1.1 微观世界初探

天才物理学家费曼曾说过，假如某种大灾难导致所有的科学知识都丢失了，只有一句话可以传给下一代，那这句话应该是什么呢？他觉得应该是——所有物体都是由 原子 构成的。当然，这里的原子泛指构成物质的基本单元。作为一个接受了九年义务教育的现代人，我们把这句话当作常识，但对于几百年前的人们，要相信这句话并不容易。我想起了几年前在火车上碰到的一个小朋友，大概五年级，她看到了我的一本物理书，于是问我物理是研究什么的。我说：物理研究的是物质怎么运动的，也研究物质是由什么组成的，你看这周围的所有东西都是由一个一个原子组成的。她听后很惊讶，拿起一张纸看了半天，问：那我怎么看不到原子呢？几百年前的人也是这么想的，你说物质是一个一个原子组成的，那你倒是拿出证据啊！因此虽然早在公元前四世纪古希腊哲学家留基伯与他的学生德谟克里特就提出了原子的概念，但由于没有确切的实验证据，赞成者与反对者谁也说服不了谁，这一观点也就只能是一个纯粹的哲学问题。

那么，是什么时候物质的原子性上升为了一个科学问题呢？这一时间可能比大家想象中要晚——1803年，比牛顿力学建立要晚一百多年。这一年英国物理学家、化学家道尔顿提出了近代意义上的原子论，用它解释了化学反应的倍比定律，即不同化合物分解得到的元素之比为简单的整数比。之后盖·吕萨克、阿伏伽德罗等人对气体进行研究时，也提出了类似的思想。1826年布朗观察到液体中灰尘的无规则运动，进一步坐实了不可见的微粒的存在。此时人们理解的原子的形象是带各种抓钩的实心小球，原子的结合靠抓钩，到1833年时才由法拉第认识到原子间的结合力是电力。同时法拉第也猜测到电量可能存在基本单元——即现在被我们熟知的元电荷。但元电荷和原子的关系直到1874年才被斯通尼正式提出，他认为原子所带电荷为元电荷的整数倍（ 当然，现在我们知道他所说的原子实际上是被我们称为离子的东西 ）。可见，当时的人们认为原子没有内部结构，各种电性质是原子本身具有的。

19世纪末，人们开始认识到原子里面可能有东西，这种认识不是自发产生的，而是由几个著名的实验促成的，其中最重要的是1890-1897年期间休斯脱、考夫曼、汤姆孙等人各自独立进行的的阴极射线实验。他们都测量得到了阴极射线的荷质比，但只有汤姆孙意识到阴极射线本质上可能是一种比原子小得多的带电粒子—— 电子 。从此，原子的不可分割性被打破，人们认识到原子是有内部结构的，至少是由带负电的电子和某种带正电的物质组成的。

既然原子有内部结构，那自然要为它设计一种理论模型来描述其内部的正电物质与电子如何分布。1898-1907年，汤姆孙提出并完善了一种原子模型—— 葡萄干布丁模型 ，他认为原子内正负电荷总量是相等的，正电荷物质均匀的分布在球体内，而电子像一颗颗葡萄干一样镶嵌在球体内的同心环上。由于汤姆孙当时已是举世闻名的物理学家，他的模型在当时所有的模型里最为有名。同时，日本物理学家长冈半太郎也提出一种“ 土星模型 ”，即正电荷集中于球体中心，而电子均匀分布在一个绕中心的旋转圆环上。但这种模型是不稳定的，电子会由于向心加速度而辐射电磁波损失能量，最终导致原子崩溃，于是长冈半太郎也没深究下去。

然而，最有名的汤姆孙模型最终被实验否决，而土星模型这种看起来有明显缺陷的模型却被实验支持。得到这一实验结果的正是汤姆孙的学生卢瑟福的团队（导师震怒(╯▔皿▔)╯）。1909年，卢瑟福指导他的助手盖革及他的学生马斯登进行了 α粒子轰击金原子实验 ，发现有大约1/8000的α粒子发生了大角度散射。这是汤姆孙模型所无法解释的，因为这种模型中α粒子与单个金原子的散射偏转角最大不超过0.001rad，产生大角度偏转必须与上千个金原子连续作用且每次都向同一角度偏转，计算可得这种情况发生的概率为 （ 推导见杨福家《原子物理学》第2节 ）。卢瑟福在进行了一年多的思考之后，于1911年正式发布了他的核式模型。他的思想与长冈半太郎类似，原子的正电荷与绝大多数质量集中在一个尺度很小的 原子核 上，α粒子与其碰撞可能发生大角度散射，而电子依靠电磁力绕原子核旋转。可见卢瑟福模型和土星模型存在同样的问题，电子会由于向心加速度而辐射电磁波导致原子的寿命只有纳秒数量级（ 推导见杨福家《原子物理学》第5节 ），因此 长期稳定的卢瑟福原子必然会违背经典电磁理论 。

图1 (a)汤姆孙模型与(b)卢瑟福模型。α粒子带正电，它与汤姆孙原子掠射时，散射角最大，但仍小于0.001rad；卢瑟福原子的原子核可以使α粒子产生大角度散射，但它的电子会由于加速度辐射电磁波而损失能量落入核中。

这样一来，人们就不得不面对一个现实——似乎无法建立一个既符合实验结果又满足经典电磁理论的原子模型。该怎么办呢？这里卖个关子，先来看看下一段故事，故事的主角是一个跑得比谁都快的家伙，连HK记者都望尘莫及，它就是——光！

首先给大家推荐一本科普书，可能很多读者都听说过——《上帝掷骰子吗》，从光的波粒之争到量子力学建立的这段历史被这本书以非常生动有趣的方式讲述了出来，比我这儿写的强一万倍，因此推荐读者去读一读这本书。

言归正传，早在古希腊时期人们就开始探讨光的本质，由于光存在 反射折射 现象，人们倾向于将其理解为一种粒子。这样的思想一直持续到中世纪都没有人怀疑过，毕竟粒子撞到东西会反弹，这是多么直观的事。中世纪结束后，自然科学迎来了大发展，人们认识到了声音的波动本质，于是开始思考是否光也是一种波动。随着光的 衍射 现象的发现，光的波动学派逐渐兴起。紧接着大家发现利用波的概念也可以解释光的反射与折射，于是波动学派迅速壮大。到1690年惠更斯《光论》发表时，波动学派已压过粒子学派占了上风。可是这种形势没有维持多久，1704年牛顿出版了他的巨著《光学》，从粒子的角度结合他的力学体系解释了相当多的光学现象。由于牛顿不可撼动的地位，粒子学派迅速崛起，将波动学派打得溃不成军，第一次光的波粒战争以粒子学派的胜利告终。

第一次波粒战争结束后，波动学派蛰伏了整整一百年，直到1807年一个实验再度挑起了两派的战争，这就是大名鼎鼎的 杨氏双缝干涉实验 。这一实验给予了粒子学派沉重的一击，因为他们无论如何也无法解释为何两束光的叠加会造成明暗条纹，而波动学派却可以轻松地解释这一点——明处两束光同相叠加，暗处两束光反相抵消。在此之后波动学派迅速反击，1819年菲涅尔建立了光波的衍射理论，这一理论预言圆盘衍射中的亮斑，被实验证实；1850年水中光速的测量结果也支持了波动观点。最终，粒子学派在1861年迎来了它的致命一击——麦克斯韦建立电磁理论并预言 光是一种电磁波 ，于是第二次光的波粒战争以波动学派的胜利告终。

然而，光的粒子学说就这么消亡了吗？表面上看是这样的，但是谁都没有想到几十年后它会以另外一种形式卷土重来——热现象。众所周知高温的物体会发光（ 实际上任何温度高于0K的物体都会辐射出光，只不过不是可见光 ），那么就有了一个问题，如果抛开反射的光，物体自身辐射的光谱是什么样子？这个问题史称 黑体辐射问题 。1889年O.lummer（ 不知道该怎么翻译这个名字 ）等人利用实验测定了黑体辐射光谱。1893年维恩通过一定的假设，利用麦克斯韦速率分布推出了一个黑体辐射公式，这一公式在短波部分和实验符合很好，但在长波部分和实验有偏差，这说明维恩的假设有一些问题。1900年瑞利使用经典电动力学和统计物理严格推导出了一个黑体辐射公式，然而这一公式在仅在长波部分与实验结果贴合，在短波部分直接发散掉了，简直比维恩公式还离谱。由于这些困难，黑体辐射问题被开尔文归为物理学的两朵乌云之一（ 另一朵是迈克耳孙-莫雷实验的零结果，导致了相对论的诞生 ）。

那么这个黑体辐射问题和光是粒子还是波有什么关系？这就要谈一谈普朗克的工作了。1900年底，普朗克利用数学方法将维恩公式与瑞利公式结合，凑出来了一个新的黑体辐射公式，这个公式与实验结果出乎意料地贴合，不论是长波还是短波部分。后来他意识到，如果想要严格推导出这个公式，必须假定光的能量在其发射和吸收时是一份一份的，他把这种假定命名为“ 量子 ”。这个假定在当时是相当奇怪的，因为这意味着光在发射和吸收时的行为和一个个粒子一样。普朗克当时也无法理解这一点，他一度认为自己提出了一个错误的物理概念，但潘多拉的魔盒已然打开，第三次光的波粒战争正式爆发。

图2 黑体辐射的各种公式曲线，手绘可能有点不标准，见谅。

将光的量子（ 简称光子 ）这个概念发扬光大的是爱因斯坦。1905年，他利用光子的概念解释了 光电效应 实验的结果，这成为了光具有粒子性的又一间接证据。真正将光的粒子性直接展现出的实验是1923年康普顿进行的 X射线散射实验 ，他发现X射线与材料作用时，散射光的波长会变大，且散射角越大波长改变越多。这说明X光与原子的作用就像粒子之间碰撞一样，自此光的粒子性正式确立。这下波动学派和粒子学派都蒙圈了，你说光是粒子吧，它还有干涉衍射现象，以及麦克斯韦的电磁理论在背后给波动性撑腰。你说光是波吧，我们又确确实实看到了它的散射行为就像粒子一样。这可真是让人头秃，小小的人类似乎正在被大自然玩弄于股掌之间。不过先别急着感慨，更奇怪的事还在后面。

让我们回到对原子的讨论上来。1912年，玻尔意识到量子的概念可以应用于原子模型，以解决卢瑟福原子的不稳定性问题。 玻尔原子模型 的思路是：既然电子会因为辐射电磁波损失能量，那就假定电子运行有分立的轨道，在一个特定轨道上运动时电子不辐射电磁波，其能量和角动量是一定的——即 原子有分立的能级和角动量 。另外，还要继续假定电子只在由高能级向低能级跃迁时辐射电磁波，这样一来原子就只能发出特定能量的电磁波或光子（能量等于两能级之差），正好可以解释当时困扰大家已久的原子谱线问题。当然，原子要有一个最低的能级以保证电子跃迁至该能级后不会继续辐射，这样就会有稳定的原子存在。

玻尔在1913年正式发表了这个模型，第二年它就迎来了首个实验证据：弗兰克和赫兹两人利用电子与汞蒸气的碰撞发现汞原子只接收4.9eV的能量，史称 弗兰克-赫兹实验 。后来人们认识到这个4.9eV就是汞原子的最低激发能，这说明原子的能级是真实存在的。1922年的 斯特恩-盖拉赫实验 也验证了原子角动量是量子化的。然而随着实验的推进，人们逐渐发现了玻尔模型的不足之处。首先，很多原子虽然有能级，但其谱线的位置与玻尔模型的预言对不上，只有（最外层）单电子的原子或离子才适用于这个模型。而且，要求电子运行有分立的轨道似乎是没有道理的，当时没有任何理论可以导出这一点。种种迹象表明，玻尔的原子模型应该只是一个半成品，在它的背后还有更深层的物理没有被发掘。

事情在1923年迎来转机，轨道量子化的理论疑难迎来了一个解决方案—— 把电子看作波 ！这个天才的想法来自于德布罗意，如果电子是一个波，那么它在原子中的运动轨迹必然形成一个闭合的驻波，而驻波的波数只能是正整数，因此电子有分立的轨道。这个革命性的想法一经提出便遭到了大家的质疑，你说电子是个波，证据呢？别急，让子弹再飞一会。没过多久，电子波动性的实验证据便接踵而至。1925年，戴维孙和革末发现了 电子在晶体中的衍射现象 （ 不过他们两年后才意识到这和德布罗意波的联系 ）；1927年，G.P.汤姆孙（ 他是发现电子的J.J.汤姆孙的儿子 ）也发现了电子的衍射现象。后来人们更是发现所有微观粒子都有波动性。这样一来大家更蒙圈了，之前我们搞不清楚光是粒子还是波，现在我们连电子、原子这样的“实物”是粒子还是波也搞不清了。那干脆就不区分了，说它们具有 波粒二象性 就好了。但波粒二象性是一种怎样的物理图像？当时谁都说不清楚，直到量子场论建立之后人们才对这个概念有了较为清晰的认识（ 后面会详细说这个事 ）。

图3 电子（蓝线）作为原子中的驻波，左n=4，右n=5，n为波数。

在德布罗意提出物质波的同时，远在哥本哈根的海森堡也在进行另一项关于原子的理论工作，他的目标是建立一个与电子轨道无关的原子辐射理论。在计算的过程中，他发现必须要用到一种不可交换的乘法（ 或称不对易 ）。在与玻恩讨论之后，玻恩发现这种不对易的乘法正是矩阵乘法。于是1925年玻恩、海森堡与另一个数学家约当合作建立了一个关于不对易物理量的新力学体系，研究了本征值问题、守恒定律以及微扰论等，他们将其称为“ 矩阵力学 ”。这是第一个被创立的量子力学体系，它的核心在于 位置与动量的不对易性 ： 这彻底改写了牛顿经典力学的规则，因为基于这个不对易的表达式可以直接导出所谓的位置-动量 不确定性关系 ，即微观物质的位置与动量不能同时确定，而这种模糊的随机性是经典的宏观世界所没有的（ 在宏观世界任何东西的位置和动量都可以同时测定 ）。但量子力学也不是完全与经典力学无关，在趋于宏观时量子力学体系会自动退化到经典力学。这一点很好理解，趋于宏观时约化普朗克常数 小到可忽略不计，使得 ，即位置动量从不对易退化到对易的情况，这样一来自然就没有不确定性关系，我们就回到了一切都可测定的经典世界。

1926年，薛定谔建立了另一个量子力学体系，史称 波动力学 。他的出发点是德布罗意的物质波，既然有了波，那自然要有一个描述波的波动方程。薛定谔一开始想要建立的是相对论性的波动方程，但是他发现这种方程没法描述原子中的电子（ 这个方程其实是描述标量粒子的K-G方程 ），只好作罢，将精力放在非相对论的波动方程上。经过一番努力，他构建了一个如下形式的不含时的非相对论方程： 其中 就是物质波的波函数，E是体系的能量。这个方程被称为定态 薛定谔方程 ，它看上去有点复杂但实际很好理解：求解这个方程可以得到波函数 的具体形式，将它代回原方程就可以得到体系的能量E。薛定谔将此方程应用于氢原子发现正好可以计算得出氢原子的能级，这展现了方程的正确性与德布罗意物质波假设的合理性。没过多久，薛定谔将上述方程扩展为了一个含时的波动方程： 其中H为体系的哈密顿量。这个方程也很好理解，它描述的是 空间中的物质波 如何随时间t演化（ 就好比牛顿方程 描述的是粒子的位置x如何随时间t演化，在波动力学中只不过将粒子的位置x换成了物质波的波函数 ）。一个含时理论的诞生就意味着物理系统拥有了新的动力学，于是第二个量子力学体系宣告创立。虽然波动力学的形式在创立之初与矩阵力学毫无相似之处，但人们很快证明了两种体系的等价性，也就是说它们俩是同一种理论的不同表述罢了。

波动力学建立后，大家很快意识到一个问题：你的波动方程确实很漂亮，但方程里的波函数有什么意义呢？这个问题最终被玻恩解决，玻恩在用波动力学研究散射问题时正式指出： 波函数的物理意义是，其模平方 表示粒子某时在某处出现的概率密度。这在当时的物理学界引起了轩然大波，因为大家觉得在一个基本理论中引入概率实在是一件难以置信的事。不过波动力学实在是太好用了，最终大家还是决定接受这个理论，并用它研究微观世界的各种问题。至于概率是不是真的存在，who cares?

事情发展到这里已比较圆满，我们拥有了一套处理微观问题的基本理论工具——量子力学，它已可以解释相当多的实验现象，但仍有很多难以处理与解释的问题。比如实验发现的半整数量子数、泡利不相容原理、波粒二象性的物理图像等。这些疑难集中体现了非相对论性量子力学的不足，暗示在一个与（狭义）相对论结合的量子理论中有更深刻更本质的物理存在。总之，冒险越来越深入了。

本节内容的时间线总结如下：

最后留几个问题给不仅仅想看热闹的读者，可以在评论区交流一下自己的想法。

1. 估算卢瑟福原子的寿命。文中提到卢瑟福原子中的电子会因为加速度而辐射电磁波，最终失去能量，轨道逐渐降低导致原子崩溃。我们采用一个简单的模型：考虑非相对论的氢原子，电子在库仑力的作用下绕原子核旋转，其辐射电磁波的功率为 ，其中 为库伦常数， 为元电荷， 为光速，a为库仑力为电子提供的向心加速度。设电子质量为 ，电子初始轨道半径为 ，假设电子轨道降低的过程中其动能近似不变，试计算电子落入原子核所需的时间。（计算过程中可能会用到高中水平的微积分）
2. 为什么光子假说可以解释康普顿散射实验的结果？文中提到1923年的康普顿散射实验发现末态光波长随散射角增大而增大，将光视为光子就可以解释这种现象。现在我们采用一个简单的模型：一个能动量为 ， （λ为波长）的光子撞向一个静止的质量为m的电子并被其散射，散射后光子波长变为 ，电子能量变为 。设散射角为θ，散射的过程满足能动量守恒，试计算康普顿散射中末态光子的波长与散射角的关系。（计算的过程会用到狭义相对论）
3. 塞曼效应。文中提到原子中的电子由高能级向低能级跃迁时会释放能量等于两能极差的光子，一个特定能量的光子会在光谱中留下一条谱线。如果将原子放在磁场当中，电子就会在原能级的基础上具有额外的磁势能 ，其中 为一个常数，B为磁感应强度， 为磁量子数。这样一来原先的一个能级就会分裂为m个能级，从而导致原子的一条谱线分裂为多条，此为塞曼效应。根据跃迁选择定则，两能级之间可以发生跃迁的条件为二者的磁量子数之差 ，那么一般来说，置于磁场中的原子的一条谱线会分裂为多少条？