现代数学和理论物理已经发展到怎样一个令人震惊的水平了？ - 影转细枫 的回答

数学, 物理学, 理论物理, 现代物理学, 现代数学

来简单说一下当前可以确认的理论物理的高度。我们最早的理论物理是为实验服务的。在那个年代，我们依然处于做大量的实验，然后总结 规律 的阶段。所以在这一阶段涌现出了一系列比较初等的定律，比如

• 热力学第n定律
• Snell 定律（光的折射定律）
• 万有引力定律
• Coulomb 定律（静电相互作用）
• Faraday 定律 (电磁感应定律）

等等。这个时候物理学理论和其它任何科学分支的理论没有本质上的差别。

后来，我们开始发现 不同的定律 之间有一些相同之处，尤其是发现电学和磁学之间的巨大相似性，进而发现原来电和磁是同一样东西。于是我们开始做 抽象 ，把电学和磁学（以及一部分波动光学）的规律都吸收到了一套 理论 中，这就是 Maxwell 的电磁理论。这一阶段的画风是这样的

• 一切电磁相关的现象均可被 Maxwell 电磁理论描述
• 一切引力相关的现象均可被 Einstein 引力理论描述
• 一切热学相关的现象均可被 统计理论描述

…………

再接下来，我们还发现 不同的理论 之间还有一些相同之处。于是我们开始了进一步的 抽象 ，创造了所谓的 theory generator，或者说是一种通用的，用于 生产 理论 的 方法 。典型的案例包括 Lagrange 动力学，Hamiltonian 力学等等。这一阶段的画风是这样的

一切经典理论均可由如下原理生成：

这里面 是作用量， 被称为 Lagrangian。为了得到 Maxwell 电磁理论，你只需要 ，为了得到广义相对论，你只需要 。是的，你只要指定一个 Lagrangian，然后上述原理就可以自动给你生成一个理论。

这看上去好像用处不是非常大。事实上在牛顿那个年代之后不久，这种方法的雏形就已经出现了。不过真正让它焕发光彩的是 1918 年（正好100年前）的一件大事：著名数学物理学家 Emmy Noether 提出了 Noether 定理，这一定理利用上述原理证明了 Lagrangian 的对称性可以导致 守恒量 。

-- 啥是 / 为什么说 "Lagrangian 的对称性"

这是非常强大的一条数学定理。要知道，物理学的对称性几乎就等同于普适性，而普适性是一套理论作为科学理论的底线级要求。所以，这条定理几乎就是在说 任何物理理论里均存在守恒量 ，并且只要你写出 Lagrangian，我们就能用一套 标准流程 把这些守恒量找出来！

一个重要的例子就是 能量 。能量是与时间对称性绑定的一个守恒量，或者换句话说，我们会把能量 定义为 与时间对称性相关联的那个守恒量。更具体一点，我们写出一个具有时间对称性的 Lagrangian，Noether 定理就能给出一个对应的守恒量，而这个量就被 定义为 能量。自此，能量守恒便不再是所谓的 经验定律 ，而是一条有严格证明的 定理 。

除了上述的两个经典的 theory generator，现在我们熟知的量子力学（当然你得把 Schroedinger 方程写成 这样的抽象形式），量子场论，以及曾经火过两回的弦理论，都是 theory generators。它们当中都有类似于 Lagrangian 或 Hamiltonian 这一类的抽象的量，在给定这些量的情况下，就自动生成理论。

总结来说，我们最早根据实验得到了一些定律，然后发现定律之间有共同点，于是把这些定律抽象成了理论，然后又发现理论之间也有共同点，于是又抽象成了 theory generator。反过来，给定 theory generator 里面所需要的量，它就会自动给我们生成理论，将理论应用于不同的情景，我们又可以获得具体的一些定律。

其实现在 theory generators 的威力还远不止于此。不过这已经涉及到目前最前沿的理论物理。你点个赞，我看看要不要继续写。

感谢大家的热情，那我更一波。不过这些内容可能就未必像之前那么好懂，也未必如 Noether 定理一般精彩，不过我会尽量写得通俗易懂一些。

一般的 Lagrangian 是某个 动力学变量 （比如粒子的位置 或者某个场 )以及 它的导数 （比如速度 或者场的梯度 ）的函数。我们通常把含导数的项称为动能项，其余的称为势能项。

先来看动能项。我们发现无论是哪一种理论，动能项往往能够被写成一阶导数的平方，比如通常经典力学里的动能项 就是速度的平方，再比如标量场的动能项 也是一阶导数的平方。个别例子中有出现仅仅是一阶导数，没有平方，比如 Dirac 场的动能项。不过无论如何，我们基本没有见过动能项中含有 超过两个 求导算子的情况。这并不是偶然，因为如果动能项中含有超过两个求导算子，就会造成一种被称为 Ostrogradsky Instability 的现象。

具体来说，就是这样的理论会允许物理系统可以有一直到负无穷的能量。为了理解这一点，我们需要 Hamiltonian。Hamiltonian 是 Lagrangian 经过一个简单的变换生成的，它的主要作用是告诉你这个系统的能量可以取哪些值。举个例子，一个经典的自由粒子的 Hamiltonian 是 ，其中 是动量， 是质量。动量可以从 一直取到 ，此时 Hamiltonian 可以取 ，也就告诉你自由粒子的能量一定是 的。

但是如果你的 Lagrangian 中含有超过两个求导算子，那么我们可以证明，Hamiltonian 会出现如下的形式 其中 是某种动量（术语上叫广义动量）， 是某个坐标。这个时候我们发现如果 可以随意在 中取值，那么 Hamiltonian 的范围也是 。这就造成了一个严重的问题，如果能量没有下界，那么这个系统（或者其中一部分）就会无止境地向能量较低的状态去演化，从而造成强烈的不稳定性，这是不可接受的。

因此，现在主流的基本理论都只含有两个以下的求导算子。含超过两个求导算子的理论其实也存在，比如用于解决某些特定问题的宇宙学模型。不过在这种情况下，我们会被迫引入一系列约束条件来消除 Ostrogradsky instability。如果你希望你的理论具有一定的普适性，这么做其实得不偿失。不过针对某些特定问题有时候还是有点用。

再来看势能项。势能项只包含我们的动力学变量（比如坐标 或者某个场 ），因此我们可以将其进行展开（类似于微积分里面的 Taylor 展开）。展开之后具有幂级数的形式

每一个 之前都会有一个系数 ，这个系数控制了对应的相互作用的强度。比如，我们知道弹簧系统的势能项是 这并不意味着其它的项前面的系数都是0，它们可能只是很小，从而使得相应的相互作用很弱因而被忽略。

这个系数的量纲是一个很值得说道的东西。在这之前我们需要知道自然单位制，没见过的同学看文末[1]。在量子场论中，这个系数并不是标准的“常数”，而是一个会随系统 能标 （可以是系统总能量，或者其中某个实体的能量）而变化的一个量。也就是说，相互作用的强度会随着能标而变化。

如果某个项的系数具有正的质量量纲，比如标量场论中，系数是 ，质量量纲是+2，那么它的强度会随着能标的下降而上升，这种项被称为 relevant；反过来，如果系数具有负的质量量纲，比如引力常量 ，那么它的强度会随着能标的下降而下降，这种项被称为 irrelevant。而没有量纲的被称为 marginal。

这个事情有什么用呢？通常情况下我们的能标是较低的，至少我们目前还不能做到让一个系统达到任意能标。在较低能标的情况下，所有 relevant 的项具有较高的强度，所有 irrelevant 的项具有较低的强度。因此我们只需要考虑 relevant 的项即可。

在场论中，Lagrangian 的量纲是+4，标量场 是+1，因此 的项就是 marginal 了， 及以上就是 irrelevant 了。于是低能情况下我们只需要考虑至多3个项。这个结论对于很多理论均适用，也即 relevant 的项总是有限个，因此低能下只需要考虑有限个势能项。

所以这是不是意味着我们通常是见不到这些 irrelevant 的项的作用呢？并不是。在高能标下，一切都要倒过来，也即 relevant 项会很弱，而 irrelevant 项很强。要获得高能标，除了注入能量以外还可以注入质量。所以在注入足够多质量以后，我们发现了 irrelevant 项的作用 —— 这就是 引力 。引力相互作用的系数是引力常量 ，具有负的质量量纲。

就先讲这么多，希望大家可以感受到现代理论物理工具的强大。通过 theory generators，我们可以高屋建瓴地做一些判断，可以得到一些对许多理论都适用的结论。我们不需要知道 Lagrangian 太多的细节，就可以根据 Noether 定理断言守恒量的存在。对于量子场论甚至弦理论这样的 generators 也一样。我们现在对弦理论依然知之甚少，不过已经足以让我们 推测 量子引力和量子纠缠很可能是一回事（所谓的 ER=EPR）。我们可以对 Lagrangian 进行细致的分析，从而判断出怎样的形式会带来怎样的结果。因此，对于现在的理论物理学家来说，与其说我们是在从现实中寻找规律从而创立理论，不如说我们在尝试 设计 一些理论。正如我们提到的，Lagrangian 不是可以随便写的，否则就要出问题。这些探索的经验让我们知道，这个自然界之所有有这些规律，这些规律之所以是这些形式，都是有更深层次的原因的。这也是为什么理论物理吸引了如此多的顶级智力为之工作。

[1] 在自然单位制下， 。也就是说，我们把长度单位定义为光在1秒内走过的距离，这样光速的 值 就是1。这样一来我们有 ，也就是说从量纲角度上讲，长度和时间的量纲是一样的。同理根据 我们有 。这个故事就是告诉你长度，时间，质量三个量纲，现在我们只需要一个，这里我们选质量。

知乎用户: 你的回答读得我心潮澎湃 (121 赞)

吴青峰 -> 知乎用户: 看不懂 (1 赞)

望江: 看来点赞的可能就我看不懂了[捂脸] (63 赞)

答应了还是会做 -> 望江: 我也是 (4 赞)

朝歌 -> 望江: 俺也一样 (5 赞)

巴啦啦能量 -> 望江: 我也是哈哈哈 (1 赞)

心血来潮 -> 望江: 汉字我还都认识，字母就认不全了。

江南欧欧 -> 朝歌: 2022年的俺也一样[耶]

KuaiYueRen: 这老师是搞理论的教授 (49 赞)

事在人为: 那么如何沟通理论物理与实验，乃至应用呢？以便推动整个科学链条进入通畅的正循环？ (39 赞)

知乎用户 -> 事在人为: 好问题。 (6 赞)

比博燃:

虽然看不懂，但是读完感觉自己可牛掰了呢

超得意 (22 赞)

沐雨橙风: 我觉得这篇回答写的非常好，让我深刻理解了现代物理学已经发展到了什么地步：作者通过浅显易懂的描述讲解了一篇我根本没有听懂的理论QwQ (18 赞)

百里可可 -> 沐雨橙风: 能体会到理论方面到什么地步，可现实呢？实验，应用，包括基础物理学的很多现象。理论出了，科技跟不上，就是不知道现在跟到那个地步？所以啊，他说了一大堆，最只说了理论这一方面，

沐雨橙风 -> 百里可可:

我个人觉得基础学科(数理化)的发展本身就是与社会发展脱节的，或者说是远高于社会需求的。基础学科的发展需要反哺，而非齐头并进。这也就是为什么每个时代引领基础学科发展的国家都是当时最发达的国家。其他国家需要在科技工业民生等方面快速积累财富，没有能力去反哺基础学科。
回到您说的这部分，我觉得物理学本身就不是一个理论能很快转化为生产力的学科，不是科技跟不上而且物理学在为人类未来的发展(估计是很久很久以后的未来)奠定理论基础。 (14 赞)

张伟: 物理专业毕业的，后来考了CPA转行做审计，物理太难了。交叉持股合并报表多层间接抵免，通常认为这些会计里难理解的东西，和量子力学相比。。。[微笑][微笑][微笑] (17 赞)

知乎用户: 没有物理学背景的人怎么样才能看懂这个答案写的是什么。 (16 赞)

蜡基知乎害我不浅 -> 知乎用户: [捂脸]有物理学也看不懂 (4 赞)

罗笑生: 答主似乎忘了杨振宁的宇称不守恒 (7 赞)

Recuerdos -> 罗笑生: 你可能需要先学习一下量子场论 (41 赞)

罗笑生 -> OYEDO: 物理学的对称性可不是几何上的对称，诺特定理说的是物理定律的对称性与守恒量一一对应，比如时间平移不变性与能量守恒，那么宇称不守恒怎么解释？ (4 赞)

木瓜 -> 罗笑生:

在批评别人之前先考虑一下自己对某些问题的了解是不是只有科普水平。
诺特定理描述的对称变换不是所有对称性而仅仅是连续变换，恰恰宇称变换就不是连续变换而是离散变换，所以宇称到底是守恒还是不守恒跟nother定理就没什么关系。
https://www.zhihu.com/question/28146336/answer/550478400 (133 赞)

Stone999 -> OYEDO: 南部阳一郎的自发性对称破缺了解一下。 (1 赞)

Berrysoft -> 罗笑生: 简单啊，不守恒就是不对称。宇称的名字里面也有个“称”，本质上就是镜像变换。本来可以变过去的突然变不过去了，就不对称了，自然宇称就不守恒了

盛夏的风 -> 罗笑生: 答主写了“几乎”

奈何桥上调戏鬼 -> 罗笑生: 诺特定理说的是“连续”对称性与守恒定律一一对应，而宇称是离散变换不是连续变换，二者无关 (7 赞)

niphy mapoet -> 罗笑生: 我说一个，答主似乎忘了中微子震荡[爱]

nopaddleboat: 看完后从心底里我觉得那个女物理物学家真牛 (15 赞)

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