群同态

用于 Note Def 定义词典

群同態[g]

是保持群結構的函數。兩個群之間的函數 a: G → H 是同態，如果等式

a(g·k) = a(g)·a(k) 對于所有G中的元素g、k都成立，就是說在进行映射a之后還是之前進行群運算所得到的結果是一樣的。這個要求保证了 a(eG) = eH ，以及對于G中的所有g，都有 a(g)−1 = a(g−1) 。因此群同態保持了群公理提供的G的所有結構。[22]

兩個群G和H被稱為同構的，如果存在群同態 a: G → H 和 b: H → G ，使得先后（以兩種可能的次序中每個次序）應用兩個函數分別等于G和H的恒等函數。就是說，對于任何G中的g和H中h，有 a(b(h)) = h 和 b(a(g)) = g 。從抽象的觀點來看，同構的群携带了相同的信息。例如，证明對於G的某個元素g有 g·g = eG ，等價於证明 a(g)·a(g) = eH ，因為應用a於第一個等式得到第二個，而應用b於第二個得到第一個。

子群

主条目：子群

非正式的說，子群是包含在更大的群G內的一個群H。[23]

具體的說，G的單位元包含在H中，并且只要h_1和_h_2在_H中，則h_1· _h_2和_h_1−1也在其中，所以_H的元素对于限制於H的G上的群運算确实形成了一个群。

在上面例子中，單位元和旋轉構成了一個子群 R = {id, r1, r2, r3} ，在上面的群表中突出為紅色：任何兩個復合的旋轉仍是一個旋轉，并且旋轉可以被相反方向上的旋轉（它的逆元）所抵消。我们可以通过以下方法检验子集“H"是群G是子群 : 對于所有元素 g, h ∈ H ，只需檢查g−1h ∈ H。了解子群族對于作為一個整體來理解群是重要的。[d]

給定群G的任何子集S，由S所生成的子群是由S的元素和它們的逆元的乘積组成。它是包含S的G的最小子群。[24]

在上面介紹例子中，r2和fv所生成的子群由這兩個元素本身、單位元id和 fh = fv·r2 構成。這還是個群，因為结合這四個元素或它們的逆元（在這個特殊情況下，是这些相同的元素）中任何兩個仍得到這個子群中的元素。

循环群

参见：循環群

設為一個群，若裡面存在元素，使

則稱為一個循環群。

陪集

主条目：陪集

在很多情況下，需要認為兩個群元素是等同的，如果它們只差一個给定子群中的元素。例如，在上述D4中，一旦進行了翻轉，只进行旋轉運算（不再进行翻轉）正方形就永遠不能回到r2的构型，就是說旋轉運算對于是否已經進行了翻轉的問題是無關緊要的。陪集可用來把這種现象形式化：子群H定義了左陪集和右陪集，它們可以認為是把H平移了一个任意群元素g。用符號表示，H的包含g的左和右陪集分別是

gH = {gh, }和Hg = {hg, }。[25]
1

任何子群H的陪集形成了G的一个劃分；就是說所有左陪集的并集与G相等，而且兩個陪集要么相等，要么有空的交集。[26]

第一種情況 g_1_H = g_2_H 出現當且僅當g_1−1_g_2 ∈ _H，就是說如果這兩個元素差異了H的一個元素。類似的考慮也適用於H的右陪集。H的左和右陪集可以相等也可以不相等。如果它們相等，就是說對于所有G中的g有gH = Hg，則H被稱為正規子群。

在前面介绍的對稱群D4中，由旋轉構成的子群R的左陪集gR要么等于R，如果g是R自身的一個元素；要么等于 U = fvR = {fv, fd, fh, fc} （用綠色突出）。子群R還是正規的，因為 fvR = U = _R_fv 且對于任何fv以外的元素也是類似的。

商群

主条目：商群

有时在由陪集形成的集合上可以赋予一个满足群公理的运算而使之成为商群或因子群。这仅在子群是正规的时候才可行。給定任何正規子群N，商群定義為

G / N = {gN, }，“ 模 ”[27]
1

這個集合從最初的群G 繼承了一個群運算（有時叫做陪集乘法或陪集加法）：對于所有G 中的g 和h， (gN)· (hN) =（gh）N 。這個定義是由關聯任何元素g到它的陪集 gN 的映射G → G / N是群同態的想法（自身是上面提出的一般結構性考慮的一個實例）所激發的，或者是叫做泛性質的一般抽象考慮。陪集 eN = N 充當了這個群的單位元，在商群中gN 的逆元是 (gN)−1 =（g−1）N。 [e]

更多信息 ·, R ...

·	R	U
R	R	U
U	U	R
商群D4 / R的群表。

商群D4 / R的元素是代表單位元的R 自身和 U = fvR 。商群上的群運算如右側所示。例如， U·U = fvR·fvR =（fv·fv）R = R 。子群 R = {id, r1, r2, r3} 和對應的商群都是阿貝爾群，而D4不是阿貝爾群。通過较小的群构造较大的群，例如從子群R 和商群D4 / R构造D4，被抽象為叫做半直積的概念。

商群和子群一起形成了用它的展示描述所有群的一種方法：任何群都是這個群的生成元上的自由群模以“關係”子群得到的商群。例如，二面體群D4可以由兩個元素 r 和 f 生成（比如r = r1右旋，和 f = fv 垂直）或任何其他）翻轉），這意味著正方形的所有對稱都是這兩個對稱或它們的逆元的有限復合。与關係在一起

r _4 = _f _2 = (_rf )2 = 1,[28]
1

這個群就完全描述出來了。群的展示還可以被用來構造凱萊圖，它是一种利用图形来辅助理解离散群的工具。

子群和商群以下列方式相互關聯：G 的子集H 可以被看作單射H → G，就是說任何目標元素都有最多一個映射到它的元素。單射的對立是滿射（所有目標的元素都被映射到了），比如規范映射G → G / N。[y]

通过這些同態理解子群和商群強調了這些定義中內在的結構性概念。一般的說，同態既不是單射也不是滿射。群同態的核與像和第一同構定理研究這個現象。

共轭

主条目：共軛類

如果同一個群中的兩個元素p 和q 滿足關係：p = x−1qx，其中x 也是同一個群中的元素，則稱元素p 和q 共軛。共軛关系是一个等价关系，即它满足三个性质：共軛是自反的、对称的和傳遞的。

在群中可以找到一個集合，這個集合中每一個元素都相互共軛，而在這個集合以外群的其他部分已經沒有任何元素與他們具有共軛關係了。稱这种集合為群中的一個共軛類。同一個群的兩個類之間一定沒有共同的元素。群中一個元素一定屬於且僅屬於一個類。如果群中沒有元素與該元素共軛，則該元素自成一類。

共轭类

维基百科，自由的 encyclopedia
[幺半群] [等价类] [李群] [李代数] [直积] [群作用] [中心化子和正规化子] [子群] [阶 (群论)] "阶 (群论)") [西罗定理] [特征标理论] [正规子群] [基本群] [曲线积分] [陪集] [商群] [黎曼球面] [交错群] [克利福德代数] [广群]

数学上，特别是在群论中，群的元素可以分割成共轭类（Conjugacy class）；同一个共轭类的元素有很多共同的属性，而且研究非交换群的共轭类可以看出很多关于它们的结构的重要特征。对于交换群，这个概念是平凡的，因为每个类就是一个单元素集合。

在同一个共轭类上取常值的函数称为类函数。

定义

设为群。对于中共轭的两个元素和，必存在中一个元素，满足。（在线性代数中，这叫做相似变换）

很容易证明共轭是等价关系，因此将分割为等价类。（这表示群的每个元素属于恰好一个共轭类，而类和相等当且仅当和共轭，否则不相交。）包含元素属于的等价类是并称为的共轭类。的类数是共轭类的个数。

在数学中，等價關係（英語：Equivalence relation）是具有自反性，对称性，传递性的二元关系。等价关系也称为同值關係。一些等价关系的例子包括整数集上的同余，歐幾里得几何中的等量（英語：Equipollence），以及普通的相等关系。 #viaWikipedia

数学里啥叫等价关系 #viaChatQwen/QwenMax

在数学中，等价关系是一种定义在集合上的二元关系，它满足三个基本性质：自反性、对称性和传递性。具体来说：

自反性（Reflexivity）：集合中的每一个元素都与自身是等价的。即对于所有 (a \in A)，有 (aRa)（这里 (R) 表示等价关系）。
对称性（Symmetry）：如果集合中的元素 (a) 与 (b) 是等价的，那么 (b) 与 (a) 也是等价的。即若 (aRb)，则必有 (bRa)。
传递性（Transitivity）：如果元素 (a) 与 (b) 等价，且 (b) 与 (c) 等价，那么 (a) 与 (c) 也是等价的。即若 (aRb) 且 (bRc)，则有 (aRc)。

一个集合上的关系如果同时满足这三个条件，就被称作等价关系。等价关系可以用来将集合中的元素分组，每组内的元素彼此等价，而不同的组之间元素不等价，这一过程称为等价类划分。共轭就是群论中的一种等价关系的例子，它基于某个群作用下的元素之间的相互变换性质来定义。

例子

对称群 $S{3}$_，由所有3个元素的6个置换组成，拥有三个共轭类：

恒等 (abc -> abc) 表示为(1)
对换 (abc -> acb，abc -> bac，abc -> cba) 表示为(23) (12) (13)
三阶轮换 (abc -> bca，abc -> cab) 表示为(132) (123)

对称群 $S{4}$_，由4个元素的全部24个置换组成，有5个共轭类：

恒等
对换
三阶轮换
四阶轮换
双对换

参看立方体的恰当转动，它可以用体对角线的枚举刻划。

在矩阵，在同一个共轭类的矩阵称为相似矩阵。

属性

单位元总是自成一类，也就是说。

若可交换，则对于所有和属于成立；所以对于属于成立；可见这个概念对于交换群不是很有用。

若的两个元素和属于同一个共轭类（也即，若它们共轭），则它们有同样的阶。更一般地讲，每个关于的命题可以转换成关于的一个命题，因为映射是一个的自同构。

的一个元素位于的中心当且仅当其共轭类只有一个元素，本身。更一般地讲，若代表中的中心化子，也即，有所有满足的元素组成的子群，则指数等于的共轭类中元素的个数。

共轭类方程

若 G 为有限群，则上节的内容，加上拉格朗日定理，可以得出如下结论：每个共轭类的元素个数整除 G 的阶。

进一步的有，对于任何群 G，可以通过从G的每个元素个数大于1的共轭类中取出一个元素来定义一个代表集 S = {x__i}。则G是Z(G)和S的元素的共轭类Cl(x__i)的不交并集。由此可以写出重要的类方程：

|G| = |Z(G)| + ∑ i [G:H i ]

其中求和取遍对于每个S中的x__i的H__i = CG(x__i)。注意[G : H__i]是共轭类i的元素个数，一个|G|的大于1的除数。如果|G|的除数已知，则该方程经常用于获得关于共轭类或者中心的大小的信息。

例子

考虑一个有限[p-群] G（也即，次数为p__n的群，其中p是一个素数而n > 0）。我们将证明：每个有限p-群有非平凡的中心。

因为G的任意子群的次数必须整除G的次数，所以每个H__i也是某个幂p( k__i )。但是类方程要求|G| = p__n = |Z(G)| + ∑i (p( k__i ))。因此我们可以看出p必须整除|Z(G)|，所以|Z(G)| > 1。

子群和一般子集的共轭

更一般的来讲，给定任意G的子集S（S不必是子群），我们定义一个G的子集T为S的共轭，当且仅当存在某个g属于G满足T = gSg−1。我们可以定义Cl(S) 为所有共轭于S的子集T的集合。

一个常用的定理是，给定任意子集S，N(S)（S的正规化子）的指数等于Cl(S)的次数：

|Cl(S)| = [G : N(S)]

这是因为，如果g和h属于G，则gSg−1 = hSh−1当且仅当gh −1属于N(S)，换句话说，当且仅当g和h属于N(S)的同一个陪集。

注意这个公式推广了前面关于共轭类元素的个数的定理（S = {a}的特殊情况）。

上述定理在讨论G的子群时尤其有用。子群可以由此分为等价类，两个子群属于同一类当且仅当它们共轭。共轭子群是同构的，但是同构子群未必共轭（例如，交换群可以有两个不同的互相同构的子群，但是它们不可能共轭）。

作为群作用的共轭类

如果对于任意两个G中的元素g和x定义

g.x = gxg−1

则我们有了一个G在G上的群作用。该作用的轨道就是共轭类，而给定元素的定点子群就是该元素的中心化子。

同样，我们可以定义一个在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下

g.S = gSg−1。

参看

参考

Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, [ISBN 0-471-36879-2]
Dummit, David and Richard Foote. Abstract Algebra, Wiley, [ISBN 0-471-43334-9]
[Lang, Serge]. Algebra, Springer, [ISBN 0-387-95385-X]

不需要自动关联的定义

阶

主条目：階 (群論)

群中元素個數稱為群G的階，記為|G|[29]

主条目：拉格朗日定理 (群論)

子群的階能整除這個群的階[30]

END