图形学相关的基本数学

一堆东西，就是一个集合。例如桌子上有一堆苹果，就可以说，这是一个苹果的集合。旁边放了一堆干果，就可以说，那是一个干果的集合。这里有 100 个数字，都是整数，那这就是一个整数集合。

下面是一些常用的集合

• ℝ 实数集合
  实数包含有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无理数就是无限不循环小数
• ℝ+ 非负实数集合
  理解了实数集，这个非负实数集合就好理解了，就是把把负数去掉
• ℝ2 有序对，像二维的坐标，就属于一个有限对，(x,y)
• ℝn 在 n 维笛卡尔空间中的点
• ℤ 整数集合
• S2 在单位球面上的 3D 点

上面的这些常用的集合，大概了解一下就好了，不用详细的去探究，只要大概知道是什么，有这个名词的印象就 OK，等用到的时候自然就了解了。

映射和编程上的函数很类似，输入参数，输出结果，或者说，给函数一个 A，函数进行运算后，会返回给你一个 B。而映射，类似，就是将一个东西从 A 变成 B。

f:ℝ↦ℤ 这个东东，可以这样解释，有一个函数叫做 f，这个函数呢，接收一个输入，这个输入是ℝ，也就是上面说到的实数类型的数，注意，这里是输入一个实数，而不是输入实数集合，这里的ℝ可以理解成编程函数中的数据类型。然后呢输出一个整数类型的数。基本上可以当作编程语言中的函数调用。

映射，是将一个集合中的元素，映射成另一个集合中的元素。可以说，你从 A 集合中找一个元素，扔进映射函数里，那么映射函数会从 B 集合中找一个元素，再扔给你。

通俗来讲，逆映射就是映射反过来，你从 B 集后找一个元素扔进映射函数，映射函数会从 A 集合中根据映射规则找一个元素还给你。映射中，有一个名词，叫做 双射，就是说，对于 A 集合中的任何一个元素，都能在 B 集后中找到唯一一个与它一一对应的元素，并且，对于 B 集后中的任何一个元素，也都在能 A 集合找到唯一一个与它一一对应的元素。这种情况，就叫做双射。

区间可以理解为一个数值范围，这个范围内的元素放在一起，也就是我们前面学到的集合。例如一周有 7 天，数值范围就是从星期一到星期日，某幼儿园小朋友的身高范围是 80cm 到 140cm 之间的，这些都是区间。我们从整数集合上定义一个区间，例如 [1, 15]，意思就是从 1 到 15 这 15 个数。用中括号[] 表示的区间叫做闭区间，用小括号()表示的区间叫做开区间，还可以混合使用，例如 (] 或者 [)，这种分别叫做半开区间和半闭区间。那它们有什么区别呢？中括号，表示区间范围包含起始或结束数值，小括号表示区间范围不包含起始或结束数值。

• [1, 10] 表示区间范围是从 1 到 10
• (1, 10) 表示区间范围是从 2 到 9
• (1, 10] 表示区间范围是从 2 到 10
• [1, 10) 表示区间范围是从 1 到 9

并集: 给定两个集合 A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的 并集，记作 A∪B，读作 A 并 B。

交集: 给定两个集合 A，B，把所有即属于 A，又属于 B 的元素拿出来，组成一个新的集合，这个集合，就叫做 A 与 B 的 交集，记作 A∩B。

区间可以做减法操作，A-B，表示的是，从区间 A 中，去掉属于属于区间 B 中的元素。

我们先来看一个简单的计算 34=3∗3∗3∗3=81 这个是不是很简单？3 的 4 次方就是 4 个 3 连续相乘，最后结果是 81。这叫做幂运算。

而对数呢，其实就是幂运算反过来，上面我们 3 的 4 次方，等于多少。而现在，我们要计算 3 的几次方等于 81 呢？用公式来表示，就是这样子的 y=log381 ，所以这里的 y 就是结果，也就是 4。只要记住一句话，就很好地理解对数了，就是计算一个数的几次方等于另一个数。

二次方程就是我们熟悉的 ax2+bx+c=0 这种类型的。我们从几何的角度来考虑这个方程，y=ax2+bx+c ，这个方程是一个抛物线，而方程的解，就是这条抛物线与 x 轴的交点。有可能是 0 次，1 次，或 2 次，也就是说，最终的解可能有 0 个，1 个或两个。就像下面的图像。

一个角，是由两条射线从同一个原点，但是射向不同方向而构成的。这里，我们将角放到单位圆上来说。使用两个射线，从圆的原点出发，切割单位圆，看下面的图。

这里，我们使用的单位是弧度。弧度是基于圆的半径的纯计量单位，也就是 “半径环绕圆周” 的概念。一个整圆的弧度是 2π，也就是 360 度。上图中我们用两条射线去切割圆，会产生两个区域，一个大的，一个小的。通常约定是使用小的弧形，来表示角。

关于弧度和角度的换算。因为单位圆是 2π 弧度，360 * 度。所以 *π 弧度就等于 180 度。所以 1 弧度 = 180 度 /π

将弧度转为角度：乘以 180，除以 π

将角度转为弧度：乘以 π，除以 180

三角函数最基本的就是我们初中学过的，正弦 (sin)、余弦 (cos)、正切 (tan)，而这些三角函数，都是基于 直角三角形 而建立的。

看下面一个直角三角形的图，我们先把三条边的的名字标注上

图片来自数学乐

对于直角三角形中某一个角θ来说，

1. 对边，就是对面的边，
2. 邻边，就是旁边的边，
3. 斜边，就是整个三角形最长的边。

而上面提到的三个基本的三角函数，就和这三条边有关。

正弦 sin(θ)= 对边斜边 对边斜边

余弦 cos(θ)= 邻边斜边 邻边斜边

正切 tan(θ)= 对边邻边 对边邻边

其实就是用一条边的长度除以另一边的长度。
关于三角函数就暂时介绍这么多，其实里面还有很多内容，这个我想等在图形学中用到时，再详聊这方面的内容。

向量在图形学和游戏开发中有大量的应用 ，那么什么是向量呢？其实就是一个方向，或者说一个偏移！例如，用手指指向天空中某颗流星，这就是一个方向。有一个人问你，超市在什么地方，你说，从这里出发，向左走 50 米，然后向前走 30 米，这里就有了两个向量，一个指向左边，一个指向前面。

向量是有大小的，上面说的向左走 50 米，这里的 50 就是可以理解为大小。

两个向量，只要方向相同，大小相同，那就是一样的，和向量的起点无关。

向量，与坐标系是息息相关的。现要只要记住，向量是偏移，是方向，就可以，不管怎样的数据结构去标识，不要把值理解成一个点就可以。

向量可以相加，相减，相乘。这里我们暂时只讨论加和减。

两个方向相加，会得到什么呢？假设你站在 A 点，然后向左走了 50 米，到达 B 点，然后从 B 点又向前走了 30 米，到达 C 点。这里有两个向量一个是从 A 点到 B 点的向量，我们表示成，→AB。第二个向量是从 B 点到 C 点，我们表示成 →BC。那两个向量相加的结果呢，就是一个从 A 点指向 C 点的向量，我们表示成 →AC。

向量相加，不管中间加了多少向量，最后的结果，都是从最初的起点指向最后的终点的一个向量。看下面的图

两个向量相减，会得到一个从被减向量的头，指向减向量的头。例如有两个点，A 和 B，A-B，就会得到一个从 B 点指向 A 点的向量。这个是很有用的，例如在游戏中你要计算炮弹射向敌人的方向，只需要用敌人的位置，减去炮口的位置，然后将结构标准化，就会得到炮弹的发射方向。

负向量就是一个向量大小相同，方向相反的一个向量，例如你现在朝东，那负向量就是朝西。

向量可以表示成行向量，或者列向量。

这是一个列向量 a=[xaya]

这是一个行向量 a=[xaya]

向量的大小，也叫做向量的模，怎么计算呢？例如一个向量是这样的 a=[xaya]，向量的模，是一个标量，通俗点来讲就是一个数。向量的模用双竖线表示，直接看下面的计算公式

∥x∥=√x2a+y2a