在物理中，群是用来刻画对物理系统的「作用」的一种代数结构。这个抽象的结构把下面几个朴素的观点有机地融为一体

• 多次相继作用的效果还是一种作用 (封闭性)
• 作用可以分解成多个作用的复合，不同的分解方法是等价的 (结合律)
• 啥都不干也是一种作用 (有单位元)
• 作用可以被反向作用抵消 (有逆元)

倘若所关心的作用可以通过 连续的参数 进行标记和刻画，那么相应的群就继承了这个“连续”的概念，升级为一个「拓扑群」，不同作用之间有了最粗糙的“近邻关系”或者说“相似度”，我们得以讨论「这个作用跟那个作用相差不大」这样的事情。在物理中，我们往往还可以进一步地要求这些作用对参数的依赖是 光滑 ^[5] 的 ，那么，此时相应的群就继承了 光滑结构 ，成为了「李群」。相比拓扑群，李群最大的优势就是我们可以 随时随地肆意地讨论“求导” 。

总结起来，李群的定义就是一个「 既是微分流形，又是群 」的东西，并且要求群乘法、取逆操作都要与光滑结构相容 (粗略地说，就是说群乘法、取逆都是无穷阶可导的操作)。

值得指出的是，这种数学对象的定义范式是很常见的，我们往往要求一个东西同时承载、具备多种代数或几何结构 (光滑结构、群结构、线性结构、度量结构，等等)，然后下死命令要求所有的这些不同层级的结构要相互协调，以此完成对一个新 (更加精细的) 的对象的定义。

李群非常有趣，但遗憾的是对它的直接研究比较困难。这个困难显然来自两点，一是它的本体，作为微分流形，往往是一个高维、拓扑非平庸、弯曲的空间，二是其代数运算是非线性的运算^[6]。

面对如此困难的问题，我们可以选择逃避。逃避可耻但有用，我们可以研究它的简化版问题： 李群的线性化，也就是李代数 。

左图是从高维空间的角度看群流形，右边是从内秉角度看群流形

把 弯的对象变直，用直的去逼近弯的对象 ，这是一种古老朴素但非常有效的数学思想^[7] 。在微分流形上，我们可以研究 任意一点 处的、沿微分流形方向的 切矢量 ，然后观察这些矢量 沿着微分流形运动时的行为 。当然这句话的潜台词就是“存在不沿微分流形方向的矢量”，也就是采取了“把微分流形放进一个更高维的空间中审视”的古典微分几何观点。这当然是一种可行的视角，不过现代数学家和物理学家更偏向使用“内秉”的观点来研究微分流形，此时，“切矢量”被定义为“对微分流形上的函数的求导操作”——但这又是未来某一个文章的话题了。

不管哪一种视角，切矢量的引入为原本非常“非线性、弯曲的空间”带来了一种 全新的代数结构 ：在每一点处，我们有一个由切矢量构成的线性空间，这些切矢量可以做加法和数乘。相比之前，这是一个伟大的飞跃，因为光溜溜的一个微分流形上面什么代数运算都没法做^[8]。很多时候，人们把这种思路称为“线性化” (linearization)。这个更加简单、大一的同学就很熟悉的结构为研究微分流形带来极大的便利：只要我们知道各点上的这个线性空间，同时知道这个线性空间如何随着点的移动而变化，那么我们就对这个流形有了深入的了解。

回到李群上。我们的李群是一个微分流形，由许许多多 (无穷多) 个点组成，然后我们希望用线性化的方法来研究它。那我们该在哪一个点做线性化呢？此时，李群的群乘法来帮助我们极大地简化问题：任何一点 都可以通过其逆 的左作用移动回单位元 ，即 ，同时也把 处的所有切矢量都搬到 处^[9] 。这实际上说的是，李群 上点点平等，在微分几何的层面上所有点 (群元) 没有任何区别，我们可以随便选一个最简单的点，比如 ，来研究其 (全体) 切矢量。

综上，我们得到李代数 的 (粗略) 诱导定义：一个李群 在单位元处的 切空间 ，称 为李群 的李代数，也记作 。更准确地，对于任何一条经过 的 中曲线 ，我们可以利用「求导」提取出它在 处的切矢量

当我们穷尽所有可能的经过 的曲线，我们就能穷尽所有 处的切矢量，获得一个切空间 。

反过来，利用微分几何的工具，我们还可以反过来定义「指数映射」 (或简单记为 )，它满足一些简单的性质：

• 对任意 ， 对任意 ， 对任意 ， * 与 「互逆」，即