群论 (Group Theory) 终极速成 / 群表示理论

设 是一个复数域上的 维线性空间, 显然它必同构于 [1]. 这里也可以将 简单地理解为选定了正交归一基底的 , 即可看作是线性代数里的 维列矩阵空间.

✦ 复一般线性群有以下两个等价的定义:

(1). 可逆 .

(2). 所有的可逆矩阵 .

要求可逆主要是因为要构成群, 所谓可逆在矩阵意义上就是要求矩阵的行列式不为零.
此集合显然构成群, 群单位元就是恒等映射 [2], 也可说是 阶单位阵.
此后我们对此将不作严格区分, 即 里的既是线性变换又是矩阵.
这个概念肯定也是存在的, 就是 维实线性空间上的一般线性群.

✦ 群 的复线性表示 就是群 到复一般线性群 的一个同态映射.

即 或 .
┗ 对
此外, 群表示也有非线性表示, 但我们从头到尾都不会涉及非线性表示.
┗ 的数域其实也不一定要 , 但 是最简单的且完全够用了, 所以我们就只研究它[3].
值得一提的是, 是无限群, 所以一定可以改写为是有限群 跟他的一个子群同态.
┣ 这个子群我们称之为线性变换群, 少了一般俩字就成了子群.
┗ 线性变换群可以写成同态映射的像构成的群, 即 , 当然这是个废话.

其中 称为 的表示空间且 .

说明一下符号 :
┣ 是未定义的, 其中 .
┗ 就是说 与实或复线性空间同构以后, 作为线性空间才能谈维度: .

群表示这个 3P 结构我们简记为 .

✦ 表示矩阵:

在 中选标准正交基底后则线性变换的 就可以被写为矩阵 [4].

这里的矩阵 就称为 的 表示矩阵, 显然 是它的逆矩阵.

或者说你干脆把表示 看作是群 到一个矩阵群的同态映射, 映射到的矩阵就是表示矩阵.

要注意, 所谓的 维线性表示就是把目标集合里的元素映射到 维空间上的线性变换上,
┣ 这个映射要保原集合里有的运算 (即同态), 实空间就是实表示, 复空间就是复表示.
┣ 然后如果存在 上的 维实表示,
┣ 则把这些表示矩阵直接搬到 上去就成了 维复线性表示了,
┗ 所以这里的维度与表示的实与复的关系并不那么大.
不要觉得复表示的自由度多了一倍之类的.
┣ 同样是 维表示, 当讨论实表示时 表示矩阵最多只有 个独立的.
┣ 而讨论复表示的时候, 虽然每个矩阵元都可以放复数了, 但整个表示空间都是复空间,
┗ 所以独立的矩阵还是只有 个, 因为叠加系数都是复数了.
再具体点说就是你以为 与 是独立的,
┣ 但实际上 , 也就是说二者线性相关.
┣ 所以无论实复, 二维表示里就最多四个独立元素,
┣ 然后一般来说实表示不一定存在, 所以我们 (搞物理的) 从来都只考虑复表示.
┗ 只是说恰好复表示矩阵里只有实数或纯虚数时, 能把复表示空间缩到实表示空间罢了.

✦ 忠实表示:

若对 满足 就称 为 的忠实表示.

其实就是单射呗, 忠实说明靠谱, 你可以极端点考虑把所有群元都映射到单位阵,
┗ 那也是保群乘法的, 但没卵用, 这样丢失信息所以我们才说它不忠实.
有限群必存在忠实表示, 正则表示就是其中一例.

✦ 幺正表示:

若 是幺正矩阵, 即 就称 为 的幺正表示.

当然这是选定基矢之后的, 没选定就没有幺正表示了吗? 当然不是, 其实本质定义源于内积:
┣ 对 , 有 则称 为 的幺正表示.
┗ 其中 表示内积, 用尖括号是因为圆括号在这里不好看.

✦ 正则表示 (regular representation):

对有限群 , 总可以对应一个群阶维复线性表示空间 , 其中 是群的阶.

因为维度等于群阶, 所以就可以将群元与基底一一对应, 即将基矢量记为 .

这里 表示的是一个与群元 相对应的基矢, 就是一个符号, 没隐含幂运算之类的关系.
┗ 且约定对 有 , 就是个约定记号罢了.

规定对 有 , 就定义了一个群的表示, 我们称之为正则表示.

所谓线性变换就是 的映射呗,
┣ 研究映射如何作用在任意矢量上, 只要研究它如何作用在基矢上, 为啥? 因为是线性作用啊.
┣ 那么对 能对应一个线性变换 , 它将任意基矢 映射到 .
┗ 这就定义了与群同态的线性变换群 .
表示 是一个合格的同态映射吗? 显然是的:
┣ 保群乘法: .
┗ 我一开始就说过的, 其实逆元映射到逆元, 单位元映射到单位元其实都是保群乘法的推论.
其实你想想, 正则表示下是不是就是用群元作为基底构建了一个线性空间.

正则表示里面产生了一个复线性空间 , 那我们可以研究其中的一个矢量的分解:

对 有 , 其中 , 是矢量分量的系数.

那么, 某种意义上矢量 其实就是一个把 变成 的映射 对吧?

✦ 将映射 定义为群函数 .

反过来说, 一个群函数也可以唯一确定一个矢量 .
┣ 那么前面的群阶维复线性表示空间 其实就是群函数空间 吧.
┗ 那么很显然, 中最多只能有 个线性独立的矢量.
结论: [群 中的群函数] 就是 [正则表示 中的一个矢量].
┗ 这里暂不说透, 但可以说这个概念与波函数跟态矢量的关系十分类似, 后面会讲到.

✦ 可以定义矢量乘法: 对 有 .

给定矢量 , .
┣ 显然有 .
┣ 现在记 , 则有:
┣
┣
┗ .

上面可不是什么 , 别胡思乱想.
┗ 倒数第二个等号是因为对 求完和只剩下 这个变量了.

✦ 综上所述, 形成了一个代数, 我们称之为群代数 (group algebra).

代数又称线性代数, 简单来说就是定义有矢量乘法 的线性空间 ,
┗ 乘法有分配律而不要求结合律, 有结合律的代数叫结合代数.
比如说全体 方阵可以在矩阵乘法下构成一个线性代数.

✦ 一般人为定义内积 使正则空间基底 正交归一.

这样就能取矢量系数: .

强行狄拉克符号即
是不是很熟悉: .

✦ 共轭类集合 , cl for class.

对 , 是一个集合.

✦ 类函数即满足对 有 , 的群函数 .

你该不会忘了Ad for adjoint 吧? .
┣ 这也就是说类函数将一个共轭类映射到同一个复数上, 所以是共轭类的函数, 称之类函数.
┣ 也可以说是 轨道的函数:
┗ 轨道即 .

例如表示矩阵的迹 显然就是一个类函数.

> 硬要严格一点儿来说的话, 这个其实只是将同类元素都映射到同一个复数上的群函数.
┗ 但很显然这能自然地诱导出一个 的类函数吧?

✦ 类函数空间 即所有类函数构成的空间.

作为线性空间有 .

定义空间基底 对 满足关系 .

由此对任意类函数 可做分解 : .
┗ 这是显然的: .

要说的话, 也是可以扩展到 的, 但没有增加任何信息量.

这么做其实也是有点儿吃饱了撑的, 我们一般都是反过来干.

✦ 前面说了表示是一个 3P 的过程, 如果两个不同的表示 ,

若 使得对 都有 或 .

则称 与 等价, 记作 .

注意这里只有表示不同, 都是相同的.

就是说两个不同的复合映射将同一个矢量映射到同一个矢量.

✦ 有限群的全部有限维表示都各存在一个与其等价的幺正表示.

幺正表示 就是对 均有 的表示.
不想给严格证明了, 直观感受如下:
┣ 本来线性空间 内定义的内积是 .
┣ 我们如果这样换一个新的内积规则 .
┣ 则在这套新的规则下, 一定是一个幺正表示:
┣ > ┣ 这里我们换了一套内积, 其实线性空间内积的取法是不唯一的,
┣ 可以通过选取新的基底来进行内积定义的变换.
┣ 而基底的变换无非就是进行一个相似变换,
┣ 这个相似变换矩阵就可以将 等价与一个幺正表示,
┣ 如果你很懂量子力学表象的变换这里也应该能找到点儿感觉.
┣ 想不通也不要深思, 真那么好奇就自己上网冲下浪找找严格证明.
┣ 我自己不想, 也不想让大家花费精力在这里, 只希望大家能记住这个简单的结论.
┗ 这等于说我们最终只需要研究幺正表示就足够了.

✦ 可约与完全可约:

设 是 在 上的表示, 若 使得对 , 有 .
┣ 即 中存在关于 不变的真子空间 , 则称 是可约表示.
┗ 更直白点就是, 可约 存在子空间 使得 无法将其中任何矢量射出它本身.
设 可约, 即有 不变的真子空间 存在,
┗ 若补空间 也是不变子空间, 则称 完全可约 (complete reducible).
有限群的可约表示必然是完全可约的.
┗ 这个结论是显然的, 你都看到 4.6 节了, 这点思维量对你来说应该不值一提吧.

✦ 直和:

设 , 若对 都 使 被分解为 , 则称 是 与 的直和, 记作 .

什么叫做子空间呢? 比如说 x-y 平面就是立体直角坐标系的子空间.
┗ 建议回到第一篇文中最开头配合那几个矩阵那儿动动你的奶子好好地想一想.
其实这里稍微有个地方不太严格:
┣ 比如说我们规定 .
┣ 假如 , 那上面 .
┣ 我们说 , 那按理说应该有 才对呀, 怎么维数都变了啊?
┣ 其实吧, 当我们嘴上说 时,
┗ 心里却偷偷想的是 , 还请理解一下.

✦ 可约分解:

可约的情况下既然子空间都互相不干涉了, 那干脆就把总空间改写成子空间的直和.

即 与 都是 的 不变子空间时, 可以写作 .

再将表示 本身也相应地分解为子表示 , 其表示空间分别为 .

我们还会这样标记表示的分解: .

如此一来线性变换就一定是分块对角矩阵:

对 有 ,
┣ 设 , 这个时候 中的矢量都是 这样的,
┗ 所以 作用上来时不同空间不会互相干涉.

其实这个 或许还能进一步分解, 我们只要能分解的就不断分解下去.

最后就有: 这样完全由不可约表示直和成的表示.
┣ 我们还会将上式记作 .
┗ 就是说对 有 .