
title:      怎么向小学生解释欧拉公式？ - 持续低熵 的回答
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author:     持续低熵 (90aa5cb28702761bf193d01bb4dc7773)
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created:    2022-11-09 21:20:00
updated:    2022-11-09 21:20:00
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tags:       [数学, 数学公式, 如何通俗易懂地解释一件事]

怎么向小学生解释欧拉公式？ - 持续低熵的回答

问题描述

数学上最重要和最基本的几个数字是怎么凑成一桌的，这是怎么发生的？

话题:

数学, 数学公式, 如何通俗易懂地解释一件事

回答:

这个欧拉公式还真可以给小学生讲。当然了，首先小学生得接受两件事。第一件事是-1加1等于0. 第二件事是：把左右手臂往身体两侧伸平，右手的末端可以标记1，而左手的末端可以标记-1。

好，在接受了上面两个事实之后，我可以告诉你小学生欧拉公式是什么。

欧拉公式就是用高级语言告诉你：在上述姿势下，右手臂转半圈就和左手臂重合了。

下面是详细解释。由于-1加1等于0，我们只需要说明e的iπ次方是-1. 而实际上需要说明的是，e的iπ次方这个数乘上1等于-1. 即e的iπ次方是一个变换，它通过乘法把1变成-1. 那什么变换能把1变成-1呢？左右手往两侧伸平之后，右手末端(1)可以通过旋转半圈转到左手末端(-1)。e的iπ次方对应的操作就是转半圈的操作。

那转半圈为什么既涉及到π又涉及到i还涉及到e呢？因为旋转这件事情啊，你需要三个要素。

1 你需要告诉我转了多少角度。这个角度我们给他起个名字：π.

2 你得给旋转的东西一个初始的推动（一个初速度），它才能转得起来。这个初始推动我们给他起个名字：i.

3 你得有一个机制，将初始推动（初速度）转化为连续的旋转，以至于它可以转动指定角度。这个机制我们给他起个名字：e为底的指数。

小学生请在此停下，下面是成人内容！！！！！

欧拉公式的本质

欧拉公式的本质（极简版）：平面旋转的无穷小复观点和实观点之间的关系。

欧拉公式的本质（较简版）：虚指数函数起源于一维酉群及其李代数。一维酉群同构于平面旋转群，于是虚指数函数与旋转有关。三角函数也是描述旋转的，所以虚指数函数与三角函数有关。

欧拉公式的本质（较详细版）：

平面上的旋转全体构成的集合在几何上就是单位圆自身，因为单位圆上的点与平面上的旋转很显然有一一对应关系。

像旋转这样的连续对称性构成的集合是所谓的李群。李群的研究很大程度上可以化为研究在单位元素（即什么也不做的那个对称性操作）那里做线性近似。直观说，就是在单位元素那个位置处求对称性操作们开始变化的初速度全体。把这些东西（初速度）收集起来，称之为李代数。

平面旋转保持平面上的内积，而平面也可以看成是复平面，即所有复数。于是保持内积也可以理解为保持复数的模。转化为复观点之后，平面旋转就变成了保持复数模的那些操作。这些操作全体叫做一维酉群。一维酉群就是平面旋转群（数学术语叫做同构）。什么是酉群的李代数？很容易证明：求导数后，“保持复数模”这个性质会转化为“速度（导数）是纯虚数”的性质。也就是说：李代数是纯虚数全体。或者说： 从复数的观点看，在旋转构成的集合内部，旋转们自身运动的所有初速度就是全体纯虚数。

李群的性质很大程度上可以从李代数读出。 从李代数到李群的转换关系，就是以e为底的指数函数。 这可能和一般人理解的指数函数的定义不一样，但往往是现实中使用指数函数的时候所需要的，详情可见（自然对数的底e有什么自然意义? also 自然对数的底 e 有什么自然意义？

）。 由于初速度是纯虚数，于是该指数函数的自变量是纯虚数：虚指数诞生了！

总结一下：

从对称性分析角度看，虚指数就是将一维酉群的李代数的元素映射为酉群（旋转群）的元素，或者说更形象一点：将无穷小的（复数版本）旋转映射为实际的旋转。这样一来， 每一个纯虚数就映射到了单位圆的一个点。单位圆上点的横纵坐标自然是余弦和正弦。由此欧拉公式就诞生了：虚指数的实部和虚部是余弦和正弦。

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欧拉公式的本质

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