引入广义坐标 ，张力 就神奇地消失了。合理推广一下，对于有约束力的问题，只要我们选取合适的广义坐标来替代直角坐标，约束力带来的麻烦就能够很容易解决。

在更复杂的问题中要消去约束力，实际操作中需要用到约束力的一个重要性质—— 约束力不做功 。

这个比较好理解，因为有很多约束力往往是和质点运动方向垂直的。

比如说，单摆问题中的绳子拉力与摆球运动方向垂直；质点沿光滑曲面运动时，曲面的支持力是约束力，方向为曲面法向，也与质点运动方向垂直。

不过我们刚刚谈到的例子还是有局限性，约束力不做功也是不完整的说法。

要完整描述这句话需要引入一个新的概念—— 虚位移 。

在我们一般认识中的位移，也称为实位移，即真实存在的位移。虚位移，顾名思义，是不存在的位移，或者说假想的任何位移。

打个比方，假设你现在位于故宫中央的太和殿，你的目的地是正北方的神武门。按照最近的原则，你应该往正北方向迈出第一步，这一步是实位移。

而如果你有一种“瞬间传送”的超能力，可以不消耗时间，就能往任意方向迈出无限小的一步，这样的位移是虚位移。

但这种“瞬间传送”有一个限制，就是你还是只能在地面上，就算说地面给你的约束还是得遵循。

严格地说就是， 在时间和空间位置确定的情况下，虚位移是符合约束条件的任意无穷小位移，用符号 表述 。

同样，虚位移也有对应的 虚功 ，其定义和实位移的定义是相似的，即力和虚位移的标量积。

我们现在要讨论有约束力的问题里，约束力做的虚功有什么特点。

先看一个简单的例子，一个质点被约束在光滑曲面上运动，这时的约束力就是曲面对于质点的作用力。由于曲面是光滑的，曲面对质点不存在摩擦力，只有支持力。

当这个曲面是平面时，支持力方向显然是沿平面法向。对于一般的曲面，支持力沿曲面在质点位置处的切平面的法向。

而质点的速度必定在质点位置处的切平面内，故质点的虚位移也在切平面内，这说明质点的虚位移和所受约束力相互垂直，所以 约束力所做虚功为零 。

现在再来看更复杂一点的情况。两个可看作质点的小球在光滑平面上运动，小球之间存在一根质量可忽略的刚性杆。

这个时候小球所受的约束力就有两个，一是平面的支持力，二是杆对小球的作用力。

从前面的论述我们知道，支持力做的虚功为零，但杆对小球的作用力和虚位移不一定垂直，所以杆作用力的虚功不一定为零。

难道说，我们刚刚得出的结论，约束力所做虚功为零，是错误的?

别着急，对于多质点的系统， 要考虑约束力对整个系统的虚功 。

这个两质点系统所受约束力共有四个，有两个是平面对分别这两个小球的支持力，这两个支持力的虚功一定为零。

接下来，考察一下杆作用力的虚功。在这之前，先考虑一下这两个小球的虚位移存在什么关系？

我们知道，虚位移必须满足约束条件，而刚性杆的约束方程可表达为 。

因为我们想要知道的是位移无穷小的情况，考虑对这个方程进行一次 微分运算 ，可得到

故 。

有人会有疑问，虚位移用的不是 记号吗，怎么用了 做微分运算？

这里先用一个已知结论： 和 的运算规则基本相同 。也就是说，将式子中的 改换成 也是成立的。

故有 。当然 和 的数学物理意义是不相同的，在后面会详细讲。

继续看虚功，由定义可知，虚功由牛顿第三定律可知，刚性杆对小球的作用力是等大反向的，而且和两小球连线共线。

故可设 ，其中 是比例系数。

将此式代入虚功表达式有
其中最后一步是根据约束方程得来的。

至此，我们可以得出结论， 在这一情景下，力学系统所受约束力的总虚功为零 。

那么，我们能不能推而广之，认为三个及以上质点的系统，约束力的总虚功也一定为零？

很遗憾，答案是不能。

那么，无法推广是不是就意味着约束力做功这条路就堵死了呢？

还好，答案也不是。

事实上，前文所举过的例子都是比较理想化的模型，比如说光滑性、刚性等等都是很理想化的性质。

那好，我就将我讨论中的力学系统中的约束，都看作是理想化的，那么系统约束力的总虚功也就为零。

我们将满足这一条件的约束，称为 理想约束 。而且一般来说，光滑没有摩擦力就是理想约束。

到现在为止，我们得到这样一个结论： 力学系统所受理想约束力的总虚功为零 。

这里有一点循环论证的意思，因为理想约束就是按总虚功为零定义的，不过这也不妨碍我们理解这个事情。

在上一小节开头我们谈到，要消去约束力就要用到约束力的一个性质：约束力不做功。

接着我们花很大力气，将这结论表述得更加完整： 力学系统所受理想约束力的总虚功为零 。

现在，我们具体来看一下如何消去约束力。

思路回到用牛顿运动定律求解质点的运动状态，由牛顿第二定律可得

其中 是该质点所受的主动力， 是该质点所受的理想约束力。

为了能消去约束力，对等式两边均乘虚位移 ， 得

由理想约束的性质， ，故有 ，其中 也称为 惯性力 。

对于多 质点的系统，一样有 ，其中 代表第 个质点，这一方程称为 达朗贝尔原理 。

这也是拉格朗日力学中的第二个基本原理。（第一自然是相对性原理，相对性原理是所有力学体系的第一基本原理。）

这里有人会觉得奇怪，这不是由牛顿运动定律和理想约束推导过来的式子吗，为什么能称为原理？

我先简单解释一下什么是原理、定律和定理。

原理， 在大量实践中归纳得出 ，具有普适性，一般是不会失效的。定律，全称是客观定律， 被大量实践所证明 ，描述的是特定尺度下的世界，在其他尺度不一定成立。定理， 由原理和定律推导出来 ，目的是方便解决具体问题。

从达朗贝尔原理出发，其实也可以推导出质点的牛顿第二定律。

在无约束的情况下，质点间无相互影响，达朗贝尔原理 中的 实质上是相互独立的，且 不为零，故各 前的乘数必全为零，即 ，这也就是牛顿第二定律。

而在有约束的情况下，只凭牛顿运动定律不能解决问题，必须引入约束方程，但达朗贝尔原理无须其它方程，便能适用于有约束的情况。

从这一角度来看，达朗贝尔原理更为简洁，也比牛顿运动定律更加基本，故称为“原理”。

另外，达朗贝尔原理对于非理想约束也适用，这时只须将非理想约束力纳入主动力即可，具体如何求解后面会讲解。

由于达朗贝尔原理广泛的适用性，因此可以称之为 分析力学的基本原理 。

另外，达朗贝尔原理有一特殊情况。当系统处于平衡态，也即 中的 等于零时，有 ，这一原理称为 虚功原理 。

我们得到达朗贝尔原理后，用于稍微复杂的实际问题会发现不是特别方便，因为达朗贝尔原理带有很大任意性的虚位移。

于是，我们可以想办法把虚位移从达朗贝尔原理中去掉。

刚刚提到，无约束情况下，达朗贝尔原理 实质上是相互独立的，故 前的乘数必为零，即 。

在有约束的情况下，虽然 并不独立，但我们可以将它改造成可独立。

具体的改造需要用到广义坐标，我们在前面提到过广义坐标，这里对广义坐标进一步解释。

先看这样一个例子：如图所示，小球 1 被一根长度为 的刚性杆连接在原点 ，小球 2 通过一根长度为 的刚性杆连接，其余参数标注在图中。

按照笛卡尔坐标系，用 , 描述小球 1 和小球 2 的位置。

如果没有杆的存在，也就是说在小球是独立的情况下，由于描述这两个小球需要 共 4 个坐标，我们称这两个小球组成的力学系统自由度为 4。

考虑上刚性杆的存在，从之前单摆问题的分析可知， 和 是不独立的，比如说我们可以用 来描述 ，即 。同理， 可以用 和 描述。

所以 中只有两个坐标是独立的，也即只需要两个坐标 和 就可以描述系统的位置，所以这个系统的自由度为2。

但是用直角坐标表示会显得异常麻烦，我们考虑用广义坐标使表示方式简化。

通过观察和想象很容易得知，只要 和 能确定，这个系统的位置也就能确定。由几何关系可以得到 , , ,

从这个例子我们能得到启示，我们可以建立起直角坐标和广义坐标的定量关系。

既然如此，达朗贝尔原理 中的 ，就可以用相互独立的广义坐标来定量描述。

将方程整理一番之后， 各独立广义坐标前的乘数必定为零 ，我们就能成功地把虚位移去掉，方程得到很好简化。

接下来，我们就具体看下如何将 转化，并得到一个简洁的方程。

温馨提示: 虽然这一小节涉及到的公式推导稍微多一点点，但也是重中之重。

再次提一下一个很有用的结论： 和 的运算规则基本相同 ，这在后面的运算中仍会用到。

我们现在研究由 个质点组成的力学系统，且该系统存在 个约束力。对 个自由质点来说，在三维空间需要 个坐标描述。

每一个约束力都对应一个约束方程，从前面的讨论中己知，每一个方程都意味着有一个坐标可以由其他坐标表述。所以，该力学系统的独立坐标个数为 。

为简易描述，令 ，并设这 个独立坐标分别为 。

即 ，其中 。

我们知道，转化 和转化 的运算基本是一致的，可以先转化熟悉的 。由全微分概念，

利用求和符号得

用 替代 有

这里有一个需要注意的问题。

之前我们说过虚位移不是实际走过的位移，只是位置的一个无穷小变化，也就是说实现虚位移是不需要时间的，即 ，故

将此式子代入达朗贝尔原理 中，可得

这个式子看起来还是蛮复杂的，还需要进一步化简。

回想我们之前的目的，是为了凑出广义坐标 ，再根据广义坐标的独立性，得到 前的乘数为零。

于是，将上一式子的求和符号交换次序，整理一下可得

因为 是相互独立的，则 。

现在，我们距离成功更近了一步，因为虚位移已经被我们消去了。但还没完，方程中还有笛卡尔系里的 ，方程还得进一步化简。

这个方程中含有两项，我们分别进行讨论。

第一项是 ，这一项中 是我们已知的主动力， 是笛卡尔坐标对一个广义坐标的偏导数，这是很容易算出来的，所以这一项我们不需要多加改造。

可以构造一个新的定义，令 ， 称为这个力学系统的 广义力 ，且和广义坐标 有对应关系。

这两者相乘的量纲始终为功的量纲，比如广义坐标为角度时，广义力为力矩。

第二项是 ，这一项涉及笛卡尔系的加速度 ，改造起来稍微麻烦点。在改造之前，我们先整理一下思路。

加速度是 笛卡尔系的描述，若要转化成广义坐标，首先将位矢 用广义坐标 表出，然后再对各项求两阶导。

这一过程实在太麻烦，故不按这条路走下去。

我们要明白，坐标变换中，什么量的变换更复杂，什么量的变换更简易。

像矢量，虽然矢量本身经过变换不会改变，但是我们要得到的一般是矢量的分量，分量一般是会变化的，而且在推导时会颇为复杂（就比如刚刚说的 。

标量则不同，标量的本身是不变的，经坐标变换后，虽然其具体形式改变了，但是标量和坐标的依赖关系比较简单。

对这一问题，我们可以考虑从力学系统的动能入手。先写出表达式，动能 是体系的动能，故 。

回到刚刚欲要改造的第二项 ，这里位矢仍以二阶导形式存在，而 中只存在一阶导。

为能用上 ，需要对二阶导进行“降阶”，其实就是不想让二阶导直接出现。

我们知道，对于相乘的两个函数进行求导，有

移项可得 简写为 。

观察一下这个式子，等号左边有 的一阶导，但是等式右边没有了，我们就利用这个式子来改造第二项。

令 ， ，则有

经过我们的代入，加速度没有直接出现了，但是式子变成了更复杂的两项。但无妨，这两项都可以通过运算来和 构成联系。

接下来，我们需要运用一个很显然的结论，这个结论叫 拉格朗日关系 ，方程表达为 和 。

为了推导的连贯，先用这个结论，我把证明放在最后的附录。

将拉格朗日关系代入刚刚得到的式子中，可得到

为往 去凑，整理一下符号的顺序，可得到

又 ，故 。

于是，第二项也化成了一个很简洁的形式，我们将第一项和第二项代入原来得到的式子。

回顾一下，原来得到的式子是 ，而且我们定义广义力 ，故式子化简为 。

移项得到 。

这一组方程就是一般情况下 拉格朗日方程 。其中， 为体系 总动能 ， 为 广义坐标 ， 为 广义速度 ， 为 广义力 。

另外还有一个定义， 广义动量 ，不难验证，令 ， ，则 。

拉格朗日方程也可以推导出牛顿第二定律，这很容易证明。

取笛卡尔坐标系，有 ， ，又动能和坐标无直接关系，拉格朗日方程则化成 ，也即牛顿第二定律。

不过到这还没完，拉格朗日方程存在另一特殊情况：力学系统所受的主动力全是保守力。