title: 牛顿力学的基本思想是什么？ - 持续低熵 的回答
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author: 持续低熵 (90aa5cb28702761bf193d01bb4dc7773)
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created: 2022-11-21 11:06:40
updated: 2022-11-21 11:06:40
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牛顿力学的基本思想是什么？ - 持续低熵 的回答
艾萨克·牛顿（Issac Newton）, 力学
牛顿力学概要
1 牛顿力学研究的最基本现象是“事件”。所谓一个事件，即是通常所说的某件事于某时某地发生。事件的例子：两个点状物体相撞，某个信号被发射，某个信号被接收，或者纯粹是某个点状物体某时位于某地。
2 要标记一个事件需要四个实数，三个实数标记它的空间位置，一个实数标记它发生的时刻。这就是通常所说的空间是三维的而时间是一维的。 通过取坐标，我们把空间位置与有序的三元实数组一一对应，把时刻与实数轴上的点一一对应。我们还把时间和空间合在一起考虑，叫做时空。时空中的一个点的物理解释是，某个可能事件的空间位置与发生时刻之标记。这是建立时空模型的第一步。时空中当然可以使用任何坐标系，但下面会构造一类特殊坐标系。
3 我们把点状的物体叫做粒子。随着时间的流逝，粒子可以出现在空间位置不同的地方。也就是说，粒子的全部历史是由若干个事件组成的。把这些事件全部收集起来，我们得到时空中的一条线，这叫做该粒子的世界线。 世界线上的事件的空间位置是时间的函数。
4 牛顿力学的中心任务就是解释粒子的世界线。何谓“解释”？下文会解释。
5 牛顿力学的一个最基本假设：粒子的世界线是二次可微的曲线（一些孤立的点可以例外）。即上述的空间位置关于时间的函数存在二阶导数。从数学上看，这是极为苛刻的规则设定。
上述两种距离的定义可以使用坐标（也可以不用），但不依赖于坐标。作为特例，这个要求蕴含了同时的绝对性：“两个事件同时发生”这一性质不依赖于坐标系的选择。
7 在有了两种距离之后，我们便可以定义一些特殊的坐标系。思路和我们在平面上定义直角坐标系的思路完全一致。
在平面上，我们在取坐标系之前就预先知道有平面上两点间距离之概念。然后我们选坐标系的时候要求选特殊的坐标系，使得两点之间的距离可以用勾股定理计算，即“两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和是两点间距离的平方”。这个要求就把所有的平面直角坐标系给选出来了。
在四维的时空中，我们也做类似的事情。我们选择特殊的坐标系，使得上一条定义的时间间隔可以用时间轴上的坐标相减来计算，使得上面定义的同时发生的事件的空间距离可以用三维空间坐标系的坐标和勾股定理计算。用上述方法定义出来的特殊坐标系叫做惯性坐标系，也叫惯性参考系，简称惯性系。惯性系的坐标轴都是直线。
8 我们总可以把一个坐标系理解为一个物理观察者一边存在于时空中一边建立坐标系去标记其他的事件。在这个过程中，观察者为了便利把自己的位置定义为空间坐标原点。所以惯性坐标系的时间轴可以视为某个观察者自身的世界线。两个惯性系观察者若有相对运动，在几何上对应于上述惯性系的时间轴不平行。
9 两个惯性坐标系之间相差的变化，可以是坐标原点平移，时间反演，固定时间坐标时的空间旋转与反射，“伽利略变换”以及上述几种变换的复合。什么是伽利略变换？这是两个有匀速相对运动的惯性观察者之间的坐标变换。
10 牛顿力学试图解释特定粒子的特定世界线。它将“解释”视为两种信息结合的结果。第一种信息是粒子本身的状态，这个状态是可以随时间变化的。某个时刻的状态就是我们关于粒子本身所可以知道的全部（可随时间变化的）信息。第二种信息是外界对粒子的影响。我们希望实现的目的是：已知某一时刻的状态，已知某一段时间内外界对粒子的影响，我们能预测一段时间内粒子的世界线。如果做到了这一步，我们就认为我们合理解释了粒子的世界线。
11 如下事实是基本的实验发现：在外界环境没有变化（从而可以假设外界对粒子的影响相同）的情况下，如果粒子在某一时刻的空间位置和那时刻的速度给定了，则粒子的世界线就完全确定了。由此我们知道粒子某一时刻的状态就是其该时刻的位置和速度。
12 由于描述世界线的是位置关于时间的函数，因此第11条也可以说成是：粒子的状态是位置以及位置函数对时间的导数。由于第5条的二次可微性假设，我们得知：作为未知函数，位置关于时间的函数满足一个二阶微分方程，而某时刻的状态就是这个微分方程的初始条件。可预测性在数学上就是微分方程给定初始条件时解的存在性和唯一性。
13 第12条的二阶微分方程必然形如 “位置对时间的二阶导数”=“外界对粒子的影响”
我们把等式的右边称之为“力”，更确切的说是外界对粒子施加的外力。我们还把位置对时间的二阶导数叫做加速度。则我们得到关于单个粒子的牛顿第二定律（初级版本）：加速度等于力。
14 如果我们研究多个粒子，会发现如下基本实验事实：相同的外界环境下，他们的加速度可以是不同的。对于这一现象，我们可以解释为：对于不同的粒子，相同的外界环境施加的力可以不同。这种解释我们有时的确会使用。但很多时候更方便的解释是：对于不同的粒子，即使外界环境施加的力是相同的，粒子本身也可以有一种不依赖于外界的性质（称之为质量），使得在相同的力的作用下它们的加速度不同。质量反映了在同样外力情况下改变速度的难度，因此也称之为惯性质量。
15 比较两个粒子的质量只需要比较它们的比值。两个粒子质量的比值定义为外力相同的情况下加速度的比值的倒数。这样就以操作性的方式引入了可以测量的质量。引入质量之后，牛顿第二定律就变成终级版本：“加速度乘以质量等于外力”。第13条的初级版本是将单个粒子的质量数值设定为1的特殊情况。
加入了质量因素后，粒子某一时刻的状态就是该时刻的位置和动量（质量乘以速度）。
16 不同的惯性系里的牛顿第二定律是一样的，因为更换惯性系不改变加速度。
17 牛顿第二定律有一个特殊情况（牛顿第一定律）：没有外力的时候加速度为零。
有人把牛顿第一定律理解为声称惯性系的存在。但如果我们先确定了时空模型并用它的性质选出了惯性系，第一定律可以视为第二定律的特例。
18 需要注意的是，牛顿力学中的观察者无法判断一个参考系是不是惯性系。相应地，无法判断一个粒子是否受外力。如果你错误地将非惯性系判断为惯性系会怎么样？那你就会错误地引入一个额外的外力以解释额外的加速度。但你的两个错误相互抵消了，结果是牛顿第二定律的形式依然成立。
19 牛顿第二定律有时作为定义用，有时作为可与实验比对的物理定律用。你可以用它定义力。然后根据粒子的运动轨迹找到力的规律（表达式）。研究好了力的规律以后，接下来你预测在这个力作用下的其他粒子的运动。这预测是可以由实验验证或否证的。
20 所谓的牛顿第三定律其实是双粒子系统的动量守恒，可以通过分析空间平移对称性导出。第三定律不是与第二定律同级别的基本定律。