芬曦丽雪：能量、动量守恒

什么是能量？如果你是一位物理初学者，你的脑中浮现出来的可能是动能、势能、热能、电能等一系列东西. 但多加思考你便会感到非常不舒服——明明都是能量，为什么有这么多种？我们不妨挑几个列出来看看它们长什么样.

首先是动能. 我们想象一个质量为 的小球在光滑的地面上做匀速直线运动. 我们从 时刻开始计时，在 时刻，它的位置可以由一个从原点指向小球的矢量 来表示，那么它的动能显然是 接着是势能. 还是这个小球，我们将它提起到距离零势面上方高度为 的地方，那么它的重力势能 然后是静电势能. 在一个与点电荷 距离为 的地方放入一个试探电荷 ，它具有的静电势能
下面再来看看动量. 对于上面第一个情景来说，小球的动量就是
我们来看看，它们有什么共同点？聪明的你一定一眼就看出，上面所有的表达式中都含有 这个量，而余下的其他物理量则只和系统本身有关. 为什么 如此特殊？我们很自然地引入 广义坐标 这个概念.

现在，我们距离完整地描述一个物理系统越来越近了！我们有了广义坐标 和广义速度 ，但是我们都知道，单纯这几个物理量之间必须要有某种关联——某种受物理法则所支配的关联. 也就是说，为了去描述、预测一个物理系统的演化，我们需要一个物理量把这两个东西打包起来. 于是，我们有了一个函数 其中我们简略地将所有的广义坐标和广义速度打包起来： 由于物理系统是随时间不断演化的，因此上面的所有东西都应该是时间的函数，即

我们把这个函数 称为 拉格朗日量. 对于一个物理体系来说，拉格朗日量的具体形式确定了，这个物理系统的演化就完全确定了. 也就是说，一个物理系统的拉格朗日量包含了这个系统演化的所有基本信息. 它的重要性自然不需要我多说了.

我们的基础知识准备得差不多了，下面我们可以开始进入 物理法则 的部分了.

Almost there...

哈密顿原理，也称最小作用量原理，可以毫不夸张地说是近现代物理学最重要的原理之一. 目前为止，除去唯象的一些理论，哈密顿原理可以导出所有物理定律. 我们完全有理由相信，哈密顿原理是我们这个宇宙最基本的物理原理之一. 如此重量级的物理原理，我们还得从作用量讲起.

从哈密顿原理出发，我们可以导出著名的 拉格朗日方程.

我们接着上面的推导，将被积函数拆开： 由于 ，有 观察到

我们将右边第二项代入得到 整理一下
于是就有 由于 所以左边的第二项消失了. 原方程就变成了 我们发现， 是可以任取的，因此为了满足这条方程，括号里的东西就必须为零，因此 这就是简洁优雅的 拉格朗日方程.

在处理物理问题的时候，如果你能够正确写出系统的拉格朗日量，只需要代入上面的方程，系统的演化方程就会自然而然地蹦出来，而不再需要做任何受力分析了. 然而，目前我们并不关心这个，我们的目标是推导能量和动量守恒关系.

Tips：细心观察，你还会发现，拉格朗日量对系统演化的影响是不受常数影响的：如果我将系统的拉格朗日量从 变为 ，拉格朗日方程并不会发生任何改变. 这个性质也正是系统势能的“零势点”通常能够自由选取的理由.

为了得到能量守恒定律，我们还需要时间平移不变性的事实.

直白地说，时间平移不变性指的是：

没有哪个时间点是特殊的，所有的物理定律并不会随着时间改变.

但为了将它纳入我们的推导，我们需要将它翻译为数学语言. 事实上，时间平移不变性是指：当时间坐标从 变为 时，系统的拉格朗日量形式不变，即 也就是说，系统所遵循的物理规律并不会随系统的演化而改变.

为了得到动量守恒定律，我们还需要空间平移不变性的事实.

与时间类似，空间平移对称性是指：

没有哪个空间位置是特殊的，所有的物理定律不会随着空间位置改变.

相应的数学语言就是

几经波折，我们终于来到了这里——能量守恒和动量守恒定律. 下面让我们完成最后一点优雅的操作.

能量守恒定律是基于哈密顿原理与时间平移不变性的一个推论. 现在，我们来根据时间平移不变性来寻找这个守恒量.

首先，我们想要知道拉格朗日量 随时间的变化情况，因此我们对它求时间的全导数
由于时间平移不变，即 ，所以有 现在，我们使用拉格朗日方程，做代换 于是得到 进行一下移项，我们得到 两端积分，得到 可以看到，这个量是一个不随时间变化的守恒量，由此定义 为这个物理系统的 能量.

这就是我们熟知的 能量守恒定律. 可以看到，能量这个物理量并非空穴来风，它是我们在哈密顿原理和时间平移不变性的指导下，自然导出的一个守恒量，仅此而已.

与能量守恒类似，动量守恒的指导原理是哈密顿原理和空间平移不变性.

我们考虑赋予整个物理系统一个微小的位移 ，那么系统拉格朗日量的改变量为 由于空间平移不变，所以 . 考虑到位移 可以任取，因此必须有 我们再次使用拉格朗日方程，做代换 于是我们得到 两端积分，得到 可以看到，这个量是一个不随时间变化的守恒量，由此定义 为这个物理系统的 动量.

这就是我们所熟知的 动量守恒定律. 事实上，由于各个广义坐标之间相互独立，我们可以将动量 写作一个 维矢量，即 其中

经过一番捣腾，我们十分优雅地导出了能量守恒和动量守恒定律. 如果你能够静下心来，一步一步从最基本的假设一路走到以上两条守恒律，我相信你也一定也会被它的优雅所折服. 这已经是我不知多少次推导这两条定律了，尽管简洁，但每次的操作都会让我想起初次推导时的震撼.

码字也码了挺久的，或许之后有时间了会把这篇续写成一篇完整的分析力学笔记吧（笑）.

^ L.D.Landau. Course of Theoretical Physics, Volume 1. (2-15)